精品解析：湖北荆州市松滋市2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

湖北省荆州市松滋市2025−2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项B中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式运算的法则，包括合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方等，需逐一验证各选项是否符合初中数学教材中的运算法则． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误，不符合题意； B、，∴B错误，不符合题意； C、，∴C正确，符合题意； D、，∴D错误，不符合题意． 故选：C． 3. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于米．则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，已知，，，则的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形外角的性质，先求出，再由是的外角，得到，即可解答． 【详解】解：∵，，， ， 是的外角， ． 故选：A． 5. 如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小到原来的 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的3倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质， 依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的a和b得， ∴新分式缩小到原来的， 故选C． 6. 已知，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，利用可得答案． 【详解】解：∵， ∴； 故选：D 7. 如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．由折叠的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据第二批购买的套数只比第一批少4套，列出方程即可． 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元， 由题意，得：； 故选B． 9. 已知，，m，n为正整数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法的逆运算，先将32转化为2的5次方，再利用幂的运算法则把所求式子变形为含已知式的形式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 当__________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，关键是注意分式的分母不能为零．当且时，此分式的值为0． 【详解】解：根据题意得：且， 解得，． 故答案为： 12. 如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线定理，先根据画图得到为的角平分线，再证明，再证明是等腰三角形，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，过点M作，垂足为D， 由题意得，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 13. 对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下： ．例如： ．若，则的值为_______． 【答案】1013 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，新定义下的运算，掌握相应的运算法则是关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，（x，y不为0）， ∴， ∴． 故答案为：1013． 14. 图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 【答案】 ①. ②. 2或3 【解析】 【分析】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点的运动速度为时，有，，，当与全等时，需要分和两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于、的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点的运动速度为时，与全等， 则有，，， 当时， 可得：，， ，， ， 解得：， 点的运动速度为； 当时， 可得：，， ， 解得：， 点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案：；或． 三、解答题（共9题，共75分） 15. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算有理数的乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算； （2）先由完全平方公式和平方差公式计算，再进行加减计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 16. 先化简，再求值：，其中x为的整数． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算转化为乘法运算，则约分得到，展开原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 为的整数， 为0、1、2， 且， ∴且， 可以取0， 当时，原式． 17. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，得到，选择适当的判定定理证明即可； （2）根据三角形全等的性质，结合线段的和差计算即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明： ． 在和中， 由, ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 18. 如图，在正方形网格中，已知网格的单位长度为，点，，均在格点上，要求回答下列问题： （1）画与关于轴的对称图形； （2）、、的坐标分别是______、______、______； （3）在轴上求作点，使的值最小，直接写出点的坐标______． 【答案】（1）见解析 （2）；； （3）． 【解析】 【分析】本道题主要考查平面直角坐标系中轴对称坐标特征、轴对称图形的作图方法，以及利用将军饮马模型结合一次函数求解最短路径问题，是几何变换与函数应用的综合考查。 （）先确定各顶点坐标，再根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变”，找到对称点； 依次连接，得到； （）求对称点坐标：依据轴对称的坐标变化规律，直接由原顶点坐标推出的坐标； （）找轴上使最小的点，利用“轴对称求最短路径”的方法，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，通过设直线解析式、求与轴交点坐标，得到点坐标 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 分别找出点关于轴的对称点；依次连接，得到(画图时注意格点对应，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变) 【小问2详解】 先确定原各点坐标： ，关于轴对称后，， ，关于轴对称后，， ，关于轴对称后，． 故答案为：；；． 【小问3详解】 如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值， ∵点关于x轴的对称点， 设直线的解析式为，代入， ， 解得， ∴， 令，得， 则点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 19. 综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）18或12 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出所框月历中四个数的关系是解题的关键． （1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）根据及a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），求出a和b的值，据此得出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵， ∴； （3）因为，a，b为正整数且a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31）， 所以或或或． 又因为， 所以或12， 即所有可能的m值为18或12． 20. 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【详解】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （）先根据等边三角形的性质，得出，再根据三角形外角的性质求出，再根据三角形内角和定理及垂直的定义求证即可； （）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再证出，即可求出的长． 【小问1】证明：如图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件． （1）求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量； （2）为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量． 【答案】（1）1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件 （2）1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程成为解题的关键． （1）设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件，然后根据题意列分式方程求解并检验即可解答． 【小问1详解】 解：设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件， 由题意可列方程， 解得， ∴（件）， 答：1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件； 【小问2详解】 解：设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件， 由题意得，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件． 22. 【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、平分线，则与的数量关系，并说明理由． 拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1）；（2）；【拓展提升】． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【初步应用】（1）由进行变形为即可求解； （）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解； 【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解． 【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴，， ∴． ∵，（三角形内角和定理） ∴． 故答案为：； 解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵、分别为外角、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，延长、交于点， ∵，， ∴， ∴． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，已知，，，且已知． （1）请直接写出点A的坐标： ；点B的坐标： ；判定是 三角形； （2）如图①，过x轴上一点作于E，交y轴于点F． ①求证：； ②求F点的坐标； （3）将沿x轴向左平移，边与y轴交于一点P（P不同于A和C两点），过P作一直线与的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且，在平移过程中，求证：． 【答案】（1），，等腰 （2）①证明见解析 ② （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了坐标与图形，非负数的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据非负数的性质求得m，n的值，即可得出A，B的坐标，进而求得，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角即可得解； （2）①证明，得出，可得结论；②由①的结论可得； （3）过点P作交于点N，证明，得出，根据，，得出，从而可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故答案为：，，等腰． 【小问2详解】 解：①证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴． 【小问3详解】 证明：如图②，过点P作交于点N， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省荆州市松滋市2025−2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 2. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 古代数学著作《九章算术》注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于米．则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小到原来的 C. 缩小到原来 D. 扩大到原来的3倍 6. 已知，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 8. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，m，n为正整数，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 10. 分解因式：______． 11. 当__________时，分式的值为0． 12. 如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则______． 13. 对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下： ．例如： ．若，则的值为_______． 14. 图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 三、解答题（共9题，共75分） 15 （1）计算： （2）化简： 16. 先化简，再求值：，其中x为的整数． 17. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 如图，在正方形网格中，已知网格的单位长度为，点，，均在格点上，要求回答下列问题： （1）画与关于轴的对称图形； （2）、、的坐标分别是______、______、______； （3）在轴上求作点，使的值最小，直接写出点的坐标______． 19. 综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】 （1）如图1是2026年1月的月历，小芝在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d．（1）用含a的代数式表示 ； ． 【拓展探究】 （2）探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． 【迁移运用】 （3）受月历中日期排列启发，小明研究形如的多项式，其中a，b是正整数且．若a，b可表示某月中两个日期的编号（1～31），请求出所有可能的m值． 20. 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件． （1）求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递数量； （2）为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量． 22. 【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则． 【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴______，______， ∴______． ∵， ∴． 【初步应用】 （1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度． （2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，已知，，，且已知． （1）请直接写出点A的坐标： ；点B的坐标： ；判定是 三角形； （2）如图①，过x轴上一点作于E，交y轴于点F． ①求证：； ②求F点的坐标； （3）将沿x轴向左平移，边与y轴交于一点P（P不同于A和C两点），过P作一直线与的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且，在平移过程中，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $