2.2 一元二次方程的解法 课件--2025-2026学年浙教版数学八年级下册

浙教版数学8年级下册培优精做课件 2.2 一元二次方程的解法 第2章 一元二次方程 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月1日 2026年3月1日星期日9时45分52秒 2026年3月1日星期日9时45分53秒 1.因式分解法：先对方程 的左边因式分解， 使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式 分别等于0，从而实现降次。像这种利用因式分解解一元二次方程的 方法叫作因式分解法。 依据：若，则或 2 知识点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1. 把方程 的二次项系数化为1，可得方程 ( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 3 3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 常见类型 因式分解 方程的解 , , ,为常数 , 4 2. 一元二次方程 配方后 可变形为( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 5 典例1 解下列方程： （1） ； 解：移项，得 ， 将方程的左边分解因式，得 ， 则,或 ，解得， 。 6 （2） ; 解：将方程的左边分解因式，得 , 则, 解得。 表示一元二次方程有两个相等的实数根 7 （3） 。 解：移项，得 。 将方程的左边分解因式，得 , 则,或 , 解得, 。 注意：原方程两边不能同时约去 ，否则变形后的结果为,会导致漏掉这个根 8 3. 已知关于的方程 通过配方可变形为 ，则 的值为( ) A A. B. 4 C. D. 8 【点拨】 , ， ， 中考考法 9 . 解得 . 故选A. 返回 中考考法 1.开平方法：一般地，对于形如 的方程，根据平方根 的定义，可得, 。这种解一元二次方程的方法叫作 开平方法。 11 2.适用类型#3 适用类型 方程的解 ,,是常数，, ,,, 是常数， , 12 敲黑板 形如 的方程的解的情况： （1）当 时，方程有两个不相等的实数根，， 或 。 （2）当时，方程有两个相等的实数根， 。 （3）当 时，方程没有实数根。#3.1.2.3 13 4.用配方法解方程： . 解：方程的两边同除以3，得_______________， 把常数项移项，得____________， 方程两边同加上_____，得_______________________， 即____________. 解得_______________. , 返回 中考考法 14 典例2 解下列方程： （1） ； 解：移项，得 ， 方程两边同除以2，得 ， 解得， 。 15 （2） ； 解：两边直接开平方，得，或 ， 解得， 。 （3） 。 解：两边直接开平方，得,或 ， 解得， 。 16 5. 用配方法解下列方程： （1） ； 【解】 , ， 即 ， 解得 . 中考考法 17 （2） ; ， ， ， 即 . 则，解得， . 中考考法 18 （3） ; ， , ,即 . 则 ， 解得， . 中考考法 19 （4） . ， ， , 即 ， 则 ， , . 返回 中考考法 20 1.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一 个非负常数，即将方程转化为 的形式，然后用 开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。 配方法的依据是完全平方公式 和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解 21 2.用配方法解一元二次方程的步骤：#3 一般步骤 方法 示例 一化 二次项系 数化为1 左、右两边同时除 以二次项系数。 。 二移 移项 将常数项移到等号 右边，含未知数的 项移到等号左边。 。 22 一般步骤 方法 示例 三配 配方 左、右两边同时加 上一次项系数一半 的平方。 ,即 。 四开 开平方求 根 直接开平方。 ,所以 , 。 23 知识点2 配方法的应用 6. 用配方法将二次三项式 变形后的结果是 ( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 24 7.填空： （1）___（___） ； （2）_ __（__） . （3）___（___） . 9 3 8. 若是一个关于 的完全平方 式，则 等于_____. 返回 中考考法 25 典例3 用配方法解一元二次方程： （1） ; 解：移项，得 ， 方程两边同时加上，得 ， 即 ， 则,或 ， 解得， 。 方程两边同时加上一次项系数一半的平方（前提是二次项系数为1） 降次（转化为两个一元一次方程） 26 （2） ; 解：方程两边同时除以4，得 , 移项，得 ， 方程两边同时加上，得 , 即 。 则，或 ，解得, 。 27 （3） 。 解：移项，得。 把 看作一个整体 方程两边同时加上，得 , 即 。 则，或 , 解得, 。 28 9.当为何值时，代数式的值与代数式 的 值互为相反数？ 【解】由题意，得 ， 即 ， 方程两边同时除以3，得 ， 移项，得 ， 中考考法 29 两边同加上，得 ，即 ， 则 ， 解得， . 当或时，代数式 的值与代数式 的值互为相反数. 返回 中考考法 30 1.求根公式： 问题提出 在学习了配方法之后，如何解用一般形式表示的一元二次方程 <m></m>? 【问题分析】 一元二次方程<m></m>的二次项系数<m></m>不一定为1， 但只要在方程的两边同除以二次项系数<m></m>，就化归为我们已能求解 的一元二次方程类型。#2.1.2.1 31 【推导过程】#2.1.3 方程 。 求解 过程 一化 。 二移 。 三配 ,即。 四开 ， 。 32 【结论归纳】 对于一元二次方程<m></m>，当<m></m>时， 它的两个根为<m></m>。这个公式叫作一元二次方程的求根 公式。 2.公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数<m></m>,<m></m>,<m></m>的 值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 33 10. 下列变形正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 34 11. 已知， （为任意实数），则， 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 不能确定 【点拨】因为 ，所以 .故选A. 返回 中考考法 35 3.用公式法解一元二次方程的步骤： （1）化：把方程化为一般形式<m></m>。 （2）定：确定<m></m>，<m></m>，<m></m>的值。 （3）算：求出<m></m>的值。 （4）判：判断<m></m>的值的符号。 （5）求根：当<m></m>时，把<m></m>，<m></m>，<m></m>的值代入一元二次方程 的求根公式，求出方程的根；当<m></m>时，方程没有实数根。 36 一元二次方程解法的比较#4.1 方法 理论依据 适用方程 关键步 骤 主要特点 因式分 解法 若 ， 则 或 。 右边化为0后，左 边易分解为两个 一次因式的积的 形式的方程。 分解因 式。 求解迅速，但适 用范围较小。 37 方法 理论依据 适用方程 关键步 骤 主要特点 开平方 法 平方根的 定义。 或 等类型的方程。 开平 方。 求解迅速，但只 适用于一些特殊 结构的方程。 配方法 完全平方 公式。 所有一元二次方 程。 配方。 解法烦琐，当二 次项系数为1时用 此法较简单。 38 方法 理论依据 适用方程 关键步 骤 主要特点 公式法 配方。 所有一元二次方 程。 代入求 根公 式。 计算量大，易出 现符号错误。 39 典例4 用公式法解下列一元二次方程： （1） ； 解：因为，，， 所以， 所以方程无实数根。 40 （2） ； 解：原方程化为，则，， 。 所以 ， 所以， 解得， 。 41 （3） 。 解：因为，， ， 所以 ， 所以 ， 解得， 。 42 1.一元二次方程的根的判别式：从一元二次方程 的求根公式的推导过程中不难看出，方程的 根的情况由代数式的值决定。因此 叫作一元二次方 程的根的判别式。 43 2.利用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况： 方程 有两个不相等的实 数根; 方程 有两个相等的实数 根;（不能说“方程只有一个根”） 方程 没有实数根。 方程在实数范围内无根，不能说“方程无根” 44 典例5 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： （1） ； 解：因为，， ， 所以 ， 所以方程有两个不相等的实数根。 （2） ； 解：因为，， ， 所以 ， 所以方程有两个相等的实数根。 45 （3） 。 解：原方程化为 ， 因为，， ， 所以 ， 所以原方程没有实数根。 46 12.若，则 的值为 _ ______________. 或 【点拨】设为，则原方程可化为 ，配 方，得 . 解得，.所以的值为 或 . 返回 中考考法 47 13.已知,则 的值为____. 13 【点拨】 ， . . ， . . 返回 中考考法 48 14. 定义：关于 的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”. 例如：与 是“同族二次方 程”.现有关于的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，则代数式 的最小值是_______. 2 019 中考考法 49 【点拨】 与 是“同族二次方程”， . 解得 代数式 的最小值是2 019. 返回 中考考法 50 15. 用配方法解下列方程： （1） ； 【解】 ， ， ， 中考考法 51 ， ， . 则或 ， 解得， . 中考考法 52 （2） ； ， ， ， ， . 中考考法 53 则或 ， 解得， . 中考考法 （3） . ， ， ， . 中考考法 55 ， ，即 ， 解得， . 返回 中考考法 16. 先仔细阅读下面的材料，再尝试解决问题. 求多项式 的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式 . 因为无论取何值，的值均为非负数，所以 的最小值为0,此时.当 时， ，故原多项式的最小值是 . 中考考法 57 解决问题： （1）请根据上面的解题思路，求多项式 的最小 值，并写出此时 的值. 【解】 . 因为无论取何值，的值均为非负数，所以 的最小值为0,此时 . 当时， ， 故多项式的最小值是1,此时的值为 . 中考考法 58 （2）请根据上面的解题思路，求多项式 的最 大值，并写出此时 的值. 因为无论取何值， 的值均为非正数，所以 的最大值为0,此时 . 当时， ， 故多项式的最大值是15，此时的值为 . 中考考法 59 （3）某一农户计划利用已有的一堵长为 的墙，用篱笆 围成一个长方形园子，现有篱笆总长.如图,设 , 则当 取何值时，园子的面积最大？最大面积是多少？ 中考考法 60 【解】设园子的面积为 . 由题意，得 . 因为无论取何值， 的值均 为非正数，所以 的最大值 为0,此时 . 中考考法 61 当 时， ， ， 所以当 时，园子的面积最大，最 大面积为 . 返回 中考考法 课堂小结 63 $