精品解析：河南辉县市第一民族学校2025-2026学年上学期九年级期末学业评估数学试卷（HS）

2025-2026九年级全学年学业评估试卷数学（HS） 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分，考生应首先阅读试卷上的文字信息、然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，把正确的答案字母填涂在答题卡对应的位置． 1. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“缘木求鱼”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握必然事件、随机事件、不可能事件的定义是解题的关键． 根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 诗句“清明时节雨纷纷”是随机事件，故 A选项不符合题意； B． 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故 B选项不符合题意； C． 成语“守株待兔”是随机事件，故 C选项符合题意； D． 成语“缘木求鱼”是不可能事件，故 D选项不符合题意． 故选C． 2. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况， ∴能让红灯发光的概率为． 故选：A． 3. 我国神舟二十二号飞船于11月25日发射成功，飞行任务标识融入“应急救援”要素，诠释了“以航天力量守护生命安全”的核心价值．要调查某校七年级学生对此次“应急救援”的了解情况，下列抽取调查对象的方式最合适的是（ ） A. 成绩排名前名的学生 B. 随机抽取名男生 C. 随机抽取名女生 D. 随机抽取名学号为偶数的学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，根据抽样调查的可靠性进行判断即可，掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：∵调查对象应为整个七年级学生，样本需具有代表性， ∴A、只包括成绩排名前50的学生，可能对“应急救援”的了解程度与整体不同，产生偏差，不符合题意； B、只随机抽取男生，忽略女生，有性别偏差，不符合题意； C、只随机抽取女生，忽略男生，有性别偏差，不符合题意； D、随机抽取50名学号为偶数的学生，从学号为偶数的学生中随机抽取样本，相比其他选项更具代表性，符合题意； 故选：D． 4. 下列选项中的两个图形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的判断，判断的方法是：连接对应点的连线是否交于同一点，如果交于同一点，则是位似图形，对每项进行一一分析即可． 【详解】解：、连接两个正六边形对应点交于正六边形的中心，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似四边形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似三角形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接此两个相似箭头图形的对应点不交于同一点，不是位似图形，故选项符合题意．   故选：． 5. 对于一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项是 B. 一次项系数是3 C. 常数项是1 D. 是它的一个根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，包括各项的定义和根的检验，通过对比方程的一般形式并验证根，即可判断错误选项 【详解】∵ 方程 中， 选项A：二次项是 ，正确，不符合题意； 选项B：一次项系数是 ，不是3，错误，符合题意； 选项C：常数项是1，正确，不符合题意； 选项D：当 时，，是根，正确，不符合题意； 故选B 6. 如图是某班级的三角形花架的侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 8. 如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，据此可求出的长度． 【详解】解：∵ 、分别是、的中点， ∴是的中位线． 根据三角形中位线定理，中位线的长度是的一半，即． 已知，则． 逐一分析选项： A、，与计算结果不符，不符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果一致，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，利用中位线与第三边的长度关系求解． 9. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，由垂径定理得出，然后根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 10. 《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）为15步，如图，则该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是（　　） A. 3步 B. 4步 C. 5步 D. 6步 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的内切圆相关知识，勾股定理，等面积法，运用等面积法求圆的半径是解题的关键．先用勾股定理求出的值，再运用等面积法，建立与内切圆半径相关的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，根据勾股定理，得， 连接，，，设内切圆的半径为r， 则， 即， ∴， ∴， ∴该直角三角形内切圆的半径是3步． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若为实数，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 12. 将抛物线绕顶点顺时针旋转，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的旋转问题． 抛物线绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，二次项系数． 绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反， 故二次项系数为，顶点坐标为， 所得抛物线解析式为． 故答案为：． 13. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形对应点坐标，相似三角形的性质与判定，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质得到，则可证明，得到，即点为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：线段和线段关于原点位似， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：． 14. 如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式、圆周长公式等知识，熟记相关公式是解决问题的关键． 先求出底面圆周长，再由扇形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：滤纸底面半径为， 底面圆周长为（）， 母线长为， 需要的扇形纸片的面积为（）， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，，点分别为边上的动点，连接，则_________，的最小值为_________． 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短及直角三角形的性质，先利用角平分线的性质进行转化，求得；再分析何时取得最小值，最终求得最小值为BE的长度即可. 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴当点三点共线时，，此时的值最小， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：. 三、计算题（共75分） 16. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算、零指数幂及二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）代入特殊角的三角函数值，计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： = ． 17. 书法是我国优秀传统文化瑰宝，一般分为行书、草书、隶书、篆书和楷书五大类，在每一大类中又细分若干小的门类．为了丰富学生课后服务课程，某校打算根据学生最喜爱的书法门类设置课程数量．计划设置行书、草书、隶书、篆书、楷书五个课程，现随机从全校的学生中抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与问卷调查的学生共有 人，并将条形统计图补充完整； （2）已知该校共有1200名学生，请根据统计数据，判断该校大约需要准备多少本篆书字帖才能满足学生使用；（注：选择篆书的同学每人一本篆书字帖） （3）假如你是校领导，请根据该校学生有意向学习书法的情况给出一条合理化建议． 【答案】（1）； 将条形统计图补充完整，如图所示： （2）该校大约需要准备本篆书字帖才能满足学生使用； （3）解：根据调查结果显示的统计图可知，学生喜欢书法的人数分布不均衡，所以应考虑增加隶书教师的人数，减少篆书教师的人数． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计数据关联． （1）由条形统计图与扇形统计数据关联列式求解即可得到答案，先计算出喜欢隶书的学生人数即可补全条形统计图； （2）根据样本中喜欢篆书学生人数的占比即可估计出该校需要准备的篆书字帖满足1200名学生使用； （3）根据调查结果绘制的统计图得到一条合理建议即可． 【小问1详解】 解：参与问卷调查的学生共有（人）； 喜欢隶书的学生人数为（人）， 【小问2详解】 解：条形统计图可知喜欢篆书的学生人数为20人， （本）， 答：该校大约需要准备本篆书字帖才能满足学生使用； 【小问3详解】 略 18. 如图，是的直径，与相切于点B，且．连接． （1）求作，使得，且点D在上，点E是与的交点．小亮针对这个问题，设计了如下作图过程： 作法： ①以点B为圆心， 为半径画弧交于点F； ②分别以点O，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G； ③作射线，交于点E，交于点D，连接． ∴即为所求作． 根据上述小亮的作法，补全图形，并证明； （2）连接，与交于点P，与交于点Q，若，求的长． 【答案】（1） 解：补全图形如图， ∵是的切线， ∴， ∴ ∵是的直径， ∴. 由作图可知，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意补全图形，根据，，即可证明； （2）连接，证明，得到，得到，再求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ∵， ∴. 由(1)知，， ∴. 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵是的直径， ∴，即 ∵， ∴， ∴. 19. 某直播间销售一款金甲战士玩具，进价为20元/个．大数据表明，当金甲战士玩具的售价定为30元/个时，每周可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，每周的销售量减少40个；反之，每降价1元，每周的销售量增加100个． （1）儿童节大促来袭，为吸引客流，尽可能多地提高销量，该直播间决定在售价为30元/个的基础上降价销售，预计一周获利5600元，问每个玩具应降价多少元？ （2）大促结束后，根据直播平台的规则，需在售价为30元/个的基础上涨价，问涨价后是否仍能获得5600元的周利润？若能，求每个玩具应涨价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1）3元 （2） 不能，理由如下： 设每个玩具涨价m元． 根据题意，得， 整理，得， ， 方程无实数根． 涨价后不能获得5600元的周利润． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设降价后每个玩具的售价为x元，根据每周的利润每个玩具的利润销量，列方程即可求解； （2）设每个玩具涨价m元，根据每周的利润每个玩具的利润销量，列方程，结合根的判别式即可求解． 【小问1详解】 解：设降价后每个玩具的售价为x元， 则每个利润为元，销售量为个． 由题意，得， 整理，得， 解得，， 为吸引客流，尽可能多地提高销量， ， 应降价元， 每个玩具应降价3元． 【小问2详解】 略 20. 如图，某数学兴趣小组为测量校园内旗杆的高度，进行了以下操作：在旗杆前的平地上选择一点，测得旗杆顶端的仰角为；再往前走一段距离到点（点，，在同一条直线上），测得旗杆顶端的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米，的距离为10米． （1）求点到点的距离的长度（结果保留根号）； （2）求旗杆的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）． 【答案】（1）点到点的距离的长度为米； （2）旗杆的高度约为米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题． （1）设，在和中，利用三角函数的定义分别求得，，根据，列式求解即可； （2）先得到，由（1）知，据此计算求得的长． 【小问1详解】 解：设， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到点的距离的长度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，四边形是矩形， ∴， 由（1）知， ∴， ∴旗杆的高度约为米． 21. 公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由题意可得顶点的坐标为，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可得悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，把代入（）所得函数解析式求出的值进而即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵普通货车的高度大约为，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于， ∴悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， 解得， ∴灯带的最大安装长度是． 22. 如图，抛物线的图象与x轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．点的坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为线段上一点（点不与点、重合），过点M作x轴的垂线，与直线交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．若点P在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设点的坐标为，则点P的坐标为，结合二次函数对称性得到点Q的坐标为，点N的坐标为，利用表示出矩形的周长，即可推出当矩形的周长最大时，的值，利用待定系数法求出直线的解析式，得到点E的坐标，再利用三角形面积公式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，抛物线的图象过点，， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 则点P的坐标为， 抛物线的对称轴为直线，， 点Q的坐标为， 点N的坐标为， 则矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长最大，最大值为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 则点E的坐标为， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数最值，图形与坐标，解题的关键在于灵活运用相关知识． 23. 课堂上，刘老师与学生进行如下习题训练，让学生从中体会由于点的移动导致几何形的变化，进而引发几何结论千变万化的魅力，来吧，体验吧． 已知，中，，，，为上一动点，连接，作，且使． （1）当点D运动到时，如图（一），求的长； （2）如图（二），当D为中点时，求的长； （3）如图（三），M为中点，N为中点， ①判断与的位置关系，并证明； ②当D从点B运动到点C时，直接写出点N经过的路径长． 【答案】（1） （2） （3） ①，证明如下； 如图所示，连接， ∵，为中点，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，等边对等角等等，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）由直角三角形的性质得到，证明，得到，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）连接，由直角三角形的性质可得，由相似三角形的性质可得，则，，再证明，得到，则，据此可证明；②当点D与点C重合时，点N与点重合，可得B、A、E三点共线；证明，求出，则，证明，得到；当点D与点B重合时，点N与点M重合，当点D与点C重合时，点N与点重合，则点N的运动轨迹即为线段，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，，为中点， ∴， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：① 略 ②如图所示，当点D与点C重合时，点N与点重合，则， ∴， ∴B、A、E三点共线， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴点N在直线上运动， ∵当点D与点B重合时，点N与点M重合，当点D与点C重合时，点N与点重合， ∴点N的运动轨迹即为线段， ∴当从点运动到点时，直接写出点经过的路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026九年级全学年学业评估试卷数学（HS） 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分，考生应首先阅读试卷上的文字信息、然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，把正确的答案字母填涂在答题卡对应的位置． 1. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“缘木求鱼”是随机事件 2. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 我国神舟二十二号飞船于11月25日发射成功，飞行任务标识融入“应急救援”要素，诠释了“以航天力量守护生命安全”的核心价值．要调查某校七年级学生对此次“应急救援”的了解情况，下列抽取调查对象的方式最合适的是（ ） A. 成绩排名前名的学生 B. 随机抽取名男生 C. 随机抽取名女生 D. 随机抽取名学号为偶数的学生 4. 下列选项中的两个图形不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一元二次方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项是 B. 一次项系数是3 C. 常数项是1 D. 是它的一个根 6. 如图是某班级的三角形花架的侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3或 8. 如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）为15步，如图，则该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是（　　） A. 3步 B. 4步 C. 5步 D. 6步 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若为实数，且，则的值为________． 12. 将抛物线绕顶点顺时针旋转，所得抛物线的解析式为________． 13. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点的坐标为________. 14. 如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的面积为______． 15. 如图，在中，，平分，，点分别为边上的动点，连接，则_________，的最小值为_________． 三、计算题（共75分） 16. 计算． （1）； （2）． 17. 书法是我国优秀传统文化瑰宝，一般分为行书、草书、隶书、篆书和楷书五大类，在每一大类中又细分若干小的门类．为了丰富学生课后服务课程，某校打算根据学生最喜爱的书法门类设置课程数量．计划设置行书、草书、隶书、篆书、楷书五个课程，现随机从全校的学生中抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与问卷调查的学生共有 人，并将条形统计图补充完整； （2）已知该校共有1200名学生，请根据统计数据，判断该校大约需要准备多少本篆书字帖才能满足学生使用；（注：选择篆书的同学每人一本篆书字帖） （3）假如你是校领导，请根据该校学生有意向学习书法的情况给出一条合理化建议． 18. 如图，是的直径，与相切于点B，且．连接． （1）求作，使得，且点D在上，点E是与的交点．小亮针对这个问题，设计了如下作图过程： 作法： ①以点B为圆心， 为半径画弧交于点F； ②分别以点O，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G； ③作射线，交于点E，交于点D，连接． ∴即为所求作． 根据上述小亮的作法，补全图形，并证明； （2）连接，与交于点P，与交于点Q，若，求的长． 19. 某直播间销售一款金甲战士玩具，进价为20元/个．大数据表明，当金甲战士玩具的售价定为30元/个时，每周可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，每周的销售量减少40个；反之，每降价1元，每周的销售量增加100个． （1）儿童节大促来袭，为吸引客流，尽可能多地提高销量，该直播间决定在售价为30元/个的基础上降价销售，预计一周获利5600元，问每个玩具应降价多少元？ （2）大促结束后，根据直播平台的规则，需在售价为30元/个的基础上涨价，问涨价后是否仍能获得5600元的周利润？若能，求每个玩具应涨价多少元；若不能，请说明理由． 20. 如图，某数学兴趣小组为测量校园内旗杆的高度，进行了以下操作：在旗杆前的平地上选择一点，测得旗杆顶端的仰角为；再往前走一段距离到点（点，，在同一条直线上），测得旗杆顶端的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米，的距离为10米． （1）求点到点的距离的长度（结果保留根号）； （2）求旗杆的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）． 21. 公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）． 22. 如图，抛物线的图象与x轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．点的坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为线段上一点（点不与点、重合），过点M作x轴的垂线，与直线交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．若点P在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积； 23. 课堂上，刘老师与学生进行如下习题训练，让学生从中体会由于点的移动导致几何形的变化，进而引发几何结论千变万化的魅力，来吧，体验吧． 已知，中，，，，为上一动点，连接，作，且使． （1）当点D运动到时，如图（一），求的长； （2）如图（二），当D为中点时，求的长； （3）如图（三），M为中点，N为中点， ①判断与的位置关系，并证明； ②当D从点B运动到点C时，直接写出点N经过的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $