精品解析：浙江温州知临学校2025-2026学年第一学期提前招生数学试卷

数学试题卷 考生须知： 1、本试卷满分120分，考试时间120分钟. 2、答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号. 3、必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他位置无效. 4、请用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，如需画图，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑. 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数0，，，，，（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 若与互为相反数，则的值（ ） A. 64 B. C. 81 D. 3. 如果，，那么，的值为（ ） A. 36 B. 16 C. 14 D. 3 4. 如图，若，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 北京与巴黎的时差为7小时，例如：北京时间，同一时刻的巴黎时间是早上．好好和点点分别在北京和巴黎，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，．与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为（ ） A. 10 B. 9 C. D. 8 7. 如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正三角形中，点分别为边上的点，，连接，过作交于点，若要求得的边长，只要知道（ ） A. 的周长 B. 的面积 C. 的周长 D. 的周长 10. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点．为的平分线．过点作的垂线，垂足为，连结．若，的面积为8，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（）与载重后总质量M （）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v大于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg． 12. 如图，，和分别是和的中点，连结，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么______． 13. 如图，下边横排中有无数个方格，每个方格中都有一个数字，且任意相邻三个格子中数字之和都相等．已知，第1个方格中的数字是5，第9个方格中的数字是，前101个方格中的数字之和是74，则第101个方格中的数字是______． 5 -6 … 14. 已知方程有4个根，，，．则_____ 15. 将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，则： ①表示的数是______； ②若在，则的值为______． 16. 如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是__________． 三、解答题（本题共有8小题，共66分，解需写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为． （1）当为何值时，两个动点第一次相遇； （2）从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以，，为顶点的三角形的面积为？ 18. 如图，在中，D是边上一点，G是边上一点，过点G作交于点F，E是边上一点，连接，． （1）判断与是否平行，并说明理由． （2）若平分，求的度数． 19. 已知抛物线经过点 （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求出抛物线与坐标轴的交点，并在如图所示坐标系中用描点法描出二次函数的图象． 20. 问题呈现： 如图，正方形中，分别为边上的点，且，求线段之间的数量关系．在小组学习过程中，我们得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接，利用可得，即． 拓展延伸： （1）如图①，正方形中，分别为边上的点，且，已知．试求正方形的周长． 尝试解决： （2）如图②，在正外作一等腰，以为顶点作一个角，角的两边分别交于两点，连结． ①探索线段之间的数量关系，并加以证明； ②已知的周长为的面积为，试求的长． 21. 如图，A，B，C，D在上，，经过圆心O的线段于点F，与交于点E． （1）如图1，当半径为5，，若，求弦的长； （2）如图2，当半径为，，若，求弦的长． 22. 如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，． （1）图1中，求证：； （2）当绕点旋转到如图2所示的位置时， ①是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由； ②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值． 23. 根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式． （1）问题解决：确定桥洞的形状． 建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为， ①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）； ②求出经过点A的双曲线的函数表达式． （2）探索应用： 这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．） 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标． （2）点是直线上的一动点，以为边向右作正方形． ①若点是线段中点，求点坐标． ②连接．若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题卷 考生须知： 1、本试卷满分120分，考试时间120分钟. 2、答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号. 3、必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他位置无效. 4、请用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，如需画图，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑. 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数0，，，，，（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键；无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个实数是否为无理数即可． 【详解】解：在实数0，，，，，（相邻两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的有：、、（相邻两个1之间0的个数依次加1），共3个； 故选B． 2. 若与互为相反数，则的值（ ） A. 64 B. C. 81 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的非负性，乘方运算．根据相反数的定义得出，得出x、y值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，故A正确． 故选：A． 3. 如果，，那么，的值为（ ） A. 36 B. 16 C. 14 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 4. 如图，若，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 5. 北京与巴黎的时差为7小时，例如：北京时间，同一时刻的巴黎时间是早上．好好和点点分别在北京和巴黎，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过时差转换和解不等式确定共同时间范围，注意时间范围的交集． 根据时差关系，北京比巴黎早7小时．设北京时间为T，则巴黎时间为．通话需满足北京时间T在，且巴黎时间在．解不等式求T的范围，再验证选项． 【详解】解：∵北京比巴黎早7小时， ∴巴黎时间北京时间小时． 设北京时间为T， 则需满足：， 且． 解得，得； 解，得． 但（北京时间范围）， ∴ T的取值范围为． 选项中只有C．在此范围内． ∴ 这个时刻可以是北京时间． 故选C 6. 如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，．与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为（ ） A. 10 B. 9 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一，勾股定理和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，解决此题的关键是合理的利用三线合一；先根据三线合一得到线段相等和直角，根据勾股定理得到的长，再运用直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半进而得到答案即可； 【详解】解：∵在中，，平分, ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵点F为的中点， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 7. 如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何性质和等面积代换，连接，延长交y轴于点F，则四边形为矩形，有和，结合反比例函数的几何性质化简即可． 【详解】解：连接，延长交y轴于点F，如图， 则四边形为矩形， 那么，， ， 故选∶D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作轴于G，作轴于E，与交于H；由证明，得出对应边相等，，求出即可． 【详解】解：作轴于G，作轴于E，与交于H；如图所示： 则， ∴， ∵C点坐标为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴点B的坐标为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 9. 如图，正三角形中，点分别为边上的点，，连接，过作交于点，若要求得的边长，只要知道（ ） A. 的周长 B. 的面积 C. 的周长 D. 的周长 【答案】D 【解析】 【分析】作，，交于，连接，延长至点，使，连接，，，先证明，再证明，，最后根据的周长得出结论． 【详解】解：如图，作，，交于，连接，延长至点，使，连接，，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 点三点共线， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的周长， ， 的周长， 若要求得的边长，只要知道的周长， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 10. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限．点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点．为的平分线．过点作的垂线，垂足为，连结．若，的面积为8，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数k的意义，将的面积转化为的面积是解题的关键． 延长，，交于点F，通过证明，得出，由中心对称得点O是的中点，进而可得是的中位线，推出，，再过A作轴于M，过D作轴于N，通过证明，得出，设点A的坐标为，则点D的坐标为，根据列式计算，可得k的值． 【详解】解：延长，，交于点F， 是的角平分线， ∴， ， ∴， 又， ∴， ∴， 又过原点的直线与反比例函数的图象交于两点， ∴点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 过A作轴于M，过D作轴于N， 则， ∴， ∴， ， ∴， 设点A的坐标为，则点D的坐标为， ， ∴， ∴， 解得 故选：B． 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（）与载重后总质量M （）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v大于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是解答本题的关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将当代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴M的取值范围是， 故答案为：． 12. 如图，，和分别是和的中点，连结，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得的面积，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和分别是和的中点， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 故答案为24． 13. 如图，下边横排中有无数个方格，每个方格中都有一个数字，且任意相邻三个格子中数字之和都相等．已知，第1个方格中的数字是5，第9个方格中的数字是，前101个方格中的数字之和是74，则第101个方格中的数字是______． 5 -6 … 【答案】 3 【解析】 【分析】由任意相邻三个格子中数字之和相等，可得序列是周期为3的周期序列．根据前101个方格数字之和74求出，最后由周期可求出第101个方格对应周期中的第二个位置 ．本题是数字变化规律的考查，找出周期的三个数字是解题的关键． 【详解】解：由题意，任意相邻三个格子中数字之和相等，因此序列是周期为3的周期序列， 设第1个方格数字为，第2个为，第3个为，则， 第9个方格对应第3个位置（因为余0），故， 相邻三个格子之和为常数，， 前101个方格中，完整周期数为33个（余2）， 余下两个方格为第100和101个，分别对应和， 前101个方格数字之和为： 化简得： 即 解得 第101个方格对应周期中的第2个位置， 故数字为． 故答案为：3． 14. 已知方程有4个根，，，．则_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式方程根的相关性质、多项式乘以多项式及代数式的巧妙变形，关键在于得出． 根据方程的四个根得出，根据多项式乘以多项式法则展开，根据系数对应关系得出，利用平方差公式把所求式子变形，利用多项式乘以多项式法则得出，，利用平方差公式把所求式子变形即可得答案． 【详解】设多项式 有四根， ∴， ∴ 同理：， ∴ ． 故答案为： 15. 将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，则： ①表示的数是______； ②若在，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，推出第n排，有个数，且最大的数为，据此可解决问题． ①根据题中数的排列规律，依次找出第5排，第6排，第7排的第1个数和最后一个数，再根据奇数排从左往右根号下的数依次加1，据此解答即可； ②根据题中数的排列规律，推出第n排，有个数，且最大的数为，再由，确定第45排的第1个数和最后一个数，从而找出所在的位置，得出x，y的值，再计算． 【详解】①解：根据题意，第5排从左往右第1个数为，最后一个数为； 第6排从左往右第1个数为，最后一个数为； 第7排从左往右第1个数为，最后一个数为； 第7排从左往右第6个数为， 表示的数是； 故答案为：； ②解：根据题中数的排列方式，可知第n排，有个数，且最大的数为， 当n为奇数时，从左往右，根号下的数依次加1； 当n为偶数时，从左往右，根号下的数依次减1； 又， 第45排从左往右，最后一个数为， 第46排从左往右，第一个数为，最后一个数为， 在第46排的最后1个数，即第个数． ，，． 故答案为：137． 16. 如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查垂直作图，垂径定理，勾股定理的运用，因式分解求一元二次方程，掌握垂径定理与勾股定的综合，解一元二次方程的方法是解题的关键，根据题意可得，如图所示，连接，设的半径为，，则，在中，运用勾股定理可得，则有，由为的直径，得，在中，再次利用勾股定理得到，代入整理得：，利用因式分解求一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， 如图所示，连接， 设的半径为， ∴，则， ∴， 在中，， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧交于点， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴的半径为6． 故答案为：． 三、解答题（本题共有8小题，共66分，解需写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为． （1）当为何值时，两个动点第一次相遇； （2）从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以，，为顶点的三角形的面积为？ 【答案】（1）t=20 （2）t为6或2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程；等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点； （1）根据题意得方程即可求出答案； （2）有3种情况①如图，过作于，得到，求出的长，根据三角形的面积公式即可求出的值；②如图，与①类似即可求出的值；③如图：，，，得到方程的解不符合在上，综合上述得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 答：当为时，两个动点第一次相遇． 【小问2详解】 解：是边长为的等边三角形， ， 有种情况：①如图，过作于， ，，由勾股定理得： 由三角形面积公式得：， 解得：，舍去； ②如图2， ，，， 由三角形面积公式得：， 解得：或， 当时，在上，舍去， ； ③如图3： ，，， ， 此方程无解； 的值是，， 答：从出发到第一次相遇这一过程中，当为或时，点、、为顶点的三角形的面积为． 18. 如图，在中，D是边上一点，G是边上一点，过点G作交于点F，E是边上一点，连接，． （1）判断与是否平行，并说明理由． （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理及外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用平行线得出同旁内角互补，然后根据内错角相等得出两直线平行即可； （2）设，表示出相关角的度数，利用三角形的外角列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴． 19. 已知抛物线经过点 （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求出抛物线与坐标轴的交点，并在如图所示坐标系中用描点法描出二次函数的图象． 【答案】（1）； （2）与x轴的交点坐标为(-3，0)，(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，)， 图象如图， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）令即可求出与x轴的交点坐标，然后求出顶点坐标和x=-2时点的坐标，再用描点法画出函数图像即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴； （2）当y=0时，， 解得x1=-3，x2=1， ∴与x轴的交点坐标为(-3，0)，(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，) ． ∵=， ∴顶点坐标为：(-1，2)． 当x=-2时，=-2+2+=． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，描点法画函数图象，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 20. 问题呈现： 如图，正方形中，分别为边上的点，且，求线段之间的数量关系．在小组学习过程中，我们得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接，利用可得，即． 拓展延伸： （1）如图①，正方形中，分别为边上的点，且，已知．试求正方形的周长． 尝试解决： （2）如图②，在正外作一等腰，以为顶点作一个角，角的两边分别交于两点，连结． ①探索线段之间的数量关系，并加以证明； ②已知的周长为的面积为，试求的长． 【答案】（1）正方形的周长为24； （2）①解：；理由： 如图，延长到，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即； ② 【解析】 【分析】（1）设，由题意易得，然后根据勾股定理可建立方程进行求解； （2）①延长到，使得，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而可证，最后问题可求证； ②过点作的垂线交于点，连接，交于点M，由题意易得，，则有，然后可得，进而根据三角形的面积可进行求解． 【详解】解：（1）如图， ， 设， 则 在中，， ∴， 解得 ， 正方形的周长为24； （2）①略 ②如图，过点作的垂线交于点，连接，交于点M， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ， 在和中， ， ， ，同理得， 的周长为， 的周长为， ， ， 的面积为， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 21. 如图，A，B，C，D在上，，经过圆心O的线段于点F，与交于点E． （1）如图1，当半径为5，，若，求弦的长； （2）如图2，当半径为，，若，求弦的长． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得，设，根据勾股定理得方程，解方程即可求出； （2）如图2中，作于H．先证明是等腰直角三角形，得到．再证明四边形是矩形得到，求出，证明，得到，，即可求出． 【小问1详解】 解：如图1中，连接． ∵过圆心O的线段于点F，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 设，则， ∵经过圆心O的线段 ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴（不合题意，舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：如图2中，作于H． ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等，熟知各知识点，根据题意添加适当辅助线是解题关键． 22. 如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，． （1）图1中，求证：； （2）当绕点旋转到如图2所示的位置时， ①是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由； ②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 解：①仍然成立， 如图2，连接，， 由题意知，，， ， ， 点、、分别为、、的中点， ，分别是和的中位线， ，， ； ② 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形的中位线定理解决问题即可． （2）①证明，推出，再利用三角形的中位线定理即可解决问题． ②由，推出，推出，求出，，的面积即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，在中，，点、分别在边、上， ， ， 即， 点、、分别为、、的中点， ，， ， 【小问2详解】 ①略 ②如图2中，， ， ， ， ，， ，， ， ， ，同法可得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 23. 根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式． （1）问题解决：确定桥洞的形状． 建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为， ①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）； ②求出经过点A的双曲线的函数表达式． （2）探索应用： 这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．） 【答案】（1）①；② （2）此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，根据落在第一象限的角平分线上，结合和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出； ②设双曲线接解析式为，把，代入计算即可； （2）求出当能恰好通过，则，在双曲线上，此时设和交于点，过作轴于，过作轴于，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出，即此船最高载货2.8米，得到船身下降的高度，代入计算即可． 【小问1详解】 解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形， ∴，， ∵点C为， ∴， ∵落在第一象限的角平分线上， ∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，， ∴点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设双曲线接解析式为， 把，代入得 ∴ 解得，， ∴点A在双曲线上； 【小问2详解】 由（1）可求：，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设和交于点，过作轴于，过作轴于，则， 若能恰好通过，则，在双曲线上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴点， 把代入得， 解得， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴此船最高载货2.8米 ∵， ∴此船不能通过， ∴船身下降的高度， ∵， ∴， 故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标． （2）点是直线上的一动点，以为边向右作正方形． ①若点是线段中点，求点坐标． ②连接．若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据直线：交轴于点，交轴于点，可确定，，再根据点是点关于直线的对称点，易得出四边形是正方形，确定正方形的边长即可得到答案； （2）①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，由点是的中点，先得出，然后证明，再求出和即可； ②分两种情况：点在第一象限；点在第四象限进行讨论即可. 【小问1详解】 解：如图，连接、、， ∵直线：交轴于点，交轴于点， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点是点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴. 【小问2详解】 ①如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 由（1）可知，，， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ， ∵轴，，轴， ∴， ∵， ∴， 在和和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴. ②如图，连接，， 由（1）可知，四边形是正方形， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： 第一种情况：点在第一象限， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由①可知，在中，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴，， 由①得：，， ∴， ∴； 第二种情况：点在第四象限， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 由①可知，在中，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴，， 由①得：，， ∴， ∴. 综上所述，点的坐标为或. 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识.解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，用分类讨论的思想解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $