精品解析：2026年江苏省南通市海门区东洲中学模拟预测数学试题

江苏省南通市海门区东洲中学2026年中考模拟试卷（一）数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1． 本试卷共 5 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2． 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3． 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸」上答题一律无效．作弊者，本试卷按 0 分处理． 5． 在本试卷答题者，不计入成绩． 6． 请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按 0 分处理． 一．选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”如: 粮库把运进10吨粮食记为“”, 则“”表示（ ） A. 运出15 吨粮食 B. 亏损15 吨粮食 C. 卖掉15吨粮食 D. 消耗15吨粮食 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，正数与负数表示具有相反意义的两种量，已知运进记为正，那么与运进相反的量就记为负，据此可判断答案． 【详解】解：粮库把运进10吨粮食记为“”, 则“”表示运出15 吨粮食 故选：A． 2. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. （笛卡尔爱心曲线） B. （蝴蝶曲线） C. （费马螺线曲线） D. （科赫曲线） 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，深刻理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键． 3. 观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ） A. 48、58、68 B. 58、78、98 C. 76、156、316 D. 78、158、318 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 4. 计算 的结果是（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】将异分母分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加减法则计算 本题考查了分式的运算法则，能熟记分式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵ ∴原式 = = 故选：A． 5. 阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；根据题意画出树状图，可得共有9种等可能的结果，其中阿嘉比小杨大的情况有6种，然后利用概率公式得出答案． 【详解】解：由题意知：阿嘉盖住的牌中的数字为2，4，5， 小杨盖住的牌中的数字为1，3，4， 画树状图如图： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中阿嘉比小杨大的情况有6种， 所以阿嘉比小杨大的机率为， 故选：B． 6. 如图，在菱形中，，．若M、N分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为E、F，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于点O，过点M作交于点G，则可得四边形是矩形，以及，从而得，，即，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点M作交于点G， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质，解题的关键是根据相等线段构造全等三角形将问题线段和转换为单一线段． 7. 若x，y为有理数，且，则的值为 （ ） A. 0 B. C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 8. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 9. 如图，已知的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积的计算和菱形的性质，连接，交点，根据菱形及直角三角形的性质求出和的值，然后根据阴影部分的面积等于 解题即可. 【详解】如图，连接，交点， ∵圆的半径为， ， 又四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， 在 中，利用勾股定理可知， ， ， 则图中阴影部分面积为 ， 故选C. 10. 如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键． 应根据和两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解． 【详解】解：作于点E， 当时， ， ， ； 当时，作于N，作于M， ， ， ， ； 只有选项D的图形符合． 故选：D． 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的减法计算，掌握运算法则是解题的关键． 先处理分母的符号，将其化为同分母的分式减法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解； 先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种， ∴天平恢复平衡的概率为． 故答案为：． 15. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，得再化简计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确计算是解题关键． 16. 如图，在正方形中，点E是的中点；于点F，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，先求出，，，过点D作于点G，证明，则，，得到，即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是的中点； ∴， ∵于点F， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点G， ∵四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为： 17. 如图，，在的平分线上依次取点，，，过点作，分别交，于点，，以为对角线作菱形．已知，，设，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由的平分线上依次取点，，，过点作，可得与是等腰直角三角形，即可得垂直平分，求得，再由，可求得与，的长，继而求得的面积，再由菱形中，，得到是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案． 【详解】解：是的平分线， ， ， ∴， ， ∴与都是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ∵， ， ， 是等边三角形， ∴， 连接，交于点K，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ， ． 18. 如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 【答案】和 【解析】 【分析】分类讨论当和，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①由题可知，当， , , , ②由题可知，当， , , , 故答案为：和． 三．解答题（共8小题，共96分） 19. 计算： （1）解方程： （2） （3）先化简,再求值： ，其中． 【答案】（1） （2）3 （3），54 【解析】 【分析】（1）运用公式法解答； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法； （3）先运用完全平方公式、平方差公式化简，再把的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 将代入， 原式 ． 【点睛】本题考查了有理数混合计算，整式的化简求值，解一元二次方程．熟练掌握有理数混合运算的顺序和法则，完全平方公式、平方差公式，公式法解一元二次方程，是解本题的关键． 20. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（），，； （）补全频数分布直方图如下： （）人； （） 【解析】 【分析】（）由组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； （）根据（）所得组学生人数补全频数分布直方图即可； （）用乘以成绩不低于分的人数占比即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴本次共抽取了名学生的模具设计成绩， ∴组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第和第个数据的平均数， ∴中位数分， 组对应圆心角的度数为， 故答案为：，，； （）略 （）， 答：估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数为人； （）画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 21. 如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ，， 在和中： ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过证明三角形全等． （2）先利用等腰三角形性质求出的度数，再结合弧的关系求出的度数，最后根据圆周角定理求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 22. 【阅读材料】说明代数式 的几何意义，并求它的最小值． 解：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： 【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和；（填写点B的坐标） 【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________； 【拓展升华】(3)如图，在等腰直角中，，点M，N分别为，上的动点，且，．当的值最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）10；（3） 【解析】 【分析】（1）先把原式化为 的形式，再根据材料结论即可得出结果； （2）先把原式化为的形式，再根据材料结论即可得出结果； （3）先过点A作于点H ，设，在和中，根据勾股定理表示出，，再根据材料结论即可得出结果． 【详解】解：（1）原式化为 ， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 故答案为： （2）式化为 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 点A关于x轴的对称点为， 根据材料结论，最小值为的长度，， 故答案为：10． （3） 如图，过点A作于点H ，设， 在等腰直角中，，， ∴，， 在和中，根据勾股定理得： ， ， ∴， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 点A关于x轴的对称点为， 根据材料结论，为线段的长度， 直线的函数解析式为：， 时，，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给的材料画出图形，再利用数形结合求解． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； 【小问3详解】 ∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） （1）求圆心角的度数； （2）求的弧长（结果精确到米）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解； （2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线与所在相切于点， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的弧长为：， 答：的弧长为． 25. 在菱形中，． （1）如图1，求的值． （2）如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②根据题意得出点P一定在线段的延长线上，由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②∵菱形， ∴点A与点C关于对称， 当点E与点D重合时，此时点F与点C、P重合， ∵E是延长线上的一点， ∴点P一定在线段的延长线上， 在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 26. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；； （2）； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 （4）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）直接由待定系数法即可求解； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； 【小问3详解】 解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区东洲中学2026年中考模拟试卷（一）数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1． 本试卷共 5 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2． 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3． 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸」上答题一律无效．作弊者，本试卷按 0 分处理． 5． 在本试卷答题者，不计入成绩． 6． 请考生如实填写自己的信息，不填、错填、漏填为无效试卷，按 0 分处理． 一．选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”如: 粮库把运进10吨粮食记为“”, 则“”表示（ ） A. 运出15 吨粮食 B. 亏损15 吨粮食 C. 卖掉15吨粮食 D. 消耗15吨粮食 2. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. （笛卡尔爱心曲线） B. （蝴蝶曲线） C. （费马螺线曲线） D. （科赫曲线） 3. 观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ） A. 48、58、68 B. 58、78、98 C. 76、156、316 D. 78、158、318 4. 计算 的结果是（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 5. 阿嘉和小杨都有5张分别标示数字1、2、3、4、5的纸牌，如图表示两人的牌中皆有三张牌被自己盖住的情形．今两人打算从自己盖住的纸牌中翻开一张牌，若阿嘉盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，小杨盖住的牌中每张牌被翻开的机会相等，则比较两人翻开的那张牌上的数字，阿嘉比小杨大的机率为何？（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，．若M、N分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为E、F，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 7. 若x，y为有理数，且，则的值为 （ ） A. 0 B. C. 2 D. 不能确定 8. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 9. 如图，已知的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 化简：_______． 12. 已知实数a，b满足，则______． 13. 因式分解：________． 14. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 15. 已知，则的值为______． 16. 如图，在正方形中，点E是的中点；于点F，连接，若，则的长为______． 17. 如图，，在的平分线上依次取点，，，过点作，分别交，于点，，以为对角线作菱形．已知，，设，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是__________． 18. 如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 三．解答题（共8小题，共96分） 19. 计算： （1）解方程： （2） （3）先化简,再求值： ，其中． 20. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 21. 如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 【阅读材料】说明代数式 的几何意义，并求它的最小值． 解：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则，因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： 【基础训练】(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点B __________的距离之和；（填写点B的坐标） 【能力提升】(2)求代数式的最小值为__________； 【拓展升华】(3)如图，在等腰直角中，，点M，N分别为，上的动点，且，．当的值最小时，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 24. 如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） （1）求圆心角的度数； （2）求的弧长（结果精确到米）． 25. 在菱形中，． （1）如图1，求的值． （2）如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 26. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $