精品解析：2026届江苏省南京市鼓楼区名校联盟高三一模数学试题

2026届高三一模数学试题 命题人：张博文 审题人：刘俊豪 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（ ） A. B. C. D. 4. 棱长为1的正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下结论错误的是（ ） A. 平面； B. 线段与线段的长度之和为定值； C. 线段长度的最小值为； D. 面积的最大值为； 5. 已知奇函数的定义域为，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（ ） A. 是等比数列，且公比为 B. 是等比数列，且公比为 C. 是等差数列，且公差为2 D. 是等差数列，且公差为4 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，⋯，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（ ） A. 第二组的频率为0.016 B. 第七组的频率为0.06 C. 估计该校高一800名男生的身高的中位数约为 D. 估计该校高一800名男生的身高的平均数约为 10. 定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集为 11. 双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则的面积为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 二项式的展开式中的系数为__________. 13. 已知直线与函数的图象相切，则实数_____． 14. 一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为_____． 四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分) 15. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式，并求的前项和． 16. 已知集合含有个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数， （1）若，且，请列举所有满足条件的和； （2）求随机变量的数学期望； （3）设在处取得最大值，试建立与的关系． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 18. 已知函数． （1）求的定义域； （2）当时， （i）若，证明：； （ii）若存在三个极值点，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆的焦距为2，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点， ①证明：平分线段（其中为坐标原点）； ②当取最小值时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三一模数学试题 命题人：张博文 审题人：刘俊豪 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域化简集合，解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，且，， 所以. 故选：C 2. 已知为坐标原点，，，两点在单位圆上，满足，以线段，为邻边作平行四边形，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出得到点P在以O为圆心、半径为的圆上即可计算求解. 【详解】由题可知以线段，为邻边所作的平行四边形是边长为1的菱形，， 所以， 所以点P在以O为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为. 故选：D 3. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得， 所以. 则 . 故选：B. 4. 棱长为1的正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下结论错误的是（ ） A. 平面； B. 线段与线段的长度之和为定值； C. 线段长度的最小值为； D. 面积的最大值为； 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，结合图形，利用面面垂直的判定证得平面平面，再用其性质推得平面，得，利用，即可证得结论；对于B ，利用平行线分线段成比例性质可求得和，即可证明；对于D、C ，利用B的结论，借助于基本不等式可求得面积的最大值和的最小值，即可判断. 【详解】 对于A ：如图，在正方体中，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面， 平面且， 所以平面，又平面，所以， 又， ， 平面，所以平面，故A正确； 对于B：因为平面，平面， 所以，所以，所以，即得； 又由，，所以，所以，所以， 即得， 所以，即为定值1，故B正确； 对于D ，由A知平面，因平面，则有， 所以的面积，当且仅当时等号成立， 即当时，面积的最大值为，故D错误； 对于C，由D知，则，当且仅当时等号成立， 即当时，线段长度的最小值为，故C正确. 故选：D. 5. 已知奇函数的定义域为，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断. 【详解】令，因为当时，， 所以，所以在单调递增， 定义域为，对， 且，所以是偶函数， 对于A、B：因为，即，所以，A、B错误； 对于C：因为，即，所以，C正确； 对于D：因为，即，所以，D错误. 故选：C. 6. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 故选：D 7. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，用定义得，代入余弦定理得的关系，转化为离心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求. 【详解】设为第一象限内的交点，，，焦距为. 椭圆的定义：， 双曲线的定义：（因在第一象限，）， 解得：，. 在中，，由余弦定理，得， 得，即， 交叉相乘并整理： ， 两边除以，结合，，得. . 当且仅当，即， 因，故，则时等号成立，即取最大值. 因此，. 综上所述，当取最大值时，. 故选：C 8. 如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（ ） A. 是等比数列，且公比为 B. 是等比数列，且公比为 C. 是等差数列，且公差为2 D. 是等差数列，且公差为4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由与相外切，得到，化简得到，求得，结合等差数列的定义，即可求解. 【详解】因为与相外切，所以， 即， 所以， 因为每个点均在函数的图像上，可得， 所以，即，所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 所以，则， 此时数列不是等比数列. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 上饶市某学校从高一的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，⋯，第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.以下说法正确的是（ ） A. 第二组的频率为0.016 B. 第七组的频率为0.06 C. 估计该校高一800名男生的身高的中位数约为 D. 估计该校高一800名男生的身高的平均数约为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，由频率分布直方图矩形面积为1即可求得各组的频率，对于C，先确定中位数所在组，再用中位数计算方法即可求解，对于D，将各组中点值乘以频率后相加即可得到平均数. 【详解】对于A，第二组的频率为，故A错误； 对于B，由题意得第六组人数为4人，则有第六组的频率为，纵坐标为0.016， 所以第七组的满足，故B正确； 对于C，由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校高一800名男生的身高中位数为，则， 则有，解得，故C正确； 对于D，设这所学校高一800名男生的身高平均数为， 身高在第五组的频率为， 身高在第六组的频率为， 身高在第七组的频率为， 身高在第八组的频率为， 则有， 故D正确. 故选：BCD. 10. 定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用赋值法判断A，结合题意并利用偶函数的定义判断B，利用函数单调性的定义判断C，将目标不等式合理转化判断D即可. 【详解】令，得，即，故A正确； 令， 则， 即是偶函数，故B正确； 当时，因为，所以， 因为，所以， 则在上单调递增，故C错误； 由题意知，且， 因此不等式可化为， 因为在上单调递增， 所以，解不等式得，故D错误． 故选：AB 11. 双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误； 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以，B正确； 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确； 对于D，因为，， 由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 二项式的展开式中的系数为__________. 【答案】70 【解析】 【分析】求二项式的展开式的通项，由条件求，由此可得结论. 【详解】由题意知二项式的展开式的通项为， 令， 则的系数为. 故答案为： 13. 已知直线与函数的图象相切，则实数_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设函数在点处的切线为，根据导数的几何意义列式计算可求得. 【详解】设函数在点处的切线为， 函数的定义域为. 由，得，所以， 所以，解得（舍去）或. 又，所以切点为， 又切点在直线上，所以，解得. 故答案为：. 14. 一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列性质以及分布列性质可得，且；再利用完全平方公式计算可得结果. 【详解】设掷出点的概率分别为； 由于成等差数列，且，故； 事件“”发生的概率为； 事件“”发生的概率为； 于是； 由于，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分) 15. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式，并求的前项和． 【答案】（1）证明：，， 两式相减得， ， 又， 数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）， 【解析】 【分析】（1）利用递推式相减得出的递推关系，进而得出是等比数列； （2）求出的通项公式，再利用递推式相加得出的递推关系求出通项公式，进而求出的通项公式及前项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 数列是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，， 两式相加得， ，， 当时，满足上式， 数列是首项为4，公差为4的等差数列，即， ，解得， ． 16. 已知集合含有个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数， （1）若，且，请列举所有满足条件的和； （2）求随机变量的数学期望； （3）设在处取得最大值，试建立与的关系． 【答案】（1）；；；；；. （2） （3），其中为自然数. 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分类讨论，根据随机变量服从二项分布，利用期望公式求解即可； （3）列出不等式组，求出取值范围，分类求与的关系即可. 【小问1详解】 由题意，；；；； ；. 【小问2详解】 根据集合的子集个数，可知集合A的可能情况有种；同理，集合B也可能有种. 因此，两集合的所有可能情况数为 X的所有取值为 当时，先从n个元素中选出k个元素，记为，有种可能情况； 对于这k个元素中的每个元素，满足时， 只可能满足这三种情况之一，有种可能情况. 因此，事件“”的所有可能情况数为，则 由，可知，则. 【小问3详解】 若，由，，则，矛盾. 若，由，可知，当时，满足； 当时，满足 若，由，即， 即，解得， 从而，，其中为自然数. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1），，， 由余弦定理得， 故，故⊥， 直三棱柱中，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求出，进而，故⊥，结合⊥，得到线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，根据得到，，求出平面的法向量，设出线面角，得到， 因为，所以， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 点在平面上的射影为点，， ，， 设，， 故， ，故，整理得， 又，故，又，解得， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 设直线与平面所成角大小为， 则， 因为，所以， 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 18. 已知函数． （1）求的定义域； （2）当时， （i）若，证明：； （ii）若存在三个极值点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （i）证明：若，则， 所以， 令， 则， 因为， 而，且， 则，所以函数在区间上单调递减， 又，则当时，， 当时，， 故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 于是. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零，结合余弦函数性质，即可得答案. （2）（i）利用导数求出的单调区间和极值，分析即可得证. （ii）分别讨论和两种情况，导数求出的单调区间，进而可得其极值点个数，综合分析，即可得答案. 【小问1详解】 由，解得， 所以的定义域为 【小问2详解】 当时， （i）略. （ii）由题意可知， 若，当时，由（i）可知， 再由为奇函数可知， 当时，． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时存在唯一的极大值点． 若，令， 则， 令，函数， 则，故在上单调递增． 因为，故存在使得． 当时，； 当时，． 记且，则当或时，单调递减； 当时，单调递增． 又因为， 当时，，当时，， 再由为奇函数可知， 存在，使得． 当或时，单调递增； 当或时，单调递减， 此时存在两个极大值点和和一个极小值点，共三个极值点． 综上所述，实数的取值范围为． 19. 已知椭圆的焦距为2，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点， ①证明：平分线段（其中为坐标原点）； ②当取最小值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） ①设，的中点为， ，则， 直线的方程为， 由消去并化简得， ， ， ， 所以，所以， 所以，所以平分线段. ② 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得以及，从而求得椭圆的方程. （2）设是的中点，通过证明三点共线来证明平分线段；先求得的表达式，然后利用函数的单调性求得最小时，点的坐标. 【小问1详解】 依题意，，在椭圆上， 则，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①略； ②由①知， ， 所以， 设，函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值为， 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $