精品解析：江苏盐城市大丰区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

九年级数学 练习总分：150分 完成时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，根据等可能事件的概率公式求解． 【详解】解：共有4本书，每本书被抽中的可能性相等， 抽到《九章算术》是其中1种可能， 因此概率为成功事件数除以总事件数，即， 故选：C． 2. 如图，四边形内接于．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得的度数． 【详解】因为，四边形内接于， 所以，=180°- 故选：C 【点睛】考核知识点：圆的内接四边形．熟记圆的内接四边形性质是关键． 3. 已知线段a、b、c，其中c的长度是a、b长度的比例中项，若a＝9cm，b＝4cm，则线段c的长为（ ） A. 5cm B. 6cm C. 18cm D. ±6cm 【答案】B 【解析】 【分析】若线段c的长度是a、b长度的比例中项，则根据定义列方程求解即可. 【详解】解： 线段a、b、c，c的长度是a、b长度的比例中项， a＝9cm，b＝4cm， （负值舍去） 故选：B 【点睛】本题考查的是线段的比例中项的概念，掌握“线段c的长度是a、b长度的比例中项，则”是解题的关键. 4. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， 故选：B． 5. 学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，93，92，95，95．这组数据的中位数是（ ） A. 90 B. 92 C. 93 D. 95 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，将数据重新排列，再根据中位数的定义即可得解． 【详解】解：将这组数据重新排列为：90，92，93，95，95， 故这组数据的中位数是93， 故选：C． 6. 二次函数的对称轴为，点、在此函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 以上均有可能 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的单调性与对称轴的性质．先判断函数开口方向，再根据对称轴左侧的单调性比较两点函数值大小． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴函数图象开口向上， ∵对称轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 7. 如图，三角板在手电筒光源照射下形成了投影，三角板与其投影为一对位似图形，其位似比是，若的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方．利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； 【详解】依题意： 即 解得：（） 故选：B 8. 如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）；（2）；（3）；（4）．你认为其中错误的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据函数图象可得， （1）抛物线与轴有两个交点，所以，该选项正确，不符合题意； （2）抛物线与轴的交点位于的下方，所以，该选项错误，符合题意； （3）由抛物线对称轴可得，， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； （4）由图象可知，当时，，该选项正确，不符合题意； ∴错误选项为（2），只有1个， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据，得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设， 则， ∴， 故答案为：． 10. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移规律．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线向下平移2个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． 故答案为：． 11. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为________（填或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，数据的波动越大，则其方差越大，据此结合统计图可得答案． 【详解】解：由统计图可知，甲地的日平均气温的波动比乙地的日平均气温的波动大， ∴， 故答案为：． 12. 已知圆锥的侧面积为50π，底面圆半径为5，则此圆锥的母线长为_______________． 【答案】10 【解析】 【分析】直接利用圆锥的侧面积等于底面圆的周长乘以母线长的一半即可求解． 【详解】设圆锥的母线长为l，则， ∴，解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 13. 如图，P为外一点，切于点A，若，，则的半径是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了切线性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，连接，由切线的性质可得，则可证明是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵切于点A， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的半径是3， 故答案为：3． 14. 若函数的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴没有交点， ， 解得． 故答案为：． 15. 中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是________里． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得， ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：由正方形得， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，矩形的性质，正方形的判定和性质，扇形面积的计算等知识．在上分别截取，使，连接，则四边形是矩形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为矩形的外接圆．根据在中，所对圆周角均等于，得出在与矩形的重叠部分的边界以及边界以外的点P满足，然后求出对应区域面积即可得解． 【详解】解：如图，在上分别截取，使，连接，则四边形是矩形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为矩形的外接圆． ∵，， ∴， ∴， 在中，所对圆周角均等于，， ∴在与矩形的重叠部分的边界以及边界以外的点P满足， ∵， ∴，， ∴所有符合条件的点P形成区域的面积是： ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解下列方程． （1）． （2）． 【答案】（1） ，； （2） ， 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的各种方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程； （2）利用配方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，． 18. 如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴． 19. 小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中、、分别表示三个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电池． （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或其中一个，直接写出小灯泡发光的概率； （2）当随机闭合开关、、中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据电路图可知，当开关闭合时，想要小灯泡发光，只有闭合，从而可得出随机闭合开关或其中一个，小灯泡发光的概率； （2）用树状图或列表法列出所有的情况，再找出能让小灯泡发光的情况，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：当开关闭合时，想要小灯泡发光，只有闭合， 随机闭合开关或其中一个，小灯泡发光的概率为； 【小问2详解】 法一：画出树状图如下： 共有6种等可能结果，其中能使小灯泡发光的组合共有4种，故（小灯泡发光）． 法二： 列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） 共有6种等可能结果，其中能使小灯泡发光的组合共有4种，故P（小灯泡发光）． 【点睛】本题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是结合物理知识，知道必须闭合，且闭合或中一个，小灯泡才会发光． 20. 当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下列表格： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 91.5 a b 人工 89 90 100 108.8 （计算方差的公式：） 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ （3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 【答案】（1）； （2）估计机器人操作次，优秀次数约为次 （3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了方差和众数、中位数，样本估计总体，以及利用方差做决策，关键是掌握三数定义和方差的计算公式． （1）分别根据众数以及方差的定义解答即可； （2）先计算出优秀所占的比例，再乘即可； （3）根据统计表数据解答即可． 【小问1详解】 解：在机器人数据中，出现的次数最多，故众数； 机器人的方差 ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：次． 答：估计机器人操作次，优秀次数约为次； 【小问3详解】 解：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定． 21. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的定义，延长到点，使得，延长到点，使得，连结，可证明与位似，位似比为，所以即为所求； （2）取格点C和点D，使，，连接，交于点M，根据相似三角形的判定和性质，可得，所以点M就是所求的点； （3）过点A作，使得，点E恰为格点，过点B作，使得，点F恰为格点，与交于点D，则，同时可证得，由此即可证明，所以点D就是所求的点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作三角形； ； 【小问2详解】 解：如图，点M就是所求的点； ； 【小问3详解】 解：如图，点D就是所求的点． ． 22. 已知二次函数． （1）写出函数图象的顶点坐标________； （2）画出此函数的图象（描5个点即可）； （3）当时，写出y的取值范围：________； （4）当时，写出x的取值范围：________． 【答案】（1） （2）画图见解析； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由二次函数解析式进行配方化为顶点式，从而求解； （2）根据列表，描点，连线的方法即可画出图象； （3）根据图象即可求出的取值范围； （4）根据图象即可求出的取值范围； 本题考查求二次函数解析式，画出二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【小问1详解】 解：由二次函数解析式 ∴此函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表： 描点、连线，如图， 【小问3详解】 解：根据图象可知：当时， ∴的取值范围； 【小问4详解】 解：根据图象可知：当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 23. 某班计划在校园义卖中出售手工编织手链，所有收入将捐赠给环保项目．已知每只手链的成本为元，初始定价为元时，预计每天可售出只．若定价每提高元，销量会减少只；每降低元，销量增加只．为最大化公益收益，班级需制定科学定价策略． 任务：设手链定价为元（），销量为________只（用的代数式表示）． 任务：当手链定价为多少元时，每天利润有最大值，并求出利润的最大值为多少元． 【答案】任务：；任务：当手链定价元时，利润最大为元 【解析】 【分析】任务1：根据题意列出代数式即可； 任务2：设利润为W元，求出W与x之间的函数关系，再根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：任务1：当时，销量为只； 当时，销量为只， 综上，销量为只， 故答案为：； 任务2：设利润为W元， 由题意得，, ∵， ∴当时，W有最大值，为， ∴当手链定价为15元时，利润最大为200元． 【点睛】本题考查了列代数式，二次函数的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系，利润与售价和成本的关系，列代数式，列函数解析式，分类讨论，是解题的关键． 24. 如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，点E是的延长线上一点，连接，已知平分． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明，根据切线的性质，得到，即可得到； （2）根据是的切线，可得，在中，勾股定理求得，根据，可得，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的切线，是的半径， ∴． ∵，， ∴，， ∴在中，． ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴． 25. 已知二次函数．（为常数，且）． （1）求证：该函数的图象与轴总有公共点； （2）若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） 证明见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）令，得，由根的判别式可判断一元二次方程有实数解，即该函数的图象与轴总有公共点； （2）先判断该函数的对称轴位置，结合图象的开口方向推出当时，随着的增大而增大后即可得解． 【小问1详解】 证明：令，得， 此时， ， ， ， ， ， 即一元二次方程有实数解， 二次函数的图象与轴总有公共点； 【小问2详解】 解：二次函数对称轴， ， ， ， ， 即二次函数的对称轴， 又，即二次函数图象开口向上， 当时，随着的增大而增大， 当时，． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程与二次函数的关系、根的判别式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程与二次函数的关系． 26. 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去． 【概念理解】定义：“圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形”，其半径的比叫做相似比；相似扇形有性质：弧长比等于相似比、面积比等于相似比的平方……例如：如图1，分别以线段，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为． 【初步应用】（1）如图2，已知扇形与扇形，，求证：扇形与扇形是相似扇形； 【拓展提升】（2）①如图3，扇形、是相似扇形，点P是上一点，且点P在的垂直平分线上，求的度数； ②在①的条件下，若的长为a，求的长（用字母a的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）由，再代入弧长公式即可得到结论； （2）①证明，利用三角形内角和定理列式计算即可求解； ②先证明，，可得，设，，可得，再进一步解答即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 解得：， ∴扇形与扇形是相似扇形． （2）解：①∵扇形与扇形相似， ∴， ∵，， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∵的长为a， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是相似多边形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，弧长，扇形面积的计算，一元二次方程的解法，理解题意是关键. 27. 如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，最大值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：把和代入，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵以为直径作，， ∴， ∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 练习总分：150分 完成时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形内接于．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 已知线段a、b、c，其中c的长度是a、b长度的比例中项，若a＝9cm，b＝4cm，则线段c的长为（ ） A. 5cm B. 6cm C. 18cm D. ±6cm 4. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，93，92，95，95．这组数据的中位数是（ ） A. 90 B. 92 C. 93 D. 95 6. 二次函数的对称轴为，点、在此函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 以上均有可能 7. 如图，三角板在手电筒光源照射下形成了投影，三角板与其投影为一对位似图形，其位似比是，若的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）；（2）；（3）；（4）．你认为其中错误的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知，则值是__________． 10. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为________． 11. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为________（填或）． 12. 已知圆锥的侧面积为50π，底面圆半径为5，则此圆锥的母线长为_______________． 13. 如图，P为外一点，切于点A，若，，则的半径是________． 14. 若函数的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是___________． 15. 中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是________里． 16. 如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解下列方程． （1）． （2）． 18. 如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 19. 小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示一个电路图，其中、、分别表示三个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电池． （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或其中一个，直接写出小灯泡发光的概率； （2）当随机闭合开关、、中两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率． 20. 当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下列表格： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 915 a b 人工 89 90 100 108.8 （计算方差的公式：） 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作800次，优秀次数为多少？ （3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 21. 如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以C为位似中心，位似比为；请画出放大后的． （2）在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． （3）在图3中，利用格点在边上作－个点D，使得． 22. 已知二次函数． （1）写出函数图象的顶点坐标________； （2）画出此函数图象（描5个点即可）； （3）当时，写出y的取值范围：________； （4）当时，写出x的取值范围：________． 23. 某班计划在校园义卖中出售手工编织手链，所有收入将捐赠给环保项目．已知每只手链的成本为元，初始定价为元时，预计每天可售出只．若定价每提高元，销量会减少只；每降低元，销量增加只．为最大化公益收益，班级需制定科学定价策略． 任务：设手链定价为元（），销量为________只（用的代数式表示）． 任务：当手链定价为多少元时，每天利润有最大值，并求出利润的最大值为多少元． 24. 如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，点E是的延长线上一点，连接，已知平分． （1）求证：； （2）若，，求． 25. 已知二次函数．（为常数，且）． （1）求证：该函数的图象与轴总有公共点； （2）若点，在函数图象上，且，，比较与的大小，并说明理由． 26. 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去． 【概念理解】定义：“圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形”，其半径的比叫做相似比；相似扇形有性质：弧长比等于相似比、面积比等于相似比的平方……例如：如图1，分别以线段，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为． 【初步应用】（1）如图2，已知扇形与扇形，，求证：扇形与扇形是相似扇形； 【拓展提升】（2）①如图3，扇形、是相似扇形，点P是上一点，且点P在的垂直平分线上，求的度数； ②在①的条件下，若的长为a，求的长（用字母a的代数式表示）． 27. 如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $