5.2分式的运算（第三课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学八年级下册

5.2分式的运算（第三课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版《数学》八年级下册第五章分式与分式方程第 2 节第三课时，是分式加减运算的拓展与深化课，核心内容为类比异分母分数的加减法则推导异分母分式的加减法则，理解通分的本质与依据，掌握最简公分母的确定方法，能对异分母分式进行通分并转化为同分母分式完成加减运算，能将运算结果化为最简分式或整式，为后续分式的混合运算、分式方程求解奠定运算基础。 （二）教学内容解析 本节课是在学生掌握异分母分数的加减运算、分式的基本性质、最简分式及同分母分式的加减运算基础上的学习，实现了从数的异分母加减到式的异分母加减的类比迁移，其运算核心是 “通分转化，化异为同”，运算依据是分式的基本性质，是对分式基本性质和同分母分式加减法则的综合应用。 异分母分式加减法则的本质是异分母分数加减法则的代数延伸，分数中 “异分母分数相加减，先通分，化为同分母分数，再按照同分母分数的加减法则计算”，类比得到异分母分式的加减法则，核心特征是 “先确定最简公分母通分，将异分母分式转化为同分母分式，再运用同分母分式加减法则运算，结果约分化简”，关键操作是最简公分母的准确确定和通分的规范操作，这是实现 “化异为同” 的前提。 本节课的核心内容包括：1. 类比异分母分数加减法则推导异分母分式的加减法则，明确运算思路为 “通分→化异为同→同分母加减→化简”；2. 理解通分的定义，掌握通分的依据（分式的基本性质）和关键（确定最简公分母）；3. 掌握最简公分母的确定方法（系数取最小公倍数，字母取所有字母的最高次幂，多项式因式分解后取所有因式的最高次幂）；4. 能规范进行异分母分式的通分和加减运算，处理含单项式、多项式分母的异分母分式加减问题。本节课以 “异分母分数加减回顾 — 通分概念构建 — 最简公分母确定 — 异分母分式加减法则推导 — 运算示范” 为研究主线，渗透类比思想、化归思想和整体思想，让学生体会 “化未知为已知、化复杂为简单” 的数学研究方法，进一步提升代数式的运算能力和符号意识。基 于以上分析，确定本节课的教学重点为： 教学重点：异分母分式加减的运算思路（化异为同）；最简公分母的确定方法；异分母分式的通分及加减运算。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 （1）能类比异分母分数的加减法则，自主推导异分母分式的加减法则，明确其运算核心是 “化异为同”，能清晰阐述 “先通分，再按同分母分式加减法则运算” 的思路。 （2）能理解通分的定义和依据，准确说出通分的关键是确定最简公分母，能熟练掌握最简公分母的确定方法，能正确确定含单项式、简单多项式分母的分式的最简公分母。 （3）能规范进行异分母分式的通分操作，依据分式的基本性质将异分母分式准确转化为同分母分式，通分过程无符号、系数错误。 （4）能熟练运用异分母分式的加减法则进行运算，先通分化异为同，再进行同分母分式的加减，最后将结果约分化简为最简分式或整式，运算准确率达 90% 以上。 （5）经历异分母分式加减法则的推导和通分的探究过程，培养类比迁移、抽象概括和代数式运算能力，强化化归思想和严谨的数学运算意识，感受数学转化思想的实用性。 （二）教学目标解析 （1）学生能结合异分母分数加减的运算实例，通过类比迁移自主得出异分母分式的加减思路，能准确说出 “异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按照同分母分式的加减法则进行计算”，理解通分是实现 “化异为同” 的关键步骤。 （2）学生能理解通分是 “根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式”，能明确最简公分母的确定原则，对单项式分母）、多项式分母（的分式，能准确确定其最简公分母，确定准确率达 95% 以上。 （3）学生能依据分式的基本性质，以最简公分母为新分母，准确计算各分式的分⼦应乘的整式，将异分母分式转化为同分母分式，通分后分式与原分式相等，无漏乘、错乘情况。 （4）学生能针对含单项式、多项式分母的异分母分式加减题，遵循 “确定最简公分母→通分化异为同→同分母分式加减→合并同类项→因式分解约分” 的步骤规范运算，能正确处理多项式分母的因式分解，最终结果为最简分式或整式。 （5）学生能在类比推导和通分探究的过程中，提升类比迁移和抽象概括能力；在异分母分式加减运算的过程中，进一步培养代数式的运算能力和符号意识；在 “化异为同” 的过程中，深刻体会化归思想的内涵，强化严谨的数学运算习惯。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 八年级学生已熟练掌握异分母分数的加减运算，能运用 “先通分，化异为同，再加减” 的思路进行计算，掌握分数的最简公分母（最小公倍数）确定方法；已掌握分式的基本性质，能依据性质进行分式的恒等变形和约分；已理解通分的雏形（分数通分），掌握同分母分式的加减法则，能规范进行同分母分式的加减运算；已初步掌握多项式的因式分解（提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法），能对简单多项式进行因式分解，这些知识为异分母分式的通分和加减运算奠定了坚实的知识和能力基础。 （二）认知发展特点 八年级学生已具备较强的类比迁移能力，能将异分母分数的加减思路类比到分式中，对 “化异为同” 的核心思想容易理解，但对式的通分中最简公分母的确定（尤其是多项式分母）需要具体方法指导；能完成分式的基本性质应用和同分母分式加减运算，但将二者综合应用于异分母分式加减的能力有待提升；具备基本的多项式因式分解能力，能为多项式分母的通分提供支撑，但对 “多项式分母先因式分解再确定最简公分母” 的思路需要教师引导强化。 （三）潜在学习困难 最简公分母确定错误：确定单项式分母的最简公分母时，漏取字母的最高次幂或系数的最小公倍数；确定多项式分母的最简公分母时，未先对多项式因式分解，直接取原式导致公分母非最简。 通分操作失误：依据分式的基本性质通分时，分子漏乘相应的整式，或乘式计算错误；通分后分子的符号处理失误，导致后续加减运算错误。 运算步骤混乱：异分母分式加减时，未按 “通分→化异为同→同分母加减” 的步骤运算，直接将分子分母分别加减，混淆异分母与同分母分式的加减法则。 多项式分母处理不当：面对多项式分母的异分母分式，未先因式分解，无法准确确定最简公分母，或通分后分子的整式乘法运算错误。 结果化简不彻底：异分母分式加减运算后，未对分子进行合并同类项、因式分解，导致无法准确找公因式约分，结果未化为最简分式或整式。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为： 教学难点：多项式分母的分式的最简公分母的确定（先因式分解，再定公分母）；通分过程中分子的准确变形（不漏乘、不错乘）；异分母分式加减的步骤衔接与综合运算。 四、教学策略分析 （一）教学方法 采用“类比迁移法 + 问题驱动法 + 实例示范法”为主，结合 “讲练结合法”“对比辨析法”“纠错反思法” 开展教学。以异分母分数的加减运算为类比载体，将数的通分和加减思路迁移到式的领域，推导异分母分式的加减法则；通过问题驱动引导学生探究通分的定义、依据和最简公分母的确定方法，突破多项式分母的通分难点；通过典型实例规范示范异分母分式加减的完整运算步骤，重点讲解最简公分母确定、通分操作、多项式分母因式分解等关键环节；通过分数与分式通分、单项式与多项式分母通分的对比辨析，厘清通分的本质和方法差异；通过讲练结合，让学生在实操中巩固运算方法；通过典型错题展示，引导学生纠错反思，规避运算误区。 （二）学习方法指导 引导学生采用 “类比探究法”“五步运算法”“因式分解前置法”“验简反思法” 学习。类比异分母分数的加减思路，探究异分母分式的加减法则，实现运算思路的顺向迁移；遵循 “定最简公分母→通分化异为同→同分母分式加减→分子化简→约分化简” 的五步运算法，规范异分母分式加减操作；对多项式分母的分式，采用 “先因式分解，再定最简公分母” 的前置法，准确确定公分母；运算完成后，通过验简反思，检查通分是否正确、步骤是否规范、结果是否最简，培养严谨的运算习惯。 （三）教学手段 借助多媒体课件、分数与分式通分对比卡片、最简公分母确定步骤清单、通分操作示范卡、典型错题展示卡等教具辅助教学。利用课件展示分数到分式的通分和加减思路类比过程，直观呈现 “化异为同” 的核心思想；利用对比卡片梳理分数与分式通分、单项式与多项式分母通分的差异，强化理解；利用最简公分母确定步骤清单帮助学生规范公分母的确定流程；利用通分操作示范卡，展示含单项式、多项式分母的分式的通分过程；利用错题展示卡，呈现最简公分母确定错误、通分漏乘、步骤混乱等典型错误，引导学生分析原因，突破难点。 五、教学过程分析 （一）复习引入 提问：异分母分数的加减法则是什么？分式的基本性质是什么？同分母分式的加减法则是什么？确定分数最简公分母的方法是什么？ 提出问题：“异分母分数要先通分再加减，那异分母的分式呢？ 设计意图：通过复习异分母分数加减、分式基本性质、同分母分式加减等知识，为异分母分式的通分和加减运算搭建知识桥梁，实现旧知向新知的自然迁移；通过类比问题驱动，让学生初步感知异分母分式加减的核心思路，激发探究兴趣；明确学习目标，让学生带着问题开展学习，提升学习的针对性。 （二）主动参与、感悟新知 观察交流 在计算 时，小颖和小亮的做法如下： （1） 你明天他们是怎么做的吗？ （2） 你对这两种做法有何评价，请与同伴交流！ 想一想：请类比同分母分式的加减法，说一说异分母的分式应该如何加减? 利用分式的基本性质，我们可以将异分母的分式转化为同分母的分式，这一步骤称为通分。为了简化计算，通常我们会选择最简公分母作为它们的共同分母。 异分母分式加减法的法则：首先通分，将异分母的分式转化为同分母的分式，然后再按照同分母分式的加减法法则进行计算。用公式表示就是： 例1：找出下面各组分式最简公分母： 确定最简公分母的步骤： 系数：取各个分母的系数的最小公倍数； 字母：取各分母中所有字母或含有字母的因式； 指数：所有分母中相同字母或相同因式的最高次幂； 取这些因式的积就是最简公分母。 例2：通分 总结知识要点： 异分母分式的加减法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 例3：计算： (1) (2) (3) 解：（1） （2） （3） 例4：小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km,其中小丽走的是平路，骑 车速度是2v km/h.小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为 v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h.那么 (1) 小刚从家到学校需要多长时间？ (2) 小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时 间？ 解：(1)小刚从家到学校需要 (2)小丽从家到学校需要 因为 所以小丽在路上花费时间少. 小丽比小刚在路上花费时间少 （三）课堂总结 （1）知识梳理，体系构建：师生共同以思维导图的形式梳理本节课的核心知识： 异分母分式的加减→核心思想（化异为同，化归思想）→关键步骤（通分）→通分：定义 + 依据（分式基本性质）+ 关键（确定最简公分母）→最简公分母确定：单项式（系数最小公倍数 + 字母最高次幂）、多项式（先因式分解 + 取所有因式最高次幂）→运算步骤（定→通→加→化→约）→结果要求：最简分式 / 整式。 （2）方法总结，能力提升：总结本节课的核心解题方法和技巧： ① 类比迁移法：异分母分数加减→异分母分式加减，迁移 “通分化异为同” 的思路； ② 五步运算法：定公分母、通分、同分母加减、分子化简、约分，规范运算流程； ③ 因式分解前置法：多项式分母先因式分解，再确定最简公分母，保证公分母最简； ④ 符号变形法：分母互为相反数时，先统一符号，再通分，简化运算； ⑤ 验简三步法：检查通分是否漏乘、分子加减是否添括号、结果是否约分，保证运算准确。 （3）思想提炼，素养深化：提炼本节课渗透的核心数学思想： ① 类比思想：从异分母分数的加减思路类比得到异分母分式的加减思路，体会数到式的延伸，感受数学运算的一致性； ② 化归思想：将异分母分式加减转化为同分母分式加减，将多项式分母转化为因式分解后的整式积，将复杂运算转化为简单运算，化未知为已知、化复杂为简单； ③ 整体思想：将分式的分子、分母分别看成一个整体，通分时分子随分母整体变形，加减时分子整体添括号运算； ④ 严谨推理思想：关注通分的依据和漏乘问题，注重多项式因式分解的准确性，保证运算步骤的规范性和结果的最简性，强化数学运算的严谨性。 （4）易错点回顾，规避误区：强调本节课的核心运算易错点，让学生重点关注并规避： ① 确定最简公分母时，多项式分母未先因式分解，或漏取系数最小公倍数、字母最高次幂； ② 通分过程中，分子漏乘或错乘相应的整式，导致分式值改变； ③ 分母互为相反数时，未进行符号变形，直接通分增加运算难度； ④ 分子为多项式时，加减运算未添括号，导致符号错误、漏项； ⑤ 运算后未对分子进行合并同类项、因式分解，导致结果化简不彻底。 （5）知识延伸，衔接后续：教师总结：“本节课我们掌握了异分母分式的加减运算，实现了分式加减运算的完整掌握，接下来我们将把分式的乘除、加减运算结合起来，学习分式的混合运算，其运算顺序与有理数的混合运算一致：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。希望大家做好预习，回顾分式的乘除、加减法则和有理数的混合运算顺序。” 设计意图：思维导图的知识梳理，让学生形成系统的异分母分式加减运算知识体系，将分式的基本性质、通分、同分母分式加减等知识融会贯通，避免知识碎片化；方法总结让学生提炼核心运算技巧，提升自主运算能力；数学思想的提炼，深化学生的数学核心素养，让学生体会数学思想在运算中的实用价值；易错点回顾让学生明确运算中的常见错误，规避后续运算误区；知识延伸为下节课分式的混合运算做好铺垫，让学生明确后续学习的核心内容和前置知识，形成完整的分式运算体系。 （四）布置作业、巩固提高 1．如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简公分母的确定．先将分式的分母因式分解，再根据最简公分母的定义，取各分母所有因式的最高次幂的乘积得到最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：C． 2．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加法运算．通过观察分母和互为相反数，将第二个分式变形进行减法运算，再化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 4．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 5．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，平方差公式，正确通分是解题关键． 结合平方差公式将异分母转化为同分母进行加减即可． 【详解】解：原式 ． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查异分母分式的加减运算，掌握其运算法则是关键，先因式分解后约分，再计算和差，最后再化简即可． 【详解】解：根据分式有意义的性质得到，， ． 7．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，掌握先对分母因式分解确定最简公分母，再通分，分子相加减后化简约分是解题的关键． （1）先对分母因式分解，确定最简公分母，将异分母分式化为同分母，再分子相加减，最后整理结果； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，通分后分子相加减，再化简约分． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $