第一单元 圆锥的体积（专项训练）-2025-2026学年六年级数学下册北师大版

第一单元 圆锥的体积 专项训练 一、选择题 1．一个圆柱形橡皮泥，底面积是15cm2，高是5cm。如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是（    ）。 A．15cm2 B．5cm C．25cm D．15cm E．3cm 2．一个圆锥和一个圆柱的体积、底面积相等。已知这个圆柱的高是6厘米，那么圆锥的高是（    ）厘米。 A．2 B．3 C．12 D．18 3．用一个高18cm的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（    ）cm。 A．12 B．9 C．6 D．4 4．如图，一个盛满水的圆锥形滴漏，向下面空的圆柱形容器中滴水，当滴漏中的水全部漏完，圆柱形容器中水的高度是（    ）。（壁厚忽略不计） A．3厘米 B．4厘米 C．6厘米 D．12厘米 5．将同一个直角三角形以不同直角边为轴旋转形成的立体图形，它们的体积相比，（    ）。 A．甲＝乙 B．甲＜乙 C．甲＞乙 D．无法确定 二、填空题 6．一个圆锥的底面积是，高是3cm，它的体积是( )；与这个圆锥等底等高的圆柱的体积是( )。 7．“孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。”渔翁头上戴着一个圆锥形斗笠，如下图所示。这顶斗笠平放在桌面上所占空间的大小是( )。 8．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是( )cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是( )cm。 9．沿一个圆锥的高把它截开，截面是一个三角形（如图），如果这个三角形的顶角是x°，则它的一个底角是( )°，原来圆锥的体积是( )cm3。 10．一个圆柱比和它等底等高的圆锥的体积大72cm3，这个圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 11．手工课上，婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，则这个圆锥形橡皮泥的底面积是( )cm2。 12．把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 13．一堆圆锥形沙子的体积是4.5立方米，高1.5米，它的占地面积是( )平方米；如果将它平摊在一个长5米，宽3米的长方形池子里，沙子厚( )厘米。 14．一根长80cm的圆柱形木料，截成3根长短不同的圆柱形木料，表面积增加了60cm2，这根圆柱形木料原来的体积是( )cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm3。 15．下图的容器刚好能盛20升水，若只将圆锥部分装满，则需( )升水；若水深2分米，则容器里有( )升水。 三、计算题 16．计算下面立体图形的体积。 四、解答题 17．一个从里面量底面半径为2分米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中完全浸没着一个底面直径为2分米，高为1.8分米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少分米？ 18．一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 19．一个圆锥形沙堆的底面周长是12.56米，高是1.5米，如果把这堆沙子铺在10米宽的小路上，铺2厘米厚，能铺多长？ 20．一个高是20厘米的圆柱形水桶，底面半径与高的比是2∶5，水深12厘米。现将一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块完全浸没在这个圆柱形水桶中，这时水面升高了多少厘米？ 21．一辆货车的车厢是一个长方体，它的长是5米，宽是2米，高是1.5米（车厢厚度忽略不计），装满一车沙，卸后堆成一个高是3米的圆锥形沙堆，则沙堆的底面积是多少平方米？ 22．我国在新型材料研发领域取得进展，制造出一种特殊合金材料。工程师将这种合金材料先加工成一个底面积是125.6平方分米，高是6分米的圆柱体。在后续工艺处理时，圆柱体合金被重新铸造成一个底面半径为3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少分米？ 23．六月是油菜籽丰收的季节，李爷爷把晒干的油菜籽堆成一个底面周长是12.56米、高是1.2米的圆锥形。如果每立方米油菜籽约600千克，李爷爷家一共收获油菜籽约多少千克？ 24．把一块底面直径为18厘米，高为20厘米的圆锥形铁块完全浸没在一个盛有水的圆柱形容器中（水没有溢出），这个容器的底面半径为10厘米，容器中水面上升了多少厘米？ 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第一单元圆锥的体积》参考答案 1．D 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，体积不变，圆锥的体积＝×底面积×高，用圆锥的体积乘3，再除以底面积即可解答。 【详解】15×5＝75（） 75×3÷15 ＝225÷15 ＝15（cm） 所以这个圆锥的高是15cm。 故答案为：D 2．D 【分析】圆柱的体积公式为：V＝Sh（V是圆柱体积，S是圆柱底面积，h是圆柱的高）。圆锥的体积公式为：V＝Sh（V是圆锥体积，S是圆锥底面积，h是圆锥的高）。已知圆锥和圆柱的体积、底面积相等，所以圆柱的高＝×圆锥的高，即圆锥的高＝圆柱的高÷，圆柱的高是6厘米，所以用6除以计算即可解答。 【详解】圆柱的体积：V＝Sh 圆锥的体积：V＝Sh 已知圆锥和圆柱的体积、底面积相等。 圆锥的高＝圆柱的高÷ 6÷ ＝6×3 ＝18（厘米） 所以圆锥的高是18厘米。 故答案为：D 3．C 【分析】圆锥体积公式：（S为底面积，h为高），圆柱体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为高）；圆锥形容器装满水，将水倒入等底等高的圆柱形容器中，水的体积不变，即V柱水＝V锥水。设圆锥和圆柱的底面积都为S，圆锥的高为18cm，圆柱中水的高度为h柱水。所以圆锥体积V锥水＝Sh锥，圆柱体积V柱水＝Sh柱水。因为V柱水＝V锥水，所以Sh柱水＝Sh锥，因为圆柱和圆锥底面积相等，所以h柱水＝h锥，即用乘18即可得出圆柱的水的高度。 【详解】圆锥体积： 圆柱体积：V＝Sh V柱水＝V锥水 设圆锥和圆柱的底面积都为S，圆柱中水的高度为h柱水。 V锥水＝Sh锥 V柱水＝Sh柱 Sh柱水＝Sh锥 h柱水＝h锥 ×18＝6（cm） 所以水的高度是6cm。 故答案为：C 4．B 【分析】由图可知，圆锥和圆柱的底面直径都是12厘米，先利用“”求出它们的底面积，再利用“”求出圆锥形容器中水的体积，由“”可知，圆柱形容器中水的高度＝水的体积÷圆柱形容器的底面积，据此解答。 【详解】3.14×（12÷2）2 ＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） ×113.04×12÷113.04 ＝×12×113.04÷113.04 ＝（×12）×（113.04÷113.04） ＝4×1 ＝4（厘米） 所以，圆柱形容器中水的高度是4厘米。 故答案为：B 5．C 【分析】将直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥。甲旋转形成的圆锥的底面半径是4厘米，高是3厘米。乙旋转形成的圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米。圆锥体积＝×底面积×高，据此分别求出甲、乙两个圆锥的体积，再比较体积大小。 【详解】×3.14×42×3 ＝×3.14×16×3 ＝50.24（立方厘米） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方厘米） 50.24＞37.68，所以它们的体积相比，甲＞乙。 故答案为：C 6． 12 36 【分析】（1）已知圆锥的底面积和圆锥的高，根据圆锥的体积公式，求出圆锥的体积； （2）圆柱与圆锥等底等高，圆柱的底面积＝圆锥的底面积，圆柱的高＝圆锥的高，根据圆柱的体积公式，求出圆柱的体积，据此解答。 【详解】（1）圆锥的体积：（立方厘米） （2）圆柱的体积：（立方厘米） 一个圆锥的底面积是12平方厘米，高是3厘米，它的体积是12立方厘米；与这个圆锥等底等高的圆柱的体积是36立方厘米。 7．5765.04 【分析】已知圆锥的底面直径，先用圆锥的底面直径除以2，求出圆锥的底面半径；再用圆锥的体积公式，求出圆锥的体积，据此解答。 【详解】圆锥的底面半径：（cm） 圆锥的体积： （cm3） 因此，这顶斗笠平放在桌面上所占空间的大小是5765.04cm3 8． 18 2 【分析】根据等底等高的圆锥与圆柱体积比是1∶3，已知一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，由此推出这个圆锥与这个圆柱的高的比是1∶3；也就是圆柱的高应该是圆锥高的3倍。由此解答。 【详解】由分析可知，这个圆锥与这个圆柱的高的比是1∶3。 当圆锥的高是6厘米时，圆柱的高为： 3×6＝18（cm） 当圆柱的高是6厘米时，圆锥的高为： 6÷3＝2（cm） 一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是18cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是2cm。 9． 75.36 【分析】因为沿圆锥的高截开的截面是等腰三角形，三角形内角和为180°，已知顶角是x°，所以一个底角的度数为：°。由图可知，圆锥的底面直径为6cm，则底面半径为6÷2＝3cm，圆锥的高为8cm。根据圆锥的体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式计算即可。 【详解】沿圆锥的高截开的截面是等腰三角形，三角形内角和为180°。 一个底角的度数为：° ＝3.14×3×8 ＝9.42×8 ＝75.36（cm3） 它的一个底角是°，原来圆锥的体积是75.36cm3。 10． 108 36 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积就是3份，那么圆柱的体积比圆锥的体积多3－1＝2份。已知圆柱比圆锥的体积大72cm3，且多2份，所以每份的体积是72÷2＝36cm3。因为圆锥的体积是1份，所以圆锥的体积是36cm3。因为圆柱的体积是3份，所以圆柱的体积是36×3＝108cm3。 【详解】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积就是3份。 3－1＝2（份） 72÷2＝36（cm3） 36×1＝36（cm3） 36×3＝108（cm3） 所以这个圆柱的体积是108cm3，圆锥的体积是36cm3。 11．25.12 【分析】婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，体积不变，根据圆柱的体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为底面半径，h为高）求出圆柱的体积，也就是圆锥的体积。根据圆锥的体积公式：V＝Sh（S为圆锥的底面积，h为圆锥的高），则S＝V÷÷h，把数据代入计算即可。 【详解】3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（cm3） 75.36÷÷9 ＝75.36×3÷9 ＝25.12（cm2） 这个圆锥形橡皮泥的底面积是25.12cm2。 12． 3 6 56.52 【分析】以正方体的棱长为底面直径和高的圆锥是正方体内最大的圆锥，则圆锥的底面直径是6厘米，高是6厘米，最后利用“”求出这个圆锥的体积，据此解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） ＝ ＝ ＝56.52（立方厘米） 分析可知，这个圆锥的底面半径是3厘米，高是6厘米，体积是56.52立方厘米。 13． 9 30 【分析】计算圆锥形沙子的占地面积（即圆锥的底面积），圆锥的体积公式为V＝Sh（V是圆锥体积，S是底面积，h是高）。则：S＝V÷÷h，已知圆锥体积为4.5立方米，高为1.5米，要求底面积S，把数据代入公式计算即可。 沙子平摊在长方形池子里后形成一个长方体，体积不变，仍为4.5立方米。长方体体积公式为V＝a×b×h（其中a是长，b是宽，h是高）。则h＝V÷a÷b，已知长方体池子长5米，宽3米，体积4.5立方米，把数据代入公式计算即可解答。 【详解】4.5÷÷1.5 ＝4.5×3÷1.5 ＝9（平方米） 4.5÷5÷3＝0.3（米） 1米＝100厘米 0.3×100＝30（厘米） 这堆圆锥形沙子的占地面积是9平方米；如果将它平摊在一个长5米，宽3米的长方形池子里，沙子厚30厘米。 14． 1200 400 【分析】根据题意，把一根圆柱形木料截成3根长短不同的圆柱形木料，需截2次，表面积会增加圆柱的4个底面积；用增加的表面积除以4，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出原来圆柱形木料的体积； 如果把这根木料削成最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，那么圆锥的体积等于圆柱体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘，求出圆锥的体积。 【详解】圆柱的底面积： 60÷4＝15（cm2） 原来圆柱的体积： 15×80＝1200（cm3） 圆锥的体积： 1200×＝400（cm3） 这根圆柱形木料原来的体积是（1200）cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，圆锥的体积是（400）cm3。 15． 5 10 【分析】因为等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，而整个容器由等底等高的圆锥和圆柱组成，且容器刚好能盛20升水，这20升水的体积就是圆锥体积的（1＋3）倍，用20÷（1＋3），求出若只将圆锥部分装满，则需多少升水。已知圆锥的高是1.5分米，当水深2分米时，水的体积由圆锥部分的全部体积和圆柱部分高为（2－1.5）分米的体积组成。圆柱的底面积和圆锥的底面积相同，先根据圆锥的底面积＝体积÷÷高，求出圆锥的底面积，即圆柱的底面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高，即可求出圆柱部分的体积，最后加上圆锥部分的全部体积，即可求出若水深2分米，则容器里有多少升水。 【详解】20÷（1＋3） ＝20÷4 ＝5（升） 5升＝5立方分米 5÷÷1.5 ＝5×3÷1.5 ＝10（平方分米） 10×（2－1.5）＋5 ＝10×0.5＋5 ＝5＋5 ＝10（立方分米） 10立方分米＝10升 即下图的容器刚好能盛20升水，若只将圆锥部分装满，则需5升水；若水深2分米，则容器里有10升水。 16．62.8cm3 【分析】观察可知立体图形的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，根据圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （cm3） 17．0.15分米 【分析】铅锤的体积等于铅锤取出玻璃容器时，水下降的体积。已知圆锥形铅锤底面直径为2分米，那么半径为2÷2＝1分米，高为1.8分米，根据圆锥的体积V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入即可得出圆锥的体积。圆柱形玻璃容器的底面半径为2分米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷π÷r2，把圆锥的体积和半径2分米代入计算即可解答。 【详解】2÷2＝1（分米） ×3.14×12×1.8 ＝×3.14×1×1.8 ＝1.884（立方分米） 1.884÷3.14÷22 ＝1.884÷3.14÷4 ＝0.15（分米） 答：水面下降了0.15分米。 18．0.96厘米 【分析】铁锤取出后水面下降的体积等于圆锥形铁锤的体积。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14）。已知圆锥形铁锤底面直径是8厘米，则底面半径为8÷2＝4厘米，高为18厘米，代入公式可得：×3.14×42×18＝6×3.14×16＝301.44立方厘米。 圆柱形容器底面直径是20厘米，那么半径为20÷2＝10厘米，已知下降的水的体积是301.44立方厘米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14），则h＝V÷π÷r2，把数据代入公式计算即可得出水面下降了多少厘米。 【详解】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×18 ＝×3.14×16×18 ＝6×3.14×16 ＝301.44（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 301.44÷3.14÷102 ＝96÷100 ＝0.96（厘米） 答：容器中的水面下降了0.96厘米。 19．31.4米 【分析】圆锥底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此计算出沙子体积，铺在小路上的形状是长方体，厚相当于长方体的高，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式解答即可。注意统一单位。 【详解】3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5÷3 ＝3.14×22×1.5÷3 ＝3.14×4×1.5÷3 ＝6.28（立方米） 2厘米＝0.02米 6.28÷10÷0.02＝31.4（米） 答：能铺31.4米长。 20．1.875厘米 【分析】将比的前后项看成份数，高÷对应份数＝一份数，一份数×底面半径的对应份数＝底面半径，据此求出水桶的底面半径，水面上升的体积就是圆锥体积，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出铁块体积，铁块体积÷水桶底面积＝水面上升的高度，据此列式解答。 【详解】20÷5×2＝8（厘米） 3.14×62×10÷3÷（3.14×82） ＝3.14×36×10÷3÷（3.14×64） ＝376.8÷200.96 ＝1.875（厘米） 答：这时水面升高了1.875厘米。 21．15平方米 【分析】圆锥形沙堆的体积等于长方体车厢的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出长方体车厢的体积，也就是圆锥形沙堆的体积，根据圆锥的体积＝×底面积×高用圆锥形沙堆的体积乘3，然后除以圆锥形沙堆的高即可解答。 【详解】5×2×1.5×3÷3 ＝10×1.5 ＝15（平方米） 答：沙堆的底面积是15平方米。 22．80分米 【分析】圆柱体积公式：V圆柱＝S底h （S底是底面积，h是高），圆锥体积公式：V圆锥＝πr2h（r是底面半径，h是高）。因为合金材料铸造前后体积不变，所以圆柱体积等于圆锥体积。先算出圆柱体积，再根据圆锥体积公式求出圆锥的高。依据体积不变的原理及圆柱、圆锥体积公式，据此解答。 【详解】圆柱体积：125.6×6＝753.6（立方分米） 圆锥的高：753.6×3÷（3.14×32） ＝2260.8÷（3.14×9） ＝2260.8÷28.26 ＝80（分米） 答：这个圆锥体的高是80分米。 23．3014.4千克 【分析】已知油菜籽堆成一个底面周长是12.56米的圆锥形，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出油菜籽的体积，再乘每立方米油菜籽的质量，即可求出一共收获油菜籽的质量。 【详解】圆锥的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 圆锥的体积： 3.14×22×1.2× ＝3.14×4×1.2× ＝5.024（立方米） 油菜籽的质量： 600×5.024＝3014.4（千克） 答：李爷爷家一共收获油菜籽约3014.4千克。 24．5.4厘米 【分析】已知圆锥形铁块的底面直径为18厘米，高为20厘米，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积； 把铁块完全浸没在一个底面半径为10厘米的圆柱形容器中，水面会上升，则水上升部分的体积就是铁块的体积；根据圆柱的体积公式V＝Sh，可知h＝V÷S，用铁块的体积除以圆柱形容器的底面积，即可求出容器中水面上升的高度。 【详解】圆锥形铁块的体积： ×3.14×（18÷2）2×20 ＝×3.14×92×20 ＝×3.14×81×20 ＝1695.6（立方厘米） 圆柱形容器的底面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 水面上升： 1695.6÷314＝5.4（厘米） 答：容器中水面上升了5.4厘米。 答案第14页，共14页 答案第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $