精品解析：云南省昆明师范专科学校附属中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

绝密★启用前 昆明师专附中2025—2026学年上学期1月学业质量监测 初三数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页； 满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断每个选项． 【详解】A．是一元二次方程； B． 中含有分式，不是一元二次方程； C．化简得，不是一元二次方程． D．中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程． 故选：A． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，通过计算判别式的值来判断一元二次方程的根的情况． 【详解】∵方程中，， ， ， ∴， ∴ 方程没有实数根． 故选：D． 4. 抛物线与x轴的交点是，，则抛物线的对称轴是直线（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数对称轴性质，关键是利用交点坐标求对称轴． 根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的交点关于对称轴对称． 【详解】∵抛物线与x轴的交点是，， ∴这两个点关于对称轴对称， ∴对称轴为直线． 故选：B． 5. 下列事件中，必然事件是（ ） A. B. 明天会下雨 C. 汽车经过路口时，红绿灯显示绿灯 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟练掌握必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件是解题的关键． 根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是必然事件，故本选项符合题意； B、是随机事件，故本选项不符合题意； C、是随机事件，故本选项不符合题意； D、是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：A 6. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由得，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为， 故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 7. 如图，圆锥的母线长为，高线长为，则圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出圆锥底面半径，再计算侧面积及底面积相加即可． 【详解】解：圆锥的底面半径是： ∴圆锥的侧面积， 底面积， ∴圆锥的表面积， 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆锥的表面积的计算，能够熟练运用侧面积计算公式计算是解题关键． 8. 如图，A、B、C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键；根据圆周角定理求解即可． 【详解】解： ， 故选：． 9. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质，先确定对称轴，再根据增减性进行求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为，且开口向下， ∴ 点离对称轴越近，值越大， 计算各点到对称轴的距离： 点：， 点：， 点：， ∴ 距离关系：近，其次，最远， 故值大小关系为，即， 故选： C． 10. 下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，当时，随增大而减大，不符合题意； B．一次函数，， ∴随增大而减小，不符合题意； C．是一次函数，， ∴随增大而增大，符合题意； D．是二次函数，开口向上，顶点在，当时随增大而减小，不符合题意． 故选：C． 11. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（ ）． A. 10 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：，，， ， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ，，， ， ， 故选：C． 12. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解， 【详解】解∶ 设与墙垂直的一边长为则与墙平行的一边长为 根据题意得： 即． 故选A． 13. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，轴于点A，交于点B， ∴， ∴． 故选：C． 14. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质；根据二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，可得，，即可判断③；再由二次函数的图象的对称轴为直线，可得，可判断①；根据当时，，可判断②；根据抛物线与轴有两个不同的交点，即可判断④． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵根据函数图象可知：当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有②③④． 故选：C． 15. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）、若物体的高为，小孔O到的距离为，则实像的高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．易证明， ， 从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ∴， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若点(－2，4)在反比例函数(k≠0)的图象上，则k=____． 【答案】-8 【解析】 【分析】直接把（-2，4）代入反函数中，可得关于k的一元一次方程，求解即可. 【详解】把（-2，4）代入反比例函数中，得 解得k=-8 故答案为：-8. 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，经过函数的某点一定在函数的图象上. 17. 两个相似三角形相似比为，较小三角形周长为，则较大三角形周长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比计算即可． 【详解】解：设较大的三角形的周长为， 这两个相似三角形的相似比为， 这两个三角形的周长比为， 较小的三角形的周长为， ， ， 故答案为：． 18. 若是方程的根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是正确理解方程的根． 根据一元二次方程的解，将代入方程，求出的值，代入所求代数式，计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19. 刘徽是中国古代卓越数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，的半径为6，则的内接正六边形的面积为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题关键．连接、，根据正多边形和圆的关系可判断出为等边三角形，过点作于点，再利用勾股定理即可求出长，进而可求出的面积，最后利用的面积约为即可计算出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可得：， ， 为等边三角形， ， 过点作于点，则， 在中，， ， 的面积约为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再合并同类项，然后利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点B的坐标是． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点A逆时针旋转后的，并求的面积． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为； （2）图见解析，的面积为 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、轴对称变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作出图形，根据点的位置写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质作图，再利用割补法即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 的面积． 22. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据将圆形转盘四等分，即可求解； （2）画出树状图即可求解． 小问1详解】 解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D， ∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为： 故答案为： 【小问2详解】 解：画出树状图，如图： 共有种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有种 故甲和乙选到不同活动项目的概率为： 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率的相关知识．掌握相关结论并正确求解是解答的关键． 23. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）由，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，在第三象限交于点． （1）求和的值，以及点的坐标； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）先把点A的坐标代入一次函数解析式求出m，再把点A的坐标代入，即可求出k；最后解方程组即可求得点B的坐标； （2）先确定交点、，然后直接根据两函数的图象即可确定不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象与一次函数图象相交于点． ∴将点的坐标代入一次函数得：． ∴对于反比例函数有：． ∴反比例函数解析式为． ∴令，即：， 解得，． ∴当时，代入一次函数中，得． 则点的坐标为； 【小问2详解】 解：已知点、、． 则结合图象可知：反比例函数在一次函数下方的的范围是：或． 以上为的解集，即的解集． 25. 专卖店卖某品牌文化衫．如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数解析式；（写出自变量的范围） （2）设超市每天销售这种文化衫可获利元，当为多少时最大，最大值是多少元？ 【答案】（1），，且x为偶数 （2）当为20时最大，最大值是2000元 【解析】 【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可； （2）根据题意得到w的表达式，根据二次函数的性质即可得到结论． 本题考查一次函数表达式的求解及二次函数的性质的应用． 【小问1详解】 解：设销售单价增加x元，每天售出y件． 根据题意，得， ∵该品牌文化衫每件利润不能超过50元， ∴，， ∴，其中，且x为偶数； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，． ∴当x为20时w最大，最大值是2000元． 26. 已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴一个交点的横坐标． （1）求该抛物线的解析式； （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线可求出c的值，根据增减性得到抛物线对称轴为直线，求出b的值，即可得到抛物线解析式； （2）根据m是抛物线与轴交点的横坐标，得到，变形为，进而得到，整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ，即， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 抛物线对称轴为直线， ∴， ， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：是抛物线与轴一个交点的横坐标， ， ∴， ， 方程两边除以得，即， ， ， ． 27. 如图，是的直径，是的切线，点为切点，连接，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接，，．分别延长，相交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，证明是解题的关键． （1）证明，得到，即可证明结论； （2）证明即可得出结论； （3）由可求出，由可设，，由得，得，，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴垂直平分．且平分． ∴在和中： ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：由（2）得 ∴，即， ∴， 又∵， ∴设，，由得： ∴，即， ∴（舍去负值）， 即，． ∵点、分别为、的中点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 昆明师专附中2025—2026学年上学期1月学业质量监测 初三数学试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页； 满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 4. 抛物线与x轴的交点是，，则抛物线的对称轴是直线（ ）． A. B. C. D. 5. 下列事件中，必然事件是（ ） A. B. 明天会下雨 C. 汽车经过路口时，红绿灯显示绿灯 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 6. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 7. 如图，圆锥的母线长为，高线长为，则圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A、B、C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 10. 下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（ ）． A. 10 B. 8 C. D. 12. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 无法计算 14. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 15. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）、若物体的高为，小孔O到的距离为，则实像的高为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若点(－2，4)在反比例函数(k≠0)的图象上，则k=____． 17. 两个相似三角形相似比为，较小三角形周长为，则较大三角形周长为______cm． 18. 若是方程的根，则的值为________． 19. 刘徽是中国古代卓越数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，的半径为6，则的内接正六边形的面积为________．（结果保留根号） 三、解答题（本大题共7小题，共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点B的坐标是． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点A逆时针旋转后的，并求的面积． 22. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）． （1）任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______； （2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率． 23. 如图，中，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，在第三象限交于点． （1）求和的值，以及点的坐标； （2）直接写出不等式解集． 25. 专卖店卖某品牌文化衫．如果每件利润30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数解析式；（写出自变量的范围） （2）设超市每天销售这种文化衫可获利元，当为多少时最大，最大值是多少元？ 26. 已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴一个交点的横坐标． （1）求该抛物线的解析式； （2）求代数式的值． 27. 如图，是的直径，是的切线，点为切点，连接，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接，，．分别延长，相交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $