精品解析：山东济宁市泗水县2025-2026学年第一学期 12月拓展质量监测 八年级数学试题

泗水县2025-2026学年度第一学期 拓展质量监测 八年级数学试题 （时间：120分钟） 同学们，你们好！一转眼几何阶段飞快地过去了，在新的代数领域，我们学到了许多新的数学知识，也提高了我们的数学思维能力，现在让我们在这里尝试殚精竭虑的思考，展示一下自己的真实水平吧！祝大家成功！ 一、解答题（本大题共10个小题共100分．答题时请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 1. 数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由图可得； 由图可得； 由图可得． （1）请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算； （2）设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 2. 观察：已知． … （1）猜想： ； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ① ； ② ； （3）拓广：① ； ②判断的值的个位数是几？并说明你的理由． 3. 【基础问题】 如图①，矩形中，点为边上一点，连接，作交于点，且，求证：． 【拓展延伸】 （1）如图②，点为平行四边形内部一点，，作交延长线于点，若，则平行四边形的面积为． （）如图③，在正方形中，，在边上取一点，使，将沿翻折到位置，作于点，在右侧作，则面积的最大值为__________． 探究：把四块如图所示的小正方形按图所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为__________； 应用：如图，已知是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积： 拓展：已知，求的最小值． 4. 探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为__________； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积： 拓展：已知，求的最小值． 5. 计算： 6. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． （1）被污染的整式________；________； （2）已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 7. 阅读下列材料：定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“吉祥数”． （1）若，，直接写出，的“吉祥数”； （2）如果，，求，的“吉祥数”，并证明“吉祥数”． 8. 如图，某市四条路围成的矩形地块内有两座底座均为正方形的古建筑（两个正方形有两条边在同一条直线上），为保护古建筑，规划部门准备将这两座古建筑用一个正方形金属栅栏围起来，并对地块的其余部分进行绿化，且想要使正方形金属栅栏的使用量最少．已知矩形地块的长为，宽为，两座古建筑底座正方形的边长分别为和． （1）请在图中画出符合要求的正方形栅栏的位置，并用多项式表示该正方形的面积． （2）请用多项式表示绿地的面积；当，时，求绿地的面积． 9. 在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 第n个等式可写为： 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： 整理得， …… … 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； …… 【问题解决】 （1）请你完成【思考与推理】中省略的步骤． （2）你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想． （3）你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 10. 证明：是平方数． 11. 阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得 又∵ ∴ 根据阅读材料，解决以下问题： （1）将指数式转化为对数式________； （2）求证：（，，，） （3）拓展运用：计算________． 12. 初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； （1） ； __________； （2）由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． （3）根据（2）的探究，直接写出__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泗水县2025-2026学年度第一学期 拓展质量监测 八年级数学试题 （时间：120分钟） 同学们，你们好！一转眼几何阶段飞快地过去了，在新的代数领域，我们学到了许多新的数学知识，也提高了我们的数学思维能力，现在让我们在这里尝试殚精竭虑的思考，展示一下自己的真实水平吧！祝大家成功！ 一、解答题（本大题共10个小题共100分．答题时请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 1. 数学兴趣小组在计算，，等两位数乘法时发现，当十位上的数字相同、个位上的数字之和为的两个两位数相乘时可以用图形面积来分解计算： 由图可得； 由图可得； 由图可得． （1）请你帮助数学兴趣小组画出计算的面积分解图并计算； （2）设这两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，请用含的代数式表示出你发现的计算规律，并证明． 【答案】（1） 如图， 4216 （2） 解：， 证明：左边， 右边， ∴左边右边， ∴该等式成立． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法，多项式乘以多项式的几何应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照例题即可求解； （）根据多项式乘以多项式的运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得； 【小问2详解】 略 2. 观察：已知． … （1）猜想： ； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ① ； ② ； （3）拓广：① ； ②判断的值的个位数是几？并说明你的理由． 【答案】（1）； （2）① ；② ； （3）① ； ② 解：个位上数字是7，理由： = = ∵…结果是以2、4、8、6循环 ∴ ∴的个位数字为8， ∴的个位数字为7 【解析】 【分析】（1）根据一系列等式总结出规律即可； （2）① 令，代入上面规律计算即可； （2）② 将式子变形为：，计算即可； （3）① 提取，将原式变形为：，按照规律计算即可； （3）② 由，…结果是以2、4、8、6，，的个位数字为8，进一步得到结果． 【详解】解：（1） （2）① = = ② = = （3）① = = = ② 略 【点睛】本题考查整式混合运算的应用，找出本题的规律是解题关键． 3. 【基础问题】 如图①，矩形中，点为边上一点，连接，作交于点，且，求证：． 【拓展延伸】 （1）如图②，点为平行四边形内部一点，，作交延长线于点，若，则平行四边形的面积为． （）如图③，在正方形中，，在边上取一点，使，将沿翻折到位置，作于点，在右侧作，则面积的最大值为__________． 探究：把四块如图所示的小正方形按图所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为__________； 应用：如图，已知是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积： 拓展：已知，求的最小值． 【答案】 基础问题：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 拓展延伸：（1）25；（2）； 尝试：， 应用：12， 拓展：2 【解析】 【分析】基础问题：利用一线三垂直模型证明即可； 拓展延伸：（1）如图所示，延长至使得，连接，同理可得，求出，则； （2）如图所示，延长交于H，则四边形为矩形，则，，求出；由折叠的性质可得，设，则，证明根据勾股定理以及面积法求得的值，进而可得，设，由勾股定理得到，再证明，进而得到，则面积的最大值为． 尝试：从整体上看，阴影部分的面积边长为的正方形的面积；从组成上看，阴影部分的面积边长为m的大正方形的面积个长为m、宽为n的小长方形的面积再加上边长为n的正方形的面积； 应用：设，得，求出，从而可求出阴影部分的面积； 拓展：进行整式的减法得，再进行配方可得结论． 【详解】解：基础问题： 略 拓展延伸：（1）如图所示，延长至使得，连接， ， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， 同理可得 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，延长交于H，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 设， ∴， ∵ ∴ 即 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴面积的最大值为， 故答案为：． 尝试：， 故答案为：； 应用：设， 由题意，得． 又， ， ． 阴影部分的面积为． 拓展：， 的最小值为2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三线合一定理，完全平方公式的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4. 探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为__________； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积： 拓展：已知，求的最小值． 【答案】尝试：，应用：12，拓展：2 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，根据图形中面积的不同表示方法得到相关等式是解题的关键． 尝试：从整体上看，阴影部分的面积边长为的正方形的面积；从组成上看，阴影部分的面积边长为m的大正方形的面积个长为m、宽为n的小长方形的面积再加上边长为n的正方形的面积； 应用：设，得，求出，从而可求出阴影部分的面积； 拓展：进行整式的减法得，再进行配方可得结论． 【详解】解：尝试：， 故答案为：； 应用：设， 由题意，得． 又， ， ． 阴影部分的面积为． 拓展：， 的最小值为2． 5. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，多项式乘以多项式，设，将原式转化为，利用多项式乘以多项式，多项式乘以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：设， 则原式化为： ． 6. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． （1）被污染的整式________；________； （2）已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：与的和大于1 与的和大于1． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可得解； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 7. 阅读下列材料：定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“吉祥数”． （1）若，，直接写出，的“吉祥数”； （2）如果，，求，的“吉祥数”，并证明“吉祥数”． 【答案】（1） （2）， 证明：∵． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了新定义、完全平方公式等知识，理解并运用“吉祥数”的规定是解决本题的关键． （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义求出，利用完全平方公式的非负性证明即可． 【小问1详解】 解：，， ∴． ，的“吉祥数”是． 【小问2详解】 解： ． 8. 如图，某市四条路围成的矩形地块内有两座底座均为正方形的古建筑（两个正方形有两条边在同一条直线上），为保护古建筑，规划部门准备将这两座古建筑用一个正方形金属栅栏围起来，并对地块的其余部分进行绿化，且想要使正方形金属栅栏的使用量最少．已知矩形地块的长为，宽为，两座古建筑底座正方形的边长分别为和． （1）请在图中画出符合要求的正方形栅栏的位置，并用多项式表示该正方形的面积． （2）请用多项式表示绿地的面积；当，时，求绿地的面积． 【答案】（1） 如图，正方形即为所求； 该正方形的面积为； （2），绿地的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了作图一应用与设计作图、单项式乘多项式、多项式乘多项式，完全平方公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题意结合正方形的判定画图即可，然后根据正方形的面积公式计算即可； （）用大矩形的面积减去正方形围栏的面积求出多项式表示绿地的面积，然后将，的值代入计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：绿地的面积为： ， 当，时，绿地的面积为， ∴绿地的面积为． 9. 在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 第n个等式可写为： 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： 整理得， …… … 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； …… 【问题解决】 （1）请你完成【思考与推理】中省略的步骤． （2）你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想． （3）你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 【答案】（1） 解：剩余步骤为：， ∴， ∴； （2） 解：【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原式成立； （3） 解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． （1）根据等式的性质以及完全平方公式计算即可； （2）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式乘多项式展开即可证明相等； （3）先通过，将等式中的从、、、依次取到时，就可得个等式，再累加即可， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 10. 证明：是平方数． 【答案】 证明： ， 又的各位数字之和为6，被3整除， 所以，被3整除，于是是整数， 故是平方数. 【解析】 【分析】本题考查了平方数的理解，运用条件代换成完全平方公式，即可求证，题型较难； 根据题意转化为，，再得到，说明即可. 【详解】略 11. 阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（且），那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得 又∵ ∴ 根据阅读材料，解决以下问题： （1）将指数式转化为对数式________； （2）求证：（，，，） （3）拓展运用：计算________． 【答案】（1）； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （3）2. 【解析】 【分析】（1）根据对数式的定义转化即可； （2）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】解：（1）（或），故答案为； （2）略 （3）． 故答案为2． 【点睛】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系，解题的关键是明确新定义，理解对数的运算法则，明白指数与对数之间的相互转化关系． 12. 初中学习过指数的运算，在指数的基础上，作另一种运算——对数运算．给出对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．∵，∴；∵，∴；∵，∴；∵，∴； （1） ； __________； （2）由题目给出的运算，猜想：__________（且，，），并证明你的猜想． （3）根据（2）的探究，直接写出__________． 【答案】（1）5，5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用． （1）根据对数与乘方之间的关系求解可得结论； （2）根据所得结论进行推导可得结论； （3）根据之前的探究，可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ， ， 故答案为：5，5； 【小问2详解】 解：， 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据之前的探究，可得． 验证：设， 则， ， ， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $