精品解析：甘肃省靖远县第一中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

高二数学 满分150分，考试时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分.共40分.在每小顾给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】应用分步乘法计数原理列式计算即可. 【详解】由题意，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是. 故选：B 2. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量求出斜率，代入点斜式方程求解. 【详解】因为l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率， 直线l过点，所以直线l的方程为，即， 故选：C. 3. 等比数列中，，，则（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列定义计算得到，进而得出结果即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得， 解得；则. 故选：B 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交 【答案】C 【解析】 【分析】计算两圆的圆心距并与两圆半径之和比较，即可得答案. 【详解】由题知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 所以，所以圆与圆外切. 故选：C. 5. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令得，则即为货车高度的最大值. 【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系， 设抛物线方程为， 由图可知抛物线过点，代入抛物线方程， 得，解得，所以抛物线方程为. 因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米， 所以车行驶时，的取值范围为. 当时，， 要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米. 故选：C 6. 已知是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离平方的取值范围，再利用圆的弦长公式求出最小值. 【详解】圆的圆心为，半径，由是的等差中项，得， 则点到直线的距离， 因此，当时，， 当时，，当且仅当时取等号， 即，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4. 故选：C 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是上一点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义与已知联立，求出、，再由结合勾股定理得到与的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为，不妨设点在第一象限， 则，解得，又， 所以，即，所以的离心率. 故选：B 8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求出，进而可得，对分奇偶求得，进而可求得实数的最小值. 【详解】当时，， 当时，， 当时，适合上式，所以， ， 当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，， 所以， 综上，， 又因为不等式恒成立，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分为奇数与为偶数两种情况求得，进而求得的最大值，进而求得实数的最小值. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算错误的是（） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数运算法则及基本函数的导数公式逐项求导判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BC 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. 中最大 C. 使得的的最大值为13 D. 数列是递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质可得，求得判断A；根据等差数列的前n项和的定义及项的符号判断B；根据等差数列前n项和公式和性质判断C；根据数列单调性定义判断D. 【详解】由，，知，所以，A正确； 由知中最大，B正确； 由，， 知使得的的最大值为14，C错误； 因为，所以， 所以数列是递减数列，D正确. 故选：ABD. 11. （多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. 若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D. 点到平面距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用向量法求直线与直线所成角、判断位置关系、求平面与平面所成角的余弦值、结合参数范围求点到平面距离的最值. 【详解】由题设建立如下图示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 则，显然直线MN与所成角不为，A选项错误； 又，故，B选项正确； 由，，若为平面AMP的一个法向量， 则，令，则， 由平面的一个法向量为，，所以， 设平面与平面所成的角为， 则， C选项正确； 易知，则点到平面的距离为， 又，上式分子分母同时除以，可得， 令，则， 易知当时，，D选项正确. 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解. 【详解】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 13. 已知等比数列的前项和为，若，且，则______. 【答案】17 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项和性质得，从而利用求解即可. 【详解】设的公比为，则，解得， 所以. 故答案为：17 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于点，若为线段的中点，且成等差数列，则双曲线的离心率的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意求出参数m，进而得到，从而求出，再在中由勾股定理即可求解. 【详解】连接，则由题意可知， 设，则， 因为成等差数列，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以双曲线的离心率的值为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 抛物线的焦点为，的准线上存在两点，使得是边长为的等边三角形. （1）求的方程. （2）讨论直线与的交点个数. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线和等边三角形的对称性进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否存在进行讨论，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，故的方程为. 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，可得， 当时，方程变为，解得，此时有1个交点， 当时，可得， 当时，此时，解得，此时有2个交点， 当时，此时，解得或，此时有1个交点， 当时，此时，解得，此时有0个交点， 综上可得，当时，直线与的交点个数为2， 当或或时，直线与的交点个数为1， 当时，直线与的交点个数为0. 16. 已知椭圆的焦距为2，点在上. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，和椭圆焦距为2，列出等式求解即可； （2）联立椭圆和直线方程，由韦达定理、中点坐标公式及两点间距离公式即可求解. 【小问1详解】 由题知 解得 所以的方程为； 【小问2详解】 设的坐标分别为， 联立方程消去后整理得， 则，， 所以，， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． （1）求证：平面； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值． 【答案】（1） ∵平面，平面，， ，，为中点，， 又平面平面平面，平面平面， 平面， 平面，， 又平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，面面垂直的性质得到线线垂直，从而得到线面垂直； （2）空间内找到三条两两垂直直线，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标即可得向量坐标，利用向量的数量积求平面的一个法向量，由向量的数量积得线面角的正弦值，由题意建立方程，解得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点E，连接，为的中位线， ，平面， 以所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立下图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则 即， 取， ∵， 设直线与平面所成角为， ∴， ∴，所以或，解得或（舍去）. 18. 已知椭圆的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．. （1）求的方程. （2）不过点的直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点；并求定点坐标. （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值即可. 【小问1详解】 令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得， 解得， 由三角形面积为，得，则，， 故的方程是. 【小问2详解】 （i）由（1）知，点， 当斜率为0时，直线方程为， 此时设，，， 则，，得到， 因为直线与的斜率之积恒为，所以， 因为在椭圆上，所以， 联立方程组，该方程组无解，则该情况与题意不符，排除， 当斜率不为0时，讨论如下， 如图，设直线的方程为，设， 由，消去x得， 则， 直线与的斜率分别为，， 于是 ，整理得，解得或， 当时，直线过点，不符合题意，因此， 直线恒过定点. （ii）由（i）知，， 则， 因此的面积 ， 当且仅当，即时取等号， 故面积的最大值为. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. （1）求的方程； （2）设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②9 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和双曲线上点的坐标确定的值，可得双曲线的标准方程. （2）①分直线的斜率是否为0分类讨论.当直线斜率不为0时，设直线方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合，可得的关系，确定直线过定点. ②结合①的结论，利用表示出的面积，利用函数的单调性求其最小值. 【小问1详解】 由题知，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 如图： ①证明：由（1）知，设的坐标分别为. 当直线的斜率为0时，，则，， 当时，，解得，则中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则， 由，知 解得或2， 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. ②解：由①知当时，， 由，得， 的面积为 ， 又， 设，则，， 因为在上单调递减，，， 所以. 即， 所以，当时，等号成立， 所以面积的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 满分150分，考试时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分.共40分.在每小顾给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 2. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，，，则（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 40 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交 5. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是上一点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算错误的是（） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. 中最大 C. 使得的的最大值为13 D. 数列是递减数列 11. （多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. 若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D. 点到平面距离的最大值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 13. 已知等比数列的前项和为，若，且，则______. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于点，若为线段的中点，且成等差数列，则双曲线的离心率的值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 抛物线的焦点为，的准线上存在两点，使得是边长为的等边三角形. （1）求的方程. （2）讨论直线与的交点个数. 16. 已知椭圆的焦距为2，点在上. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，求. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． （1）求证：平面； （2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值． 18. 已知椭圆的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．. （1）求的方程. （2）不过点的直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点；并求定点坐标. （ii）求面积的最大值． 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. （1）求的方程； （2）设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $