2026届江苏省南京市鼓楼区名校联盟高三一模数学试题

高三摸底测试（一模） 命题人：王浩然 审题人：李子轩 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知集合，则（        ） A． B． C． D． 2．已知z为复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知满足，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 4．如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（    ） A． B． C． D． 5．设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（    ） A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为 C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计总体中成绩落在内的学生人数105 D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 10．设函数，其中.则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 11．类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，且为中点，则 C．不存在与，使得 D．当时，则最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 . 13．若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数 . 14．如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是 . 四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分) 15．已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，若. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 16．冬季是流感高发季，某卫生部门为宣传如何预防流感病毒制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该部门在人群中随机对60人进行了宣传，其中30人采用宣传方法一，30人采用宣传方法二，宣传后的人群对预防流感病毒的方法的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有24人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有12人是“比较了解”. (1)以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传如何预防流感病毒，记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望； (2)若按照宣传方法进行分层抽样，从这60人中随机抽取10人，再从这10人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“比较了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为“比较了解”的人的概率. 17．如图所示，在四棱锥中，，是正三角形. (1)设为与的交点，为棱上一点，且平面，求的值； (2)设是棱的中点，求证：平面； (3)设是棱上一个动点，若直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长度. 18．已知为正实数，曲线与直线交于不同的两点 (1)若，求的取值范围； (2)求证：； (3)若点恰在椭圆上，求证：． 19．已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 高三摸底测试（一模） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B B D B C AB BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据题意，解得，再求交集即可 【详解】， 解得， ． 故选：C． 2．C 【分析】根据复数的几何意义可知复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，进而利用点与点之间的距离来求解. 【详解】法一：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，所以的最小值是，最大值是，故的取值范围是.故选:C. 法二：因为复数z满足，不妨设，,则.因为，所以，所以的取值范围是. 故选:C. 3．A 【分析】由已知等式可得，根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应的向量在的平分线上，进而有的平分线与边AC垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】因为，所以， 利用向量加法的几何意义知，对应的向量在的平分线上， 所以的平分线与边AC垂直， 所以的形状一定是等腰三角形． 故选：A． 4．B 【分析】先找出符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线，即可求得点M的轨迹 【详解】解：根据题意，可知，则点符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 设的中点为， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 根据题目条件可得，所以和全等， 所以，点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”， 故动点的轨迹肯定过点和点， 而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面， 线段的垂直平分面与平面的交线是一直线， 所以的轨迹为线段， 故选：B 5．B 【分析】先利用是定义在上的偶函数，且满足得到函数的周期，再利用周期性求解即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为，所以，即， 因此，函数的周期为，又当时，， 所以， 因为， 所以. 故选：B. 6．D 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 故选：D 7．B 【分析】将条件转化为恒成立，结合渐近线的斜率即可求解. 【详解】因为是双曲线右支上的两点，且， 所以，即， 由双曲线性质可知，，所以， 又恒成立，所以，所以，所以. 故选：B 8．C 【分析】根据题意，由与相外切，得到，化简得到，求得，结合等差数列的定义，即可求解. 【详解】因为与相外切，所以， 即， 所以， 因为每个点均在函数的图像上，可得， 所以，即，所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 所以，则， 此时数列不是等比数列. 故选：C. 9．AB 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数；对D ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再用插值法计算. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，C错误； 对于D：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，D错误； 故选：AB. 10．BCD 【分析】对于A根据判断；对于B求导判断函数的单调性即可；对于C由的正负性和单调性可得；对于D根据韦达定理以及计算. 【详解】对于A，若为奇函数，则，则，或， 均与矛盾，故不可能为奇函数，故A错误； 对于B， 因为 ， 所以存在两个不等实根，不妨设， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故在处取极大值，在处取极小值，故B正确； 对于C，由以及的单调性可知， 当或时；当或时； 因为，且恒成立，所以，即，故C正确； 对于D，因为是方程的两个不同实根， 所以， 令，则， 令，得， 则关于点对称，即关于点对称， 由以及在区间上单调递减、 可得，又，， 可得， 所以，故D正确. 故选：BCD 11．ABD 【分析】A：运用已知公式直接判断即可； B：根据面面垂直的性质定理，结合勾股定理和逆定理进行运算判断即可. C：运用假设法，结合余弦函数的最值性质进行判断即可； D：根据锐角三角函数定义，结合余弦定理、基本不等式进行求解判断即可. 【详解】A：当时，由已知公式，得 ， 所以，所以本选项说法正确； B：当为中点，取的中点，连接， 因为在矩形中，， 所以， 由勾股定理可得，且 ，而， 所以， 所以，于是， 因为，所以平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面，平面， 所以，于是有， 因为， 所以，所以本选项说法正确； C：假设存在与，使得， 因为在矩形中，， 所以， 由已知公式 ， 显然，所以假设成立，因此本选项说法不正确； D：在矩形中，设， 所以， 于是有， 因为， 所以由 ， 由余弦定理可得： ， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号， 所以由 ，所以本选项说法正确. 故选：ABD 12．6 【分析】利用二项式系数的性质求解. 【详解】由题得，所以， 故答案为：. 13． 【分析】求导得，由题意可得，结合点在圆上可求解. 【详解】对于，，故切线斜率存在，于是，又， 解得或（舍去），于是，所以，所以. 故答案为：. 14． 【分析】求得小鼠逃生路线有六种情况：利用独立事件的概率公式求得每种情况的概率，再利用互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】小鼠逃生路线有以下六种情况： ； . 概率分别为 所以小老鼠逃生概率为 故答案为：. 15．(1)， (2) 【分析】(1)通过等差数列的通项与前项和公式求出，再结合等比数列的项的关系求出. (2)将的前项拆分为奇数项等差数列和偶数项等比数列，分别求和后再合并. 【详解】（1）设数列的公差为的公比为， 由题意得，解得，所以， 又，解得，所以. （2）由条件得， 所以的前项和 . 16．(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意可得采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，进而得到，再根据二项分布的概率公式及期望公式求解即可； （2）先确定抽取的10人中采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”和采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人数，进而结合条件概率公式求解即可. 【详解】（1）采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为， 则， 所以的分布列为 0 1 2 故. （2）抽取的10人中，了解程度为“比较了解”的有人，且采用方法一宣传的有人，采用方法二宣传的有人. 宣传方法 了解程度 合计 比较了解 有点了解 方法一 4 1 5 方法二 2 3 5 合计 6 4 10 记事件表示“第一次抽到比较了解的人”， 事件表示“第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为比较了解的人”， 则， 所以. 17．(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）通过线面平行得出线线平行，结合比例关系可得答案； （2）先证明，再证明平面，从而得证结论； （3）建立坐标系，求解平面法向量，结合线面角的向量公式求出长度. 【详解】（1）平面平面，平面平面, , , . （2）取的中点，连接， 且，即四边形为平行四边形， ， 在等边中，为中点，， 平面， 而， 又平面， 平面. （3）取的中点的中点，连接，则，， 由（2）知平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以 所以两两垂直， 所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以，设平面的一条法向量为. 由，得，取，即. 设， 则， 设直线与平面的所成角为， 则 化简得，解得或（舍去）， 所以. 故线段的长度为. 18．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意可得有两个不同的解，设，再求导分析单调性，根据单调性确定参数范围即可； （2）根据题意，不等式转化为证，令，利用导数证明不等式即可； （3）设交点，由（2）可得，根据和相加、相减得、，最后根据得求解即可． 【详解】（1）当时，直线方程为， 曲线与直线交于不同的两点， 即方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解， 设，对其求导得， 令，即，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，， 当时，，当时，， 要使有两个不同的解，则， 因此，的取值范围为； （2）已知在曲线上，则， 要证，即证， 不妨设，只需证明，又， 故只需证明， 只需证明，即需证明 只需证明， 令，, 则， 设为的导函数，则， 所以函数在上为减函数， 所以当时，， 所以函数在上为减函数， 故当时，，又， 所以，即， 所以， （3）设，其中， 由（2）知， ， ①， 当时，不等式显然成立， 当时，将和相减， 得， ②， 再将和相加，得③， 注意到：时，由知， 结合①、②、③，知 ， ， 即，结合可得， 所以． 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）由椭圆离心率和得出椭圆方程； （2）（i）先设直线的方程，并与椭圆方程联立得到关于的不等式，再由韦达定理得出结论；（ii）先由直线与的斜率关系得到的面积等于2倍的的面积，故问题转化为求面积的最大值；因为，由三角形面积公式，只需求出点到直线的距离的最大值即可；当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，由与椭圆相切求出直线的方程，再由两平行线间距离公式得出的最大值，最后得出结论. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 所以，即； 因为， 又， 解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）（i）设直线的方程为，其中，且， 联立方程组， 整理得， 所以. 所以 故为定值. （ii）直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点，直线的方程为， 令，得，故； 由（i）可知，故，所以点是线段的中点， 故的面积，其中为点到直线的距离. 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值. 设直线的方程为，即， 联立 整理得，由，解得. 所以平行直线与之间的距离为， 即的最大值为， 此时的面积为， 所以的面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $