精品解析：湖北省襄阳市荆楚联盟2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年湖北省襄阳市荆楚联盟八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅图是由体育运动项目抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 三角形两条边长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（    ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是 ( ) A. x≠1 B. x＞1 C. x＜1 D. x≠ 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，， 平分 ，过 作， 交 于点 ，若点 在 上，且满足 ，则 的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线DE是ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC＝8cm，AB＝12cm，则BCD的周长为（ ） A. 16cm B. 18cm C. 20cm D. 22cm 9. 若a，b为实数，且，，则x，y的大小关系是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法：   其中一定正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____． 12. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 13. 如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架被设计成很多个三角形，这样做是利用了三角形的________性． 14. 如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点、、、、都在格点上，则与的数量关系为__________． 15. 如图，若为等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值是________ 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 先化简：，再从-1、0、1中选一个合适x的值代入求值． 四、解答题：本题共9小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图所示，的顶点坐标分别为 （1）作出关于轴对称的图形； （2）写出的坐标； （3）求的面积． 18. 如图，点D，E在的边上，，求证：． 19. 如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E． （1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数； （2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC． 20. 图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）观察图②，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式、、之间的等量关系是______________； （2）有许多等式可以用图形面积来表示．如图③，它表示了_________； （3）请你用图③提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：．要求：在图④的框中画出图形并在下方写出分解的因式． 21. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）证明：BCECAD； （2）若AD=25cm，BE=8cm，求DE的长． 22. 习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． （1）求原计划每天铺设路面多少米？ （2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 23. 如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ （1）尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞） （2）初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ． （3）解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系． 24. 已知：如图，与中，，，． （1）如图1，，相交于点M，连接． ①求证：； ②求的度数（用含n的式子表示）； （2）如图2，当时，分别取，的中点P，Q，连接，和，判断的形状，并加以证明． 25. 平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上一个动点． （1）求点A，B两点的坐标； （2）如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：； （3）如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向顺序排列），请直接写出点F的坐标______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省襄阳市荆楚联盟八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅图是由体育运动项目抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 三角形两条边长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（    ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 3. 要使分式有意义，则x的取值范围是 ( ) A. x≠1 B. x＞1 C. x＜1 D. x≠ 【答案】A 【解析】 分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可． 【详解】由题意得，x-1≠0， 解得x≠1． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件：分式有意义⇔分母不为零，比较简单. 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质对各选项逐一进行排除，即可得出答案. 【详解】A：分式的分子和分母同时乘以一个不为0的数时，分式的值不变，即，故选项A错误； B：不能再进行约分，即，故选项B错误； C：只有分式的分子和分母有相同的公因式才能约分，即，故选项C错误； D：，故选项D正确. 故答案选择D. 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以一个不为0的数或者式子时，分式的值不变. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方．分别利用同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误， 故选：C． 6. 如图，， 平分 ，过 作， 交 于点 ，若点 在 上，且满足 ，则 的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义求得，再求得，如图，分两种情况求解即可． 【详解】解：如图，， ∵， 平分 ， ∴， ∵， ∴, ∴， 根据角的对称性知， ∴； 当点位于点处时，∵， ∴， 综上， 的度数为或， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义和角的对称性质、平行线的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的对称性时解答的关键． 7. 下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式中代数式的特征是解题的关键． 平方差公式的形式为，即两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，检查各选项变形后是否符合此形式即可． 【详解】选项A：，符合形式，能运用平方差公式，符合题意要求； 选项B：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项C：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项D：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 故选A． 8. 如图，直线DE是ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC＝8cm，AB＝12cm，则BCD的周长为（ ） A. 16cm B. 18cm C. 20cm D. 22cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AB，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵直线DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵BC＝8cm，AB＝12cm， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD ＝BC+AD+BD ＝BC+AB ＝8+12 ＝20（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键． 9. 若a，b为实数，且，，则x，y的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，结合完全平方公式配方，利用平方的非负性判断差的符号即可． 【详解】解： ∵a，b为实数， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ． 10. 如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法：   其中一定正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，因为，所以，可判断①正确；由，推导出，可根据“”证明，得，则，可判断②正确；由于点，得，若成立，则，因为点为边上一个动点，所以不一定等于，可判断③错误；由，，求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，点在边上，点在边上， ，， ， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； 于点， ， 若成立，则， 点为边上一个动点， 不一定等于， 与不一定相等，故③错误； ，， ， ，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式后，再运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 清代袁枚一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架被设计成很多个三角形，这样做是利用了三角形的________性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的实际应用，理解三角形稳定性是解题的关键． 从安全角度和三角形的稳定性质进行分析即可解答． 【详解】解：从安全角度讲，塔吊机需要特别稳固，框架设计成很多个三角形是利用了三角形具有稳定性． 故答案为：稳定． 14. 如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点、、、、都在格点上，则与的数量关系为__________． 【答案】互补 【解析】 【分析】如图，由已知条件可知，，，,然后利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】如图 ∵，，, ∴， ∴， ∴， 故答案为：互补． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、补角的性质，解答本题的关键是根据已知条件证明三角形全等． 15. 如图，若为等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值是________ 【答案】 【解析】 【分析】作关于的对称点，连接交于，则点就是使的值最大的点，，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据角的和差关系得到，根据轴对称的性质得到，，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，则点就是使的值最大的点，， 连接， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 先化简：，再从-1、0、1中选一个合适的x的值代入求值． 【答案】；取x=0，原式=1． 【解析】 【分析】先计算括号内分式的加法，再把除法化为乘法，约分后即可化简题目中的式子；再从-1，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【详解】解：原式= = •（x+1）（x-1） = x2+1， ∵x≠±1， ∴取x=0， 当x=0时，原式=1． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是根据分式的四则运算法则及运算顺序进行计算，易错点是没有考虑选取的x值应满足原分式有意义的条件． 四、解答题：本题共9小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图所示，的顶点坐标分别为 （1）作出关于轴对称的图形； （2）写出的坐标； （3）求的面积． 【答案】(1)见解析;(2) A1的坐标为B1的坐标为（﹣6，﹣1）C1的坐标为（﹣1，﹣3）;(3)7 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的定义作出三顶点关于x轴的对称点，顺次连接可得； （2）根据所作图形可得； （3）利用割补法求解可得． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）由图象知A1的坐标为B1的坐标为（﹣6，﹣1）C1的坐标为（﹣1，﹣3）； （3）△ABC的面积4×5﹣×3×4﹣×2×2﹣×2×5=7． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题的关键． 18. 如图，点D，E在的边上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握证明两个三角形全等的方法是解决本题的关键． 根据和可得和，则可证明，进而即可得证． 【详解】证明：∵点D，E在上，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E． （1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数； （2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC． 【答案】（1）∠DAE＝20°；（2）见解析 【解析】 【分析】(1)首先计算出∠B，∠BAC的度数，根据AE是∠BAC的角平分线可得∠EAC=30°，再根据Rt△ADC中直角三角形两锐角互余可得∠DAC的度数，进而可得答案； (2)过A作AD⊥BC于D，证明∠DAE=∠FEC，由三角形内角和定理得到∠EAC=90°-∠C，进而可得∠DAE=∠DAC-∠EAC，利用等量代换可得∠DAE=∠C即可求解． 【详解】（1）证明：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C， ∴∠B＝80°， ∴∠BAC＝60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝30°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝50°， ∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°； （2）证明：∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AED+∠FEC＝90°， ∵∠DAE+∠AED＝90°， ∴∠DAE＝∠FEC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣3∠C）＝90°﹣∠C， ∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC， ∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+∠C＝∠C， ∴∠FEC＝∠C， ∴∠C＝2∠FEC． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形中两锐角互余等知识点，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键． 20. 图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）观察图②，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式、、之间的等量关系是______________； （2）有许多等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了_________； （3）请你用图③提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：．要求：在图④的框中画出图形并在下方写出分解的因式． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析； 【解析】 【分析】（1）在图2中，大正方形由小正方形和4个矩形组成，则； （2）大长方形的面积=两个边长为m的正方形的面积+边长为n的正方形的面积+3个边长为m、n的长方形的面积，列式即可； （3）由已知的等式，画出相应的图形即可分解因式． 【详解】解：（1）大正方形由小正方形和4个长方形组成，大正方形的面积为（m+n）2，小正方形的面积为（m-n）2，长方形的面积为mn ∴． （2）大长方形的面积=两个边长为m的正方形的面积+边长为n的正方形的面积+3个边长为m、n的长方形的面积， ∴． （3）先拼接长方形，然后利用面积之间的关系得到． ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式的几何背景，利用面积法证明完全平方公式，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． 21. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）证明：BCECAD； （2）若AD=25cm，BE=8cm，求DE的长． 【答案】（1）见解析 （2）DE=17cm． 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证明BCECAD； （2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BE=CD，利用DE=CE-CD，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°， ∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE， 在BCE和CAD中， ， ∴BCECAD； 【小问2详解】 解：∵BCECAD， ∴AD=CE，BE=CD， ∴DE=CE-CD=AD-BE=25-8=17（cm）． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ADC和CEB全等的三个条件． 22. 习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极响应对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． （1）求原计划每天铺设路面多少米？ （2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【答案】（1）原计划每天铺设路面80米 （2）完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设原计划每天铺设路面x米，根据共用13天完成道路改造任务列方程并解方程即可； （2）分别计算出提高工作效率前和提高工作效率后的天数，根据每天支付给工人的工资计算即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设路面x米， 由题意可得，， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：原计划每天铺设路面80米； 【小问2详解】 由（1）得， （天），（天）， ∴总费用为：， 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元． 23. 如图1，已知∠ACD是ABC一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ （1）尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞） （2）初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ． （3）解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系． 【答案】（1）＝ （2）∠P＝90°－∠A （3）∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论； （2）根据角平分线的定义得：∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−∠A； （3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=∠EBC=90°−∠1，∠4=∠FCB=90°−∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论． 【小问1详解】 ∠DBC+∠ECB-∠A=180°， 理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A， ∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°， 故答案为：=； 【小问2详解】 ∠P=90°-∠A， 理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB， ∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB， ∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-（∠DBC+∠ECB）， ∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A， ∴∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A． 故答案为：∠P=90°-∠A， 【小问3详解】 ∠P=180°-∠BAD-∠CDA， 理由是：如图， ∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2， ∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB， ∴∠3=∠EBC=90°-∠1，∠4=∠FCB=90°-∠2， ∴∠3+∠4=180°-（∠1+∠2）， ∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA）， 又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=（∠1+∠2）， ∴∠P=×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°-（∠BAD+∠CDA）=180°-∠BAD-∠CDA． 【点睛】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键． 24. 已知：如图，与中，，，． （1）如图1，，相交于点M，连接． ①求证：； ②求的度数（用含n的式子表示）； （2）如图2，当时，分别取，的中点P，Q，连接，和，判断的形状，并加以证明． 【答案】（1）①见解析；② （2）为等腰直角三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理； （1）①由，可得，进而可证明，结论即可得证； ②由可得，再由三角形内角和定理可得，即可求解； （2）由（1）可得，，又因为P，Q分别为，的中点，可得，进而可证明，可得，，由，可得，即可得出的形状. 【小问1详解】 ①证明：∵ ∴ ∴ 与中 ∴ ∴ ②解：如图所示： 由①得， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴. 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，证明如下： 由（1）得， ∴，， ∵P，Q分别为，的中点， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形. 25. 平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． （1）求点A，B两点的坐标； （2）如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：； （3）如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标______． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）由，可得，再由非负数的性质列出方程求出a、b的值即可； （2）作，交x轴于点N，先证明，再证明，即可证明； （3）过点D作轴于点L，先证明为等腰直角三角形，再证明，则，，再按点F与点C重合、且、且三种情况，分别求出相应的m的值，然后确定点F的坐标即可． 【小问1详解】 解：由，可得， ，， ，， 解得，， ，； 【小问2详解】 证明：如图3，作，交x轴于点N，则， ，， ， 点A、C关于y轴对称， 点，y轴是线段的垂直平分线， ， ， ， ； ，，且， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图4， ， ， ， 为等腰直角三角形， 当点F与点C重合、点G与点B重合时，则为等腰直角三角形， ， 过点D作轴于点L，则， ，， ， ，， ， ，， 如图5，若，， 过点G作轴交y轴于点K，作于点R，于点Q， 则， ， ， ∵， ， ， 由可得，， 解得，， ，， ， ， ； 如图6，若，，作轴，作轴于点P，交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点F的坐标为或或． 第1页/共1页 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