专题 2.10 相交线与平行线（单元培优卷）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.10 相交线与平行线（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，，且平分平分交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，点E，F分别是长方形的边上的点，连结，此时．将四边形沿翻折得到四边形，交于点G．继续将四边形沿翻折，点N翻折到点P处．设，，则α与β满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·江西赣州·月考）一个角的补角比它的余角的2倍多，这个角是 ． 12．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，，，E为射线上的一点，连接，若，，则 °． 13．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 14．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 15．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的折叠，使得点B的对应点落在直线上，折痕为，再将折叠，使得折叠后点C的对应点落在直线上，折痕为，此时可得，若，则的度数为 ． 16．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且． （1）若，则的度数为 ； （2）与互余的角是 （写出所有的角）． 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）点、分别是长方形纸条边、上一点，分别沿、折叠，如图，点落在处，点落在点处，使得，若 ． 18．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图1是常见的超市购物车，图2是其侧面示意图．已知，，若，，则的度数为 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，． (1)若，求的度数． (2)若与互补，求的度数． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，平分，平分，且，说明的理由． 解：∵平分（已知），∴（________）． 同理， 又∵（已知），∴________________， 又∵（已知），∴________（等量代换）， ∴（________）． 21．（本小题满分12分）（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知，如图，为直线上一点，于点．点为射线上一点，从点引两条射线分别交直线于点，（点在点左侧，点在点右侧），过点作交于点，为线段上一点，过作于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数； (2)写出表示与的数量关系的等式，并说明理由． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图1，为射线上一点，．根据以上条件解答下列问题： (1)若．求证：； (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，直接写出的度数． 23．（本小题满分12分）（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.10 相交线与平行线（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【分析】利用对顶角、垂直的性质、角平分线的定义以及余角和补角的概念，逐一分析每个选项，结合已知条件计算相关角度来判断结论是否正确． 【详解】解：A、和是对顶角，根据对顶角相等，，符合题意； B、由得，平分，故，符合题意； C、，∴与互为补角，符合题意； D、的余角为，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角、垂直的性质、角平分线定义及余角补角的概念，解题关键是结合已知条件，利用相关性质准确计算角度，进而判断选项的正确性． 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角尺的角度特征、余角与补角的性质，对每个图形依次分析：第一个图形通过平角与三角尺角度计算即可判断；第二个图形利用同角的余角相等判断；第三个图形通过平角与三角尺角度计算即可判断；第四个图形直接根据三角尺角度及互补关系判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A图中，， 那么； B图中，， ∴； C图中，， ∴； D图中，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案． 【详解】解：A.、与是内错角，符合题意； B、与不是内错角，不符合题意； C、与不是内错角，不符合题意； D、与不是内错角，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，，且平分平分交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．利用平行线的性质，角平分线的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故C结论正确，不符合题意； 要使，即平分， ∵不一定平分， ∴不一定相等，故D结论错误，符合题意． 故选：D． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 7．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断． 【详解】解：∵， ，即， ，所以③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴平分，即①正确； ∵平分， ∴， ∴ ∴，即②正确； 时，， ∴， ∴， ∵，而，， ∴， ∴．故④错误． 综上，正确的结论有①②③，共3个． 故选C． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及“平行线+角平分线”的经典组合，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线定义可得，由，根据同角或等角的余角相等即可判断选项B正确． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴，故B符合题意； A、C、D均没有条件可证明，不符合题意． 故答案为： B． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，点E，F分别是长方形的边上的点，连结，此时．将四边形沿翻折得到四边形，交于点G．继续将四边形沿翻折，点N翻折到点P处．设，，则α与β满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，角的和差运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由折叠性质得，再结合平行线的性质，得，，然后代入，得，再结合，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵折叠 ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出与的数量关系． 【详解】解:如图，过点作，过点作． ∵ ， ∴， ∴，． ∵ ，分别平分，， ∴，，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·江西赣州·月考）一个角的补角比它的余角的2倍多，这个角是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了补角和余角的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握补角和余角的定义是解题的关键． 设这个角是，根据补角比余角的2倍多列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角是，则它的补角为，余角为， 根据题意，得， 解得， ∴这个角是． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，，，E为射线上的一点，连接，若，，则 °． 【答案】15或10 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．当点在线段的延长线上时，先根据平行线的性质可得，，再根据角的和差可得，根据即可得到答案；当点在线段上时，根据平行线的性质得到，再根据即可得到答案． 【详解】解：如图，当点在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在线段上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15或10 13．一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【详解】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 14．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点作，过点作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点作，则，因此． 【详解】解：过点作，过点作， 、， ， ，，， ， ， 即， ， ， 平分，平分， ，， ． 过点作， ， ， ，， ． 故答案为：142． 15．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的折叠，使得点B的对应点落在直线上，折痕为，再将折叠，使得折叠后点C的对应点落在直线上，折痕为，此时可得，若，则的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键； 由折叠的性质可得：，求出，从而得出，即可推出，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：70． 16．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且． （1）若，则的度数为 ； （2）与互余的角是 （写出所有的角）． 【答案】 /125度 、、、 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，设，根据角的和差、平行线的性质、角平分线的定义表示出，最后根据余角的定义即可作答． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵平分， ∴， 设， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴与互余的角是、、、． 故答案为：、、、． 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）点、分别是长方形纸条边、上一点，分别沿、折叠，如图，点落在处，点落在点处，使得，若 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了长方形的性质，翻折变换的性质，平行线的性质，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质，平行线的性质是解决问题的关键．根据长方形的性质及，则，由得，由折叠的性质得，，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ， ． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图1是常见的超市购物车，图2是其侧面示意图．已知，，若，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，过点E作， ，由可得，根据平行线的性质可得，进而求出，，进而利用邻补角求出． 【详解】解：如图，过点E作， ， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，． (1)若，求的度数． (2)若与互补，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，补角的定义，解题的关键是： （1）设，结合已知求出，，，结合得出，即可求解； （2）由（1）得，，结合与互补得出，即可求解． 【详解】（1）解：设， ， 又， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，． 因为， 所以， 解得， 所以． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，平分，平分，且，说明的理由． 解：∵平分（已知），∴（________）． 同理， 又∵（已知），∴________________， 又∵（已知），∴________（等量代换）， ∴（________）． 【答案】角平分线的定义，，，，同位角相等，两直线平行 【分析】】本题主要考查角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的性质及角平分线的定义可进行求解． 【详解】解：平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 同理， 又，（已知） ， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）； 故答案为：角平分线的定义，，，，同位角相等，两直线平行． 21．（本小题满分12分）（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知，如图，为直线上一点，于点．点为射线上一点，从点引两条射线分别交直线于点，（点在点左侧，点在点右侧），过点作交于点，为线段上一点，过作于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数； (2)写出表示与的数量关系的等式，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定、角的计算及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）①根据题意，补全图形即可； ②根据平行线的性质进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定进行分析计算即可． 【详解】（1）解：①图形如图所示， ； ②，， ． ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ． ， ． ， ， ， ， 则， ． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图1，为射线上一点，．根据以上条件解答下列问题： (1)若．求证：； (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图形角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图：过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 23．（本小题满分12分）（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $