精品解析：江西赣州市赣县区2025-2026学年第一学期九年级数学期末练习题

2025~2026学年第一学期九年级数学 期末练习题 说明： 1、本卷共有六个大题，23个小题，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答． 一、选择题（本大题共6小题．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正方形网格中，以格点为圆心画圆，使该圆经过格点，，并在圆弧上取点，连接，则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 5. 如图是某停车场的平面示意图，停车场长为米，宽为米． 停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为平方米． 求车道的宽度． 设停车场内车道的宽度为 x 米，根据题意所列方程为（    ） A. B. C. D. 6. 定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为4，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 二、填空题（本大题共6小题．） 7. 已知的半径为3，点在外，写出一个长度的整数值：______． 8. 若是方程的一个根，则的值为___________． 9. 将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 10. 现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 11. 如图，某传送带转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品A之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品A被传送___________．（结果保留） 12. 如图，在矩形中，，，将对角线绕着点A旋转得到，连接，若为直角三角形，则线段的长度可能为________． 三、（本大题共5小题） 13. （1）解方程：， （2）如图，绕点A旋转得到．点D在边上，，求的长． 14. 已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． （1）求此二次函数解析式； （2）当时，直接写出x取值范围． 15. 如图，在中，，半径，，垂足为D，． （1）求证：； （2）若的半径为5，，则______． 16. 如图，在正方形网格中，正方形的顶点均为格点，将绕点逆时针旋转某一角度后，得到． （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形； （2）在图2中，请仅用无刻度的直尺作出的平分线． 17. 学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组． （1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________； （2）请利用列表或画树状图方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率． 四、（本大题共3小题） 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）点C关于原点对称点的坐标为___________； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； （3）若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 20. 赣县田村黄元米果历史悠久，起源于唐朝，明朝正德年间被列为皇室贡品，是赣南特色美食代表．某作坊专营田村黄元米果，其进价为元/千克．市场调研发现：当销售单价定为元/千克时，平均每天可售出千克；销售单价每提高元，平均每天销量就会减少千克．为规范市场定价，物价部门规定该米果的销售单价需高于元，且不超过元． （1）若该作坊希望每天获得元的销售利润，那么销售单价应定为多少元/千克？ （2）当销售单价定为多少元/千克时，该作坊每天销售黄元米果所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 五、（本大题共2小题） 21. 【课本再现】 （1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（　　） A. B． C． D． 【变式探究】 （2）如图2，分别与相切于A，B两点，若． ①求的度数； ②若，求阴影部分的面积． 22. 定义：抛物线与轴交于，两点（点A在点B的左侧），它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“完美抛物线”． （1）理解：下列抛物线是“完美抛物线”的是_____．（填序号） ①     ②  ③ （2）应用：若“完美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式． （3）拓展：已知“完美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为．若该“完美抛物线”与抛物线开口大小一样，求点的纵坐标． 23. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． 【操作发现】（1）如图，固定，使绕点旋转，点恰好落在边上时，填空： ① ； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 ． 【猜想论证】（2）当在如图所示的位置时，小明猜想（）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． 【拓展探究】（3）已知，点是角平分线上一点，，交于点（如图），若在射线上存在点，使，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级数学 期末练习题 说明： 1、本卷共有六个大题，23个小题，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答． 一、选择题（本大题共6小题．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 3. 如图，在正方形网格中，以格点为圆心画圆，使该圆经过格点，，并在圆弧上取点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形性质，首先连接并延长，交于点，连接、，根据圆周角定理可知，，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接、， ，， 由网格可知， ， . 故选：B． 4. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据含的直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质可求出，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 5. 如图是某停车场的平面示意图，停车场长为米，宽为米． 停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为平方米． 求车道的宽度． 设停车场内车道的宽度为 x 米，根据题意所列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键．将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为列方程即可． 【详解】解：根据题意可得， 故选：D． 6. 定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为4，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次函数一般式化顶点式，理解新定义是解答本题的关键． 设存在一点，使得，把变形为，根据新定义列出方程组求解即可． 【详解】解：设存在一点，使得， ∴， ∴， ∴， 由题意，得 ， 解得． 故选B． 二、填空题（本大题共6小题．） 7. 已知的半径为3，点在外，写出一个长度的整数值：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟记点与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键． 点在外，则大于的半径3，因此的长度的整数值只需取大于3的整数即可． 【详解】解：点在外， ， 的长度要求取整数值， ∴可取， 故答案为：（答案不唯一）． 8. 若是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根求参数，代数式求值，将代入得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴，即， ∴， 故答案为：． 9. 将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移性质，二次函数图象平移不改变二次项系数，根据二次函数的顶点式（其中为顶点坐标，为二次项系数），将，，代入，即可求出答案． 【详解】解：平移后的解析式为， 故答案为： 10. 现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知点落入黑色部分的频率稳定在左右，然后乘以二维码的面积即可． 【详解】解：估计黑色部分的面积约为． 【点睛】经过大量重复试验，事件发生的概率近似的等于频率． 11. 如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品A之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品A被传送___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，得：传送带上的物品A被传送的距离等于圆心角为的扇形的弧长， ∴传送带上的物品A被传送的距离为． 12. 如图，在矩形中，，，将对角线绕着点A旋转得到，连接，若为直角三角形，则线段的长度可能为________． 【答案】或或1 【解析】 分析】本题考查旋转性质，勾股定理，三角形三边关系等．根据题意分三种情况讨论，第一种当时，第二种当时，第三种当时，每种情况画出对应图形，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵为直角三角形时，一共有三种情况 ①当时，如下图： ∵矩形中，，， ∴， ∵将对角线绕着点A旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如下图： 当点在左侧时， ∵将对角线绕着点A旋转得到， ∴， ∵， ∴， 当点在右侧时， ∵，， ∴； ③当时，如下图： 此时，， 不符合斜边大于直角边关系，即此种情况舍去， 综上所述：线段的长度可能为或或1， 故答案为：或或1． 三、（本大题共5小题） 13. （1）解方程：， （2）如图，绕点A旋转得到．点D在边上，，求的长． 【答案】（1）；（2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，旋转的性质， 对于（1），先移项，配方，再开方求出解； 对于（2），根据旋转的性质得，再根据全等三角形的性质得，然后根据得出答案． 【详解】解：（1）移项，得， 配方，得， 配方，得， 开方，得， ； （2）将绕点A顺时针旋转得到，点D恰好落在边上，且， ， ． 14. 已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． （1）求此二次函数解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将和代入二次函数进行计算求解和的值即可 （2）根据二次函数的图像性质，由于开口向上，与的交点为、，所以时， x的取值范围在两交点之间． 【小问1详解】 解：根据题意得： 解方程组得： ∴二次函数解析式； 【小问2详解】 解：由（1）知，二次函数解析式为， 所以该二次函数的图像开口向上，与轴的交点为、， 因此，当时，x的取值范围为：． 15. 如图，在中，，半径，，垂足为D，． （1）求证：； （2）若的半径为5，，则______． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 16. 如图，在正方形网格中，正方形顶点均为格点，将绕点逆时针旋转某一角度后，得到． （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺补全正方形绕点旋转后的对应图形； （2）在图2中，请仅用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺和旋转的作图、正方形的性质理解、全等三角形的判定与性质的理解，熟练掌握无刻度直尺和旋转的作图、全等三角形的判定与性质的理解是解题的关键． （1）根据无刻度直尺和旋转作图即可； （2）记和交于点，根据旋转、正方形的性质，得出，，结合，利用可证，得出，故射线即为的平分线． 【小问1详解】 解：如图，图形即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图，射线即为所求， ． 17. 学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组． （1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________； （2）请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率；能用画树状图法或列表法求概率是解题的关键． （1）用列举法列出结果，用概率计算公式，即可求解； （2）画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解； 【小问1详解】 解：共有种结果：A．搭豇豆架、B．斩草除根C．趣挖番薯、D．开垦播种， 甲选择“趣挖番薯”小组的概率为； 故答案为； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有种， 甲、乙两人选择同一个小组的概率为， 答：甲、乙两人选择同一个小组的概率为． 四、（本大题共3小题） 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， ； 小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或1， ， ． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）点C关于原点对称点的坐标为___________； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； （3）若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 【答案】（1） （2）作图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了点的中心对称、作图旋转变换、轴对称最短路线问题、勾股定理，掌握相关知识及“将军饮马”问题是解答本题的关键． （1）根据点C关于原点对称，横纵坐标互为相反数可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为，再由勾股定理计算可得答案． 【小问1详解】 解：∵点， ∴点C关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵绕点A逆时针旋转得到的，， ∴的点的坐标分别为． ∴如图1所示； 【小问3详解】 解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为． 由勾股定理，得． 故答案为：． 20. 赣县田村黄元米果历史悠久，起源于唐朝，明朝正德年间被列为皇室贡品，是赣南特色美食代表．某作坊专营田村黄元米果，其进价为元/千克．市场调研发现：当销售单价定为元/千克时，平均每天可售出千克；销售单价每提高元，平均每天的销量就会减少千克．为规范市场定价，物价部门规定该米果的销售单价需高于元，且不超过元． （1）若该作坊希望每天获得元的销售利润，那么销售单价应定为多少元/千克？ （2）当销售单价定为多少元/千克时，该作坊每天销售黄元米果所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）元 （2）销售单价为元时，该作坊该作坊每天销售黄元米果所获的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握总利润单个的利润销售量． （1）设该天的销售单价应定为元，根据总利润单个的利润销售量，列出方程，解方程即可； （2）设作坊每天销售利润为元，根据总利润单个的利润销售量，列出与的函数关系式，求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：设黄元米果的销售单价为元（）， 由题意可得，， 整理可得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴销售单价应定为元． 【小问2详解】 解：设该作坊每天销售利润为元， 由题意可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴销售单价为元时，该作坊该作坊每天销售黄元米果所获的利润最大，最大利润是元． 五、（本大题共2小题） 21. 【课本再现】 （1）如图1，分别与相切于A，B两点，，则（　　） A. B． C． D． 【变式探究】 （2）如图2，分别与相切于A，B两点，若． ①求的度数； ②若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）D；（2）①，② 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，扇形面积公式，圆周角定理，勾股定理等知识点． （1）连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数． （2）①连接，根据切线长定理以及圆的切线的性质可得．然后根据四边形内角和定理以及圆周角定理可得，则； ②连接，延长交于点D，由①得，可得是等边三角形，证明出，在中，，则，在中，，设，则，根据勾股定理得：，解得，再由求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示， 分别与相切于A，B两点， ， ， ， ， 故选：D． （2）①如图1，连接． 分别与相切， ． ． 又， ， ． ②连接，延长交于点D． 由①得． ， 是等边三角形． ， ， ， ， ． 在中，，则 在中，，设， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，解得（舍负） ． 22. 定义：抛物线与轴交于，两点（点A在点B的左侧），它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“完美抛物线”． （1）理解：下列抛物线是“完美抛物线”的是_____．（填序号） ①     ②  ③ （2）应用：若“完美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式． （3）拓展：已知“完美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为．若该“完美抛物线”与抛物线开口大小一样，求点的纵坐标． 【答案】（1）②③ （2） （3）点的纵坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意，得到，，求出点坐标，待定系数法求出点的值，求出函数解析式，再令，求出点的纵坐标即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴顶点坐标为，横纵坐标均为分数，不是整数， 故①不是完美抛物线； ②当时，解得； ∴，，两个点的横纵坐标均为整数； ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为，横纵坐标均为整数； 故②是完美抛物线； ③， ∴抛物线的顶点坐标为，横纵坐标均为整数； 当时，解得或； ∴，，两个点的横纵坐标均为整数； 故③是完美抛物线； 故答案为：②③； 【小问2详解】 ∵“完美抛物线”的顶点坐标为， ∴，对称轴为直线； ∵， ∴，即：； ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 ∵“完美抛物线”与抛物线开口大小一样， ∴， ∵“完美抛物线”的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为或，对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，解得， 当时，解得 ∴或 ∴当时，或； 故点的纵坐标为或． 23. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，． 【操作发现】（1）如图，固定，使绕点旋转，点恰好落在边上时，填空： ① ； ②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 ． 【猜想论证】（2）当在如图所示的位置时，小明猜想（）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想． 【拓展探究】（3）已知，点是角平分线上一点，，交于点（如图），若在射线上存在点，使，请求出的度数． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）①在中，已知，，可求出．当绕点旋转，点落在上时，，进而求出； ②根据旋转的性质可得，然后得出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后证明；根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，则；由，的面积和的面积相等，从而得到与的数量关系为相等； （2）根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等即可证明； （3）过点D作，连接，证明，得出此时点符合题意，求出；过点作，证明，得出，说明，点也是所求的点，求出结果即可． 【详解】解：（1）①在中，，， ． ∵， 是等边三角形， ． 故答案为：； ②∵，， ∴； 绕点旋转，点恰好落在边上， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ∴， ，， ， ， ∴； ∵， ∴的面积和的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， 的面积和的面积相等， ； 故答案为：相等； （2）证明：如图，过点D作于点M，过点A作交延长线于点， 是由绕点C旋转得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 的面积和的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， ； （3）如图，过点D作，连接， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴、上的高相等， ∴， ∴此时点符合题意， 是的平分线， ， ∵， ∴； 如上图，过点作， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， 点也是所求的点， 此时； 综上，的度数为或． 【点晴】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $