3.2频率的稳定性（第一课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学七年级下册

3.2频率的稳定性（第一课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版七年级下册第三章概率初步第二节第一课时，是在 “感受可能性” 基础上的概率知识深化，核心内容包含频数与频率的定义、通过重复试验探究随机事件发生的频率具有稳定性，理解频率与可能性的关联。具体为掌握频数、频率的计算公式，能准确计算试验中随机事件的频率，通过掷硬币、摸球等重复试验，发现当试验次数很大时，随机事件发生的频率会在一个固定数值附近摆动，即频率的稳定性，为后续用频率估计概率奠定核心认知基础。 （二）教学内容解析 本节课是概率知识从 “定性感知” 到 “定量探索” 的关键过渡，承接上一节课 “随机事件可能性有大小” 的定性认知，开启 “用数值刻画可能性大小” 的定量研究，是后续学习 “用频率估计概率” 的理论依据和实践基础，在概率初步知识体系中起到承上启下的核心作用。 本节课的知识核心围绕 “频率的稳定性” 展开：首先通过简单试验明确频数（事件发生的次数）和频率（频数与试验总次数的比值）的概念，实现对试验结果的量化描述；再通过大量重复试验（如掷硬币、摸球），让学生亲历 “收集数据 — 计算频率 — 绘制趋势图 — 分析规律” 的过程，发现当试验次数逐渐增多时，随机事件的频率会逐渐稳定在一个常数附近，这一规律就是频率的稳定性，而这个常数就是该随机事件发生的概率的近似值。 本节课的学习注重动手试验与数据分析，无需复杂的概率计算，重点在于让学生通过亲历试验过程，感受频率从 “波动” 到 “稳定” 的变化趋势，理解 “大量重复试验” 是发现频率稳定性的前提，初步建立 “频率可以刻画可能性大小” 的认知，培养数据分析意识和随机观念。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解频数、频率的定义，掌握频率的计算公式并能准确计算；通过重复试验探究并理解频率的稳定性规律。 教学难点：理解频率的稳定性规律（频率随试验次数增多趋于稳定）；区分 “频率” 与 “可能性”，理解频率是可能性的量化表现；能正确分析试验数据，发现频率的波动与稳定趋势。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 （1）结合具体重复试验，理解频数、频率的概念，掌握频率的计算公式，能准确统计试验中的频数并计算频率。 （2）通过小组合作完成掷硬币、摸球等重复试验，经历 “收集数据 — 计算频率 — 分析趋势” 的完整过程，探究并发现频率的稳定性规律，知道当试验次数很大时，随机事件的频率会在一个固定数值附近摆动。 （3）经历从定性感知到定量刻画随机事件可能性的过程，提升动手操作能力、数据分析能力和归纳概括能力，进一步完善随机观念，培养数据分析意识。 （4）感受频率稳定性规律的客观性和普遍性，体会数学与生活的密切联系，激发对概率定量研究的兴趣，培养合作探究、实事求是的科学态度。 （二）教学目标解析 （1）学生能准确表述频数、频率的定义：频数是指在重复试验中，某个随机事件发生的次数；频率是指该事件发生的频数与试验总次数的比值；能熟练掌握并运用频率计算公式进行计算，知道频率的取值范围在0到1之间（不发生时频率为0，必然发生时频率为1）；能在试验中准确统计事件发生的频数，规范计算频率。 （2）学生能通过小组合作完成规定次数的重复试验，规范记录试验数据；能根据试验数据逐次或分组计算频率，绘制频率随试验次数变化的简单趋势图；能通过观察趋势图，发现 “试验次数较少时，频率波动较大；试验次数越多，频率波动越小，逐渐稳定在一个常数附近” 的规律，理解频率的稳定性的内涵。 （3）学生能从 “上一节课判断可能性大小的定性描述” 过渡到 “用频率刻画可能性大小的定量描述”，经历 “定性 — 定量” 的认知升级；能通过分析试验数据、归纳频率变化规律，提升数据分析和归纳概括能力；能理解 “随机事件的发生具有不确定性，但大量重复试验下频率具有稳定性”，进一步完善随机观念。 （4）学生能通过掷硬币、摸球等试验，感受频率稳定性规律在随机事件中的普遍性；能发现生活中频率稳定性的应用实例（如彩票、质检），体会概率知识的实际应用价值；在小组合作试验中，培养分工协作、如实记录数据、科学分析结果的实事求是的科学态度。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 七年级学生在上一节课中已掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道随机事件的可能性有大小之分，具备对随机事件的定性认知基础；已具备基本的整数除法、分数化简计算能力，能熟练进行 “频数 ÷ 总次数” 的除法运算，为频率计算奠定数学基础；已具备基本的动手操作能力、小组合作能力和数据记录能力，能完成简单的重复试验并收集数据；已具备初步的数据分析能力，能观察简单的数表和趋势图，发现数据的变化规律。 （二）认知发展特点 七年级学生的思维仍以具体形象思维为主，抽象逻辑思维处于初步发展阶段，对 “频率的稳定性” 这一抽象规律的理解，必须依托大量的实际重复试验和直观的数据分析，无法脱离具体试验进行纯理论理解；学生对 “重复试验” 的耐心和规范性有待提升，容易出现试验操作不规范、数据记录不准确的问题；学生好奇心强，喜欢动手操作和小组合作的学习方式，对 “通过试验发现规律” 的学习过程具有较高的参与度；学生对 “频率” 和 “可能性” 的关联理解存在困难，容易将两者等同，缺乏对 “频率是可能性的近似值” 的认知。 （三）潜在学习困难 概念混淆：难以准确区分 “频数” 和 “频率”，如将事件发生的次数误认为是频率，忽略频率是 “比值” 的本质； 规律理解困难：无法从波动的试验数据中发现频率的稳定性，认为 “随机事件的频率一直是波动的，没有规律”，忽略 “试验次数很大时” 的前提条件； 认知误区：将 “频率” 与 “可能性” 等同，认为 “某次试验的频率就是事件发生的可能性大小”，缺乏对 “频率是可能性的近似值，需大量重复试验验证” 的认知； 试验操作问题：重复试验中操作不规范（如掷硬币时用力不均、摸球时未摇匀）、数据记录不准确，导致试验数据偏差较大，无法准确反映频率的变化趋势； 计算失误：频率计算时出现除法运算、分数化简的错误，影响对数据趋势的分析。 四、教学策略分析 （一）教学方法 采用“试验探究法 + 数形结合法 + 归纳概括法”为主，结合 “讲练结合法”“小组合作法”“对比辨析法” 开展教学。通过简单的摸球试验引出频数、频率的概念，让学生在具体情境中理解概念；通过小组合作完成掷硬币、摸球等大量重复试验，让学生亲历数据收集、计算、分析的全过程；通过绘制频率变化趋势图，借助图形直观展示频率从波动到稳定的变化规律，突破抽象理解的难点；通过对试验数据和趋势图的分析，引导学生归纳概括频率的稳定性规律；通过讲练结合巩固频数、频率的计算；通过对比辨析区分 “频率” 与 “可能性”，厘清两者的关联与区别；通过小组合作培养学生的协作能力和科学试验态度。 （二）学习方法指导 引导学生采用“试验操作法”“数据分析法”“数形结合法”进行学习。通过 “动手试验 — 记录数据 — 计算频率” 的试验操作法，亲历规律探究的全过程；采用 “观察数据 — 计算频率 — 分析趋势” 的数据分析法，从试验数据中发现频率的稳定性规律；采用 “绘制趋势图 — 直观观察 — 归纳规律” 的数形结合法，借助图形将抽象的频率变化规律直观化，突破理解难点；同时通过小组合作，经历 “分工 — 操作 — 记录 — 分析 — 归纳” 的合作探究过程，提升团队协作能力和科学探究能力。 （三）教学手段 借助多媒体课件、实物教具（均匀硬币、不透明布袋、不同颜色的乒乓球 / 玻璃球、骰子）、学习任务单（含试验数据记录表、频率计算表）、坐标纸（或课件中的动态趋势图）等辅助教学。利用实物教具让学生动手完成重复试验，保证试验的直观性和真实性；利用学习任务单规范试验数据的记录和频率的计算，引导学生有序开展试验；利用坐标纸或课件的动态趋势图，让学生绘制或观察频率随试验次数变化的趋势，直观感受频率的波动与稳定；利用课件展示大量试验的汇总数据和标准趋势图，弥补课堂试验次数的不足，强化频率的稳定性规律；利用课件展示频数、频率的对比辨析和典型例题，巩固概念理解和计算能力。 五、教学过程分析 （一）情境引入 核心旧知回顾：以提问 + 口答的形式梳理上一节课的核心知识，为新知铺垫： ① 什么是随机事件？（一定条件下，可能发生也可能不发生的事件）； ② 随机事件的可能性有什么特点？（有大小之分，由客观条件决定）； ③ 我们之前是如何判断随机事件可能性大小的？（通过客观条件如数量多少，定性描述 “可能性大”“可能性小”）。 生活情境驱动：课件展示生活情境：“彩票站的摇奖试验中，如何用一个具体的数来表示某一号码出现的可能性大小？质检员在抽查产品合格率时，如何用数值刻画产品合格的可能性？” 提问：“定性的‘可能性大’‘可能性小’不够精准，能不能用一个具体的数值来定量刻画随机事件的可能性大小呢？这个数值该如何获得？” 试验铺垫：教师现场做简单摸球试验：“从装有 2 红 2 白的布袋中，摸出红球的可能性大小如何？我们做 5 次摸球试验，记录红球出现的次数，看看能不能用这个次数相关的数值来刻画？” 现场试验并记录数据，引出 “频数”“频率” 的概念雏形。 揭示课题：教师小结：“要定量刻画随机事件的可能性大小，我们需要引入‘频数’和‘频率’的概念，并通过大量重复试验发现频率的规律。今天我们就来学习《频率的稳定性》第一课时，探究频率的变化规律。” 明确本节课的学习目标：理解频数、频率的概念，掌握计算方法，探究频率的稳定性规律。 设计意图：复习旧知既夯实了随机事件的定性认知基础，又通过提问引发学生思考 “定量刻画可能性” 的需求，为新知学习做好认知铺垫；生活情境让学生感受定量刻画可能性的实际意义，激发探究兴趣；简单的现场试验引出概念雏形，让学生初步感知 “用试验数据刻画可能性” 的思路，自然引出课题。 （二）主动参与、感悟新知 抛一个瓶盖，落地后会出现盖口向上和盖口向下两种情况： 你认为盖口向上和盖口向下的可能性一样大吗？ 让我们用试验来验证吧。 操作·思考 （1）分组试验 请同学们拿出准备好的瓶盖，两人一组做20次掷瓶盖游戏，并将数据记录在下表中： 试验总次数 盖口向上的次数 盖口向下的次数 盖口向上的频率（） 盖口向下的频率（） 介绍频率定义：在n次重复试验中，随机事件A发生了m次，则比值称为事件发生的频率。 （2）收集数据 累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表。 （3）绘制折线统计图 根据表格，完成折线统计图。 （4）规律总结 观察折线统计图，盖口向上的频率的变化有什么变化规律？ 在试验次数很大时，盖口向上的频率都会在一个常数附近摆动，即盖口向上的频率具有稳定性。 问题：小明和小颖一起做了1000次抛瓶盖的试验，其中有613次盖口向上，据此，他们认为盖口向上的可能性比盖口向下的可能性大。你同意他们的说法吗？ 同意。实验次数足够大，而盖口向上的次数613比盖口向下的次数387大，有理由认为盖口向上的可能性比盖口向下的可能性大。 练习：（1）在刚才的抛瓶盖试验中，累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表。 试验总次数n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 盖口向下的次数m 盖口向下的频率 （2）根据上表，请你画出盖口向下的频率的折线统计图。由此，你发现盖口向下的频率的变化有什么规律？ （三）课堂总结 （1）知识梳理：师生共同以思维导图的形式梳理本节课的核心知识：频率的稳定性（第一课时）→核心概念：频数、频率→核心规律：频率的稳定性（大量重复试验中，随机事件的频率稳定在固定数值附近）→规律前提：大量重复试验、随机事件、试验道具均匀→频率与可能性的关系：频率是可能性大小的定量近似值。 （2）方法总结：总结本节课的核心学习方法和探究思路： 概念学习：试验实例→归纳概括→公式应用→对比辨析； 规律探究：提出问题→规范试验→收集数据→计算分析→绘制图形→归纳规律； （3）核心方法：数形结合法（用趋势图展示频率变化）、试验探究法、数据分析法。 核心思想提炼：教师强调：本节课我们实现了对随机事件可能性的从定性到定量的认知升级，核心思想是用试验数据刻画随机现象—— 虽然随机事件的单次发生具有不确定性，但大量重复试验下频率具有稳定性，这一规律是我们后续用频率估计概率的理论依据，也是概率学的核心基础之一。 （4）学习延伸：提问：“我们发现频率稳定在一个固定数值附近，这个固定数值就是随机事件发生的概率，那如何用频率更准确地估计概率？不同的随机事件，其频率稳定的数值该如何确定？” 为下一节课的学习埋下伏笔。 设计意图：思维导图梳理知识，让学生形成完整的认知体系，厘清概念、规律、应用之间的内在联系；方法总结让学生提炼本节课的学习和探究方法，提升自主学习和科学探究能力；核心思想提炼帮助学生把握本节课的认知升级和概率知识的核心本质；学习延伸激发学生的探究兴趣，为下一节课 “用频率估计概率” 做好铺垫。 （四）布置作业、巩固提高 1.小胡将一枚质地均匀的硬币抛掷了 10 次，正面朝上的情况出现了 6 次，若用 A 表示正面朝上这个事件，则事件 A 发生的 ( B ) A.频率是0.4 B.频率是0.6 C.频率是6 D.频率接近0.6 2.甲、乙两名同学在一次大量重复试验中，统计某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验可能是（　B　） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．任意写一个正整数，它能被3整除的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 3.一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其他都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量试验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ D ） A．袋子中一定有三个白球 B．袋子中白球占小球总数的十分之三 C．再摸三次球，一定有一次是白球 D．再摸1 000次，摸出白球的次数会接近330次 4.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是(　D　) A.6 B.10 C.18 D.20 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $