精品解析：2025-2026学年上学期1月学情自测七年级数学学科试题

2025-2026学年度上学期七年级数学学科试题 时间：120分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题 每题3分，共30分） 1. 如图，秦岭终南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2. 下列等式变形错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法：①一个数的绝对值越大表示它的点在数轴上越靠右：②符号相反的数互为相反数；③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；④线段和射线都是直线的一部分；⑤锐角和钝角互补．其中说法正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字形中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字形后所得五个数之和为115，那么该“十”字形中正中间的号数为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 8. 有理数，在数轴上表示的位置如图所示，则代数式化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面内，，平分，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知，如图，两点把线段分成三部分，是的中点，，则线段的长是（ ）． A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 二．填空题（共5小题 每题3分，共15分） 11. 用度、分、秒表示为_______． 12. 进价为320元的某商品按标价的8折销售，利润率为，则商品的标价为_________元． 13. 如图，是的平分线，是的平分线．若，，则________． 14. 小明解方程 ，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为___________． 15. 一条水平直线l上有A，B，C三点，，，D为的中点，则的长为______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知，． （1）若，化简； （2）若的值与无关，求的值． 19. 世界杯期间某文具店用14400元购进了甲、乙两款足球，一共200个．两款足球的进价和标价如下表： 类别 甲款足球 乙款足球 进价/（元/个） 标价/（元/个） （1）求该文具店的甲、乙两款足球分别购进多少个？ （2）该文具店为了加快销售，回笼资金，决定对甲款足球打8折销售，乙款足球打9折销售，若所购的足球全部售出，则该文具店能获利多少元？ 20. 如图所示，点E是线段的中点，C是上一点，且，．求的长； 21. 如图，是直线上的一点，是直角，平分， （1）若，求的度数；  （2）若，求的度数． 22. 如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A对应的数为，点B对应的数为100． （1）线段的长度为__________、线段中点M对应的数__________； （2）现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数； （3）若电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度时，求点Q对应的数． 23. 【感悟方法】 数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这个无关的变量有时也有它的意义． 已知代数式的值与字母x的取值无关，其中a，b是常数，求a，b的值．求解过程如下： 解：原式 ， 代数式的值与字母x的取值无关， ，， 解得，，； 【迁移运用】 请用上面的解题方法解决下面的问题： 某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车．已知甲品牌的进价为 1000 元/辆，乙品牌的进价为1200元/辆．该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆，有多种进货方案．销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%，乙品牌的售价为每辆2000元．为鼓励顾客多消费，商店决定每售出一辆乙品牌的自行车，返还顾客现金a元，甲品牌的自行车售价不变．设商店购进甲品牌的自行车x辆，要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期七年级数学学科试题 时间：120分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题 每题3分，共30分） 1. 如图，秦岭终南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 2. 下列等式变形错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：A、若，则，原选项变形正确，不符合题意； B、若，则，原选项变形正确，不符合题意； C、若，则，原选项变形正确，不符合题意； D、若，在时，两边都除以可得，原选项变形错误，符合题意； 故选：D． 3. 如图，下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两个角的和与差的关系，看准两个角的位置关系是解题的关键．从图中可以看出射线是内的一条射线，所以比和要大，观察图形可知，对其变形即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 故选：C． 4. 下列说法：①一个数的绝对值越大表示它的点在数轴上越靠右：②符号相反的数互为相反数；③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；④线段和射线都是直线的一部分；⑤锐角和钝角互补．其中说法正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值越大就是离原点越远；只有符号不同的两个数叫做互为相反数；如果a是正数，b是负数，a大于b，a的倒数也大于b的倒数；直线上一点和它一旁的部分叫做射线；直线上两点及两点间的部分叫做线段；两个角的和等于，那么这两个角互为补角． 【详解】解：①．绝对值越大就是离原点越远；故本选项错误； ②．只有符号不同的两个数叫做互为相反数；故本选项错误； ③．如果a是正数，b是负数，a大于b，a的倒数也大于b的倒数．故本选项错误； ④．线段AB和射线AB都是直线AB的一部分；故本选项正确； ⑤．锐角和钝角不互补，故本选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、数轴、倒数、相反数、直线、线段、射线、互补的概念．掌握相关的概念是解题的关键．一个数到原点的距离叫做这个数的绝对值；乘积是1的两个数互为倒数；直线上一点和它一旁的部分叫做射线；直线上两点及两点间的部分叫做线段；只有符号不同的两个数叫做互为相反数；两个角的和等于，那么这两个角互为补角． 5. 如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用邻补角互补求角度，几何图形中角度计算问题． 根据邻补角互补，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：， ∴列出方程为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7. 如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字形中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字形后所得五个数之和为115，那么该“十”字形中正中间的号数为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该“十”字形中正中间的号数为x，则另外四个号数分别为，，，，根据移动“十”字形后所得五个数之和为115，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该“十”字形中正中间的号数为x，则另外四个号数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， ∴该“十”字形中正中间的号数为23． 故选：D． 8. 有理数，在数轴上表示的位置如图所示，则代数式化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴知a＜-1＜0＜b＜1，据此得出a+b＜0，a-b＜0，去掉绝对值，根据合并同类项的法则，可得答案． 【详解】解：由数轴知a＜-1＜0＜b＜1， 则a+b＜0，a-b＜0， 所以． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减，利用了绝对值的意义，合并同类项的法则，注意括号前是负号去掉括号要变号． 9. 如图，在同一平面内，，平分，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即，所以①正确； ， 所以②正确； ， 而，所以③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴，所以④正确． 所以，正确的结论有3个． 故选：C． 10. 已知，如图，两点把线段分成三部分，是的中点，，则线段的长是（ ）． A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是要注意各线段之间的和、差及倍数关系． 可设，，，再根据求出k的值，故可得出线段的长度，再根据M是的中点可求出的长，由即可得出结论 【详解】解：∵ ， ∴设，，， ∵，即， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ， 故选：B． 二．填空题（共5小题 每题3分，共15分） 11. 用度、分、秒表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据度分秒的转化，进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查角度制．熟练掌握度分秒之间的换算关系，是解题的关键． 12. 进价为320元的某商品按标价的8折销售，利润率为，则商品的标价为_________元． 【答案】500 【解析】 【分析】设该商品的标价为x元，利用利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该商品的标价为x元， 依题意得：80%x-320=320×25%， 解得：x=500， ∴该商品的标价为500元． 故答案为：500． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13. 如图，是的平分线，是的平分线．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题等知识点，熟练掌握角平分线的定义及几何图形中角度计算问题是解题的关键． 由已知条件“是的平分线，是的平分线”及角平分线的定义可得，，进而可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 故答案为：． 14. 小明解方程 ，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据小明的错误去分母过程，将 代入错误方程，求出参数 的值，再代入原方程正确求解． 【详解】解：小明去分母时，方程右边的 忘记乘 12，错误方程为 ，即 ， 将 代入错误方程：左边 ，右边 ， 得 ，解得 ， 原方程为 ， 正确去分母：两边乘 12，得 ， 即 ， 整理得 ， 移项得 ， 解得 ． 故答案为：． 15. 一条水平直线l上有A，B，C三点，，，D为的中点，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查线段的和差计算，线段中点的意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 需分两种情况讨论，当点C在线段上时，可得，则，，由中点的定义可得，则；当点C在线段的延长线上时，可得，由中点的定义可得，则，进而可得答案． 【详解】解：当点C在线段上时，如图： ，， ， ， ， 为的中点， ， ， 当点C在线段的延长线上时，如图： ，， ， 为的中点， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算，有理数四则混合运算． 按照含乘方的有理数混合运算法则，有理数四则混合运算法则进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是明确一元一次方程的解法和步骤，准确进行计算． （1）先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【小问1详解】 解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 18. 已知，． （1）若，化简； （2）若的值与无关，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)把，代入，化简得：；再把代入，即可． (2) 把，代入，化简得，根据的值与无关，即可求出的值． 【小问1详解】 ∵； ∴ 把代入 ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 【点睛】本题考查整式的加减，化简求值；熟练掌握整式的加减是解题的关键． 19. 世界杯期间某文具店用14400元购进了甲、乙两款足球，一共200个．两款足球的进价和标价如下表： 类别 甲款足球 乙款足球 进价/（元/个） 标价/（元/个） （1）求该文具店的甲、乙两款足球分别购进多少个？ （2）该文具店为了加快销售，回笼资金，决定对甲款足球打8折销售，乙款足球打9折销售，若所购的足球全部售出，则该文具店能获利多少元？ 【答案】（1）该文具店甲款足球购进120个，乙款足球购进80个 （2）所购的足球全部售出，则该文具店能获利3600元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式或方程，准确计算． （1）设甲款足球购进了x个，则乙款足球购进了个，根据两种足球总共花费为14400元，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式，进行计算即可． 【小问1详解】 解：设甲款足球购进了x个，则乙款足球购进了个， 根据题意得：， 解得：， 则（个）， 答：该文具店甲款足球购进120个，乙款足球购进80个． 【小问2详解】 解：（元）， 答：所购的足球全部售出，则该文具店能获利3600元． 20. 如图所示，点E是线段的中点，C是上一点，且，．求的长； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点，一元一次方程的应用，熟练掌握中点，解方程是解题的关键．设，，则，，解得，即可解答． 【详解】解：点E是线段的中点， ， ， 设，， ， ， ， 解得：， ． 21. 如图，是直线上的一点，是直角，平分， （1）若，求的度数；  （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把数值代入，进行计算，即可作答． （2）根据互为余角的意义求出，再根据角平分线的意义求解即可． 【小问1详解】 解：∵是直角，，且 ∴， 答：的度数为； 【小问2详解】 解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 答：的度数为． 22. 如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A对应的数为，点B对应的数为100． （1）线段的长度为__________、线段中点M对应的数__________； （2）现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数； （3）若电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度时，求点Q对应的数． 【答案】（1）120，40 （2）20 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式，和中点公式，进行求解即可； （2）设经过x秒后，两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，根据题意，列出方程，求出的值，进而求出点C对应的数即可； （3）分点在点的右侧和点在点的左侧，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：，线段中点M对应的数为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设经过x秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相遇． 由题意，得：，解得：， ， ∴C对应的数为20． 【小问3详解】 解：由（1）知：． ①设电子蚂蚁P和电子蚂蚁Q运动t秒时，Q在P左侧相距10个单位长度． 依题意，得， 解得， ∴点Q表示的数为：； ②设电子蚂蚁P和电子蚂蚁Q运动y秒时，Q在P右侧相距10个单位长度． 依题意，得， 解得：， ∴点Q对应的数为：． 综上：当两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度时，求点Q对应的数为：或． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，列出一元一次方程，是解题的关键． 23. 【感悟方法】 数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这个无关的变量有时也有它的意义． 已知代数式的值与字母x的取值无关，其中a，b是常数，求a，b的值．求解过程如下： 解：原式 ， 代数式的值与字母x的取值无关， ，， 解得，，； 【迁移运用】 请用上面的解题方法解决下面的问题： 某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车．已知甲品牌的进价为 1000 元/辆，乙品牌的进价为1200元/辆．该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆，有多种进货方案．销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%，乙品牌的售价为每辆2000元．为鼓励顾客多消费，商店决定每售出一辆乙品牌的自行车，返还顾客现金a元，甲品牌的自行车售价不变．设商店购进甲品牌的自行车x辆，要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，求a的值． 【答案】a的值为300 【解析】 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的乘法运算，设甲品牌的自行车购进x辆，则乙品牌自行车购进辆，结合总利润等于销售两种自行车的利润之和列代数式，再整理即可得到答案． 【详解】解：设甲品牌的自行车购进x辆，则乙品牌自行车购进辆，此时获 得的总利润为： ， 要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后，商店最终获利相同，即商店获得的利润与 x 无关 ， ， a的值为300． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $