5.2分式的运算第1课时（教学设计）数学新教材北师大版八年级下册

5.2 分式的运算 第1课时 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版八年级下册数学，第五章《分式与分式方程》第5.2节“分式的运算”第1课时，核心知识点为分式的乘除运算法则及其应用。主要内容围绕分式乘法、除法和分式乘方展开，强调在进行分式运算时需将分子、分母分别运算并化简为最简分式或整式。本课奠定了后续学习分式方程等内容的基础，具有承上启下的作用。 2.内容解析 通过情境引入，学生不仅理解分式运算与实际生活的关系，还初步感知分式运算与分数运算的类比。随后探究分式的乘法、除法及乘方法则：两个分式相乘即“分子相乘、分母相乘”，相除则需将除式倒数和被除式相乘，乘方则是分别对分子、分母进行乘方。例题与练习涵盖分子、分母为多项式的多样化运算场景，突出因式分解与约分技巧。知识应用环节则结合球形体积等真实问题，培养学生综合运用能力。 1.教学目标 •掌握分式的乘除运算法则。 •能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算。 2.目标解析 • 要求学生能够在理解分数运算法则的基础上，灵活迁移至分式运算，清晰知道何时约分以及保证分母不为零。 • 需要学生熟练运用因式分解，判断并提取公因式后再进行约分，确保结果为最简分式或整式。 3.重点难点 • 教学重点：分式乘除运算法则的掌握与应用。 • 教学难点：多项式因式分解与约分过程的灵活运用。 本节课面对的是已具备分数与多项式基础运算能力的八年级学生。学生已掌握多项式的加减乘除和简单因式分解，能初步理解“分母不能为零”等概念。但对“分式与实际问题建模”的抽象理解能力仍较弱，需要结合具体实例反复练习，以巩固约分和转换思维，进而突破分子、分母同为多项式的运算难点。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 (1)分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变. 上述性质可以用式子表示为：=，=(m≠0) (2)把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． (3)当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式． 注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式． 2.情景引入 问题1:一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的时,水高多少? 解：∵长方体容器的高为, ∴水高为∙. 问题2:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 解：∵大拖拉机的工作效率是公顷/天,小拖拉机的工作效率是公顷/天, ∴大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的÷倍. 类比分数的运算，你认为分式能进行哪些运算？如何进行这些运算呢？ 【设计意图】通过生活中常见的体积、面积与工作效率情境，引导学生回顾分数的乘除运算，进而类比到分式的乘除运算，激发学习兴趣、明确学习方向。 探究点1：分式的乘除 1.尝试交流 （1）两个分数如何相乘、如何相除？请举例说明 . 解：两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后再与被除数相乘. 举例：×==；÷=×=. （2）你认为两个分式应该如何相乘、如何相除？与同伴进行交流. 解：与分数乘法、除法的法则类似，我们可以得到分式的乘法、除法法则. 2.知识归纳 分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 分式的除法法则： 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 这一法则可以用式子表示为： . 3.新知探究 例1 计算:（1）； （2）∙. 解：（1）==; （2）∙==. 例2 计算:（1）3x÷； （2）÷ 4.知识归纳 ◎分式乘法运算的步骤： 1.分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算. 2.各分式中的分子、分母含有多项式时，先因式分解，再约分. 注意：分式乘除法运算，其结果通常要化成最简分式或整式. ◎分式除法运算的步骤： 1.进行分式的除法运算时，要先变（除法变乘法）后算. 2.在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式. 5.练一练 解：B. 解：C. 【设计意图】通过与分数运算法则的对比，让学生直观地发现分式乘除运算的本质规律，克服“分式复杂”的心理障碍，顺利过渡到分式乘除的概念。 探究点2：分式的乘方 1.思考交流 与有什么关系？与同伴交流. 2.归纳总结 分式的乘方法则： 注意：（1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方. （2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除. 3.练一练 计算的结果是（ ） A.− B.− C.− D. 解：C 【设计意图】此环节通过“先变后算”切入，帮助学生掌握分式除法的通用技巧，突破易忘或易出错的难点. 探究点3：分式乘除法的应用 1.尝试交流 购买西瓜时,人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,且西瓜瓤的分布是均匀的,西瓜的皮厚都是d.已知球的体积公式为V＝π（其中R为球的半径），那么 (1)西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少? (2)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?与同伴进行交流. 解：∵===. ①若大、小西瓜皮的厚度d一样，R越大，西瓜瓤占的比例越大，所以买大西瓜合算; ②若大、小西瓜皮的厚度d不一样，一般我们都会选择皮薄的； ③若西瓜皮的厚度d与半径R成正比，从西瓜与整个西瓜的体积比上看，我们买大、小西瓜一样合算。 2.典例分析 例1 例2 【设计意图】本环节通过“典例分析”形式引导学生在情境中巩固、内化分式乘除运算规律，并鼓励学生主动探究、总结方法，为后续的应用与深化打下基础。 1．若式子有意义，则 的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解：C． 2.化简 的结果是(　　) A. B. C. D. 解：A． 解：C. 4.已知关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是(　　) 甲： 的计算结果为 ； 乙：当 时，； 丙：当 时， 的值为正数. A.乙错，丙对 B.甲和乙都对 C.甲对，丙错 D.甲错，丙对 解：C． 解：A 6.化简÷(x−2)的结果是_____. 解： 7.计算1÷(−a)∙的结果是_____. 解:- 8.如果代数式＝1，那么÷的值为_____． 解:1 10.先化简，再求值：÷，其中，x=3. 解：÷ =×(x+1)(x−1) =. 当x=3时，原式==1. 11.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米.他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？ 解：设花生的总产量是1， (倍). 答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的倍 【设计意图】本环节可通过补充历年中考或各地模拟中的典型“分式乘除”题型，对学生进行综合训练与评价，帮助学生在应用中再次巩固知识。 主板书 5.2 分式的运算 第1课时 探究点1 分式的乘除 探究点 2 分式的乘方 探究点3 分式乘除法的应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题5.2第1，8题。 2.探究性作业：习题5.2第10题。 学科网（北京）股份有限公司 $