精品解析：辽宁沈阳市第四十三中学2025-2026学年上学期九年级数学寒假作业

九年级寒假作业一数学学科 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的正弦值，勾股定理．在中，，为斜边，求需先利用勾股定理求，再根据正弦定义计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 2. 一元二次方程的根的情况为（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 两个相等的实数根 D. 两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵△＝b2-4ac＝16−12＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 3. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法与树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出相应的树状图，即可确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率是． 故选A． 5. 如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 6. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 7. 如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据篱笆的总长及的长，可得出的长，再利用长方形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：篱笆的总长为18米，的长为米， 的长为米． 根据题意得：． 故选：D． 8. 如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义．利用平行四边形的性质得出，，进而得出，，再利用角平分线的性质得出，进而得出，即可得出的长，再利用平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ，， 的角平分线交于点，， ， ∴， ， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，是的直径，点是上一点，过点的切线交的延长线于点，连接．若的半径为6，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，由等边对等角，根据圆周角定理可得，即，易证是等边三角形，则；如图：过点C作于E，，根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过点C作于E，则， ∴， ∴， 故选D． 10. 抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④当时，y随x的增大而增大；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴位置，可得，，可判断①②；根据图象及对称轴位置可直接判断④；根据开口方向，可得点离对称轴越近函数值越大，可判断③；根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，推出，进而得出，再将化为顶点式，可判断⑤． 【详解】解：由图可得，抛物线开口向下，对称轴为直线， ，， ， ，， ①错误；②正确； 由图可得，当时，y随x的增大而增大， ④“当时，y随x的增大而增大”正确； ∵抛物线开口向下， ∴点离对称轴越近函数值越大， ， ， ③正确； 对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线与x轴的另一个交点为， ， ， ， ， 直线经过点， ， ， ， ， ， 当时，函数有最大值， ⑤正确； 综上可知，正确的有②③④⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，观察多项式的结构特征，判断其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，A，B是反比例函数图象上的两点，连接，．过点A作轴于点C，交于点D．若，的面积为3，点B的坐标为，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据求得的面积，再根据反比例函数中系数k的几何意义求出k值，进而得出反比例函数解析式，将点B坐标代入解析式即可求解m值． 【详解】解：∵，的面积为3， ∴的面积为，的面积为， ∵A，B是双曲线y上的两点，轴于点C， ∴，则， ∴， 将点代入中，得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数中k的几何意义以及反比例函数图象上点的特征，解答关键是利用得出的面积． 13. 甲乙两人约好一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线的长为，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是_____________．（精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形——特殊角的三角函数的应用，解题关键是能利用三角函数值求出角，以及利用特殊角的三角函数值求出线段的长． 先求出，在求出，最后利用特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形，边长为， ∴，， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点E，F，M分别在边上，且，，分别交对角线、线段于点G，H，且H是的中点，则______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.连接，交于，连接，结合四边形是矩形，证明是的中位线，可得，，再证明，故，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：如图，连接，交于，连接 ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点，N是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， 则 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）4（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先通分括号内，再把除法化为乘法，最后化简，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2） ． 17. 希望文具店购进A品牌的文具盒20个，B品牌的文具盒30个，进货款共为810元，其中B品牌文具盒的进货单价比A品牌文具盒的进货单价少3元． （1）求A，B两种文具盒的进货单价； （2）已知A品牌文具盒的售价为23元/个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于280元，则每个B品牌文具盒的售价最少为多少元？ 【答案】（1）A品牌文具盒进货单价为18元，B品牌文具盒的进货单价为15元 （2）21元 【解析】 【分析】（1）设A品牌文具盒进货单价为元，则品牌文具盒进货单价为 元．根据“购进A品牌的文具盒20个，B品牌的文具盒30个，进货款共为810元”列方程求解即可； （2）设品牌文具盒销售单价为元，根据“这批文具盒全部售完后利润不低于280元”列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A品牌文具盒的进货单价为x元，则B品牌文具盒的进货单价为元． 根据题意，得． 解得． ∴． 答：A品牌文具盒的进货单价为18元，B品牌文具盒的进货单价为15元． 【小问2详解】 设每个B品牌文具盒的售价为y元． 根据题意，得． 解得． 答：每个B品牌文具盒的售价最少为21元． 【点睛】此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 18. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从九年级随机抽取部分学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常； B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的九年级学生的视力在C组的数据如下表： C组视力 4.6 4.7 4.8 人数 5 16 3 （1）被抽取的学生共有 人，并把条形统计图补充完整； （2）被抽取的学生视力的中位数为 ，众数为 ；扇形统计图中，C组对应的圆心角为 度； （3）该校九年级共有学生540人，请估计九年级学生视力正常的人数； 【答案】（1）60，补全图形见解析 （2），，144 （3）估计九年级学生视力正常的人数为135人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数的意义以及统计图，样本估计总体： （1）根据表格条形统计图可得B组人数，再根据扇形统计图可得B组占比，再根据D组占比得出D组人数，补全条形统计图即可； （2）从条形统计图可得中位数和众数，先求出C组占比，再求出C组对应的圆心角即可； （3）用样本估计即可； 【小问1详解】 解：根据表格条形统计图可得B组人数为12人，再根据扇形统计图可得B组占比为， 被抽取的学生共有（人）， D组人数为（人）， 补全条形统计图如图： 【小问2详解】 解：由条形统计图可得A组、B组、D组的人数是15、12，9， 被抽取的学生视力为的人数，最多有16人；众数为； 被抽取的学生视力由大到小排列，第30和31个数据都是4.8和4.7，故中位数为； C组占比为， C组对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：该校九年级540名学生中视力正常的大约有135人． 19. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，． （1）设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式； （2）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】（1）当时，；当时， （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质． （1）用分别表示出、的坐标，则可表示出与之间的关系式； （2）由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由（）的关系式可得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 解：点的横坐标为，过作轴的垂线，分别与直线，交于，， 把代入中可得，即，， 把代入中可得，即 ，， 当时，； 当时，． 【小问2详解】 解：由题意可知， 若以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 则， ，解得或， 即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 20. 某城市建设调研小组发现，部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求：公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内．垂直安全间隙要求：车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点B到地面距离为4米，棚顶与立柱交点A到地面距离为2米，A、B两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： （1）如图2，以地面为x轴，过点A的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； （3）如图4，为了让遮阳棚更加稳固，计划在遮阳棚内侧安装两段钢架．其中一段为，然后在棚顶某处取点C，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．直接写出第二段钢架长度的最大值． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方，计算见解析； （3）的最大值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式等知识点，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （）由题意得，，设抛物线解析式为，然后求出的值即可； （）令，则，解得或（舍去），因为，所以钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方； （）先求出解析式为，设，则，则，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ，解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或（舍去）， ， 钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方； 【小问3详解】 解：设解析式为， ，解得， 解析式为， 设，则， ， ， 当时，的最大值为． 21. 已知四边形内接于，为的直径，E是延长线上一点，连接，． （1）如图①，若交于点F，，，，求度数； （2）如图②，若与相切于点C，延长交于点P，，，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆的性质以及矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据四边形是的内接四边形，求得，再根据，求得，最后由求出的度数； （2）连接，，，设与交于点H，先证四边形是矩形，再运用勾股定理求得，最后证明，运用相似三角形的性质求出的长度． 小问1详解】 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，，，设与交于点H， ∵， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接、． （1）如图1，与的位置关系是 ；与位置关系是______； （2）已知，， ①如图2，当点E运动到中点时，求的长度；（提示：（1）中结论可直接利用） ②若，求的长度． 【答案】（1）； （2）①；②的长为或 【解析】 【分析】（1）延长交于，利用翻折的性质可得是的中位线，利用三角形中位线的性质即可得出结论； （2）①延长交于，连接，证明为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，求出， 得出， 设，， 根据勾股定理得出， 求出， 得出，最后根据中位线的性质得出答案即可； ②分两种情况进行讨论，即当点在上时和当点在延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理及相似三角形的判定和性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交于， 由折叠的性质可知垂直平分， 是中点， 是中点， 是的中位线， ，即， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①如图，延长交于，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点为中点， ，， 由勾股定理得：， 是中点， ∴， 由（1）可知，，， ， 又， ， ， ， 设，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：， ∴， 由题意可得，为的中位线， ∴； ②如图，当点在上时，延长交于， ，， ， 在中，设，则， ，，， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ，即， ，， 在中，， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ； ②如图，当点在延长线上时， 同理可得， 设，则， ， ，即， 解得：， ； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形与翻折的结合，三角形中位线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并作出辅助线． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴正半轴、y轴分别交于B、C两点，顶点为D． （1）求点B和点D的坐标； （2）如图，T为y轴正半轴上一点，将抛物线绕点T旋转，得到新的抛物线，其中B、D旋转后的对应点分别记为、，当四边形的面积为28时，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①直接写出的最大值和的最小值； ②在的图象上有、两点，当，时，总有，直接写出m的取值范围； ③较大函数与组成新的图形W，直线与图形W只有三个交点时，交点从左向右依次为E、F、G，当F为线段的三等分点时，直接写出t的值． 【答案】（1）； （2） （3）的最大值为5，的最小值为；；或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的性质与图象，二次函数与方程、不等式的关系掌握这些关系是解答关键． （1）把化为顶点式即可求得点D的坐标，令即可求得点B的坐标； （2）设，由题意可得，，根据平行四边形的面积为28利用割补法可求得，即可求得抛物线的表达式； （3）根据图象即可求得和的函数解析式，利用图象即可得的最大值和的最小值； 由图象可得时，的最小值为5，根据的函数解析式可得与轴的交点的坐标为，则轴，连接并延长交于点，可求得，由总有，则，据此即可得结论； 设，则，可得或，结合点在抛物线的图象上，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点D的坐标为， 令，则， 解得，， ∵点B在x轴正半轴， ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 解：设，如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， 由题意得，，，四边形为平行四边形， ∴ ， ∴， 解得， ∴，， 设， 把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式． 【小问3详解】 解：如图，设两条抛物线相交于点，， 由，解得或， 则点，， ∵， ， ∴，， 则函数图象如下图， 则函数图象如下图， ∴的最大值为5，的最小值为． 如图，设抛物线交轴于点， ∵抛物线交轴于点， ∴， ∵， ∴轴， 连接并延长交于点，则点的纵坐标为5， 当时，， 解得，， ∴， ∴由题意得，， ∴． 由题意可得新的图形W如图， 设，则， ∵F为线段的三等分点， ∴或， ∴或 ∵点在抛物线图象上， ∴，或， 解得，（舍去），或，（舍去）， 当时，， 当时，， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级寒假作业一数学学科 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 两个相等的实数根 D. 两个不相等的实数根 3. 如图所示网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A. B. C. D. 5. 如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 6. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分线交边于点，交的延长线于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点是上一点，过点的切线交的延长线于点，连接．若的半径为6，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④当时，y随x的增大而增大；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，A，B是反比例函数图象上的两点，连接，．过点A作轴于点C，交于点D．若，的面积为3，点B的坐标为，则m的值为_____． 13. 甲乙两人约好一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线的长为，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是_____________．（精确到，参考数据：） 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 15. 如图，在矩形中，点E，F，M分别在边上，且，，分别交对角线、线段于点G，H，且H是的中点，则______； 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 希望文具店购进A品牌的文具盒20个，B品牌的文具盒30个，进货款共为810元，其中B品牌文具盒的进货单价比A品牌文具盒的进货单价少3元． （1）求A，B两种文具盒的进货单价； （2）已知A品牌文具盒的售价为23元/个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于280元，则每个B品牌文具盒的售价最少为多少元？ 18. 大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达．为了了解学生的视力健康情况，某校从九年级随机抽取部分学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力，视力正常； B．视力，轻度视力不良；C．视力，中度视力不良；D．视力，重度视力不良．下面给出了部分信息： 抽取的九年级学生的视力在C组的数据如下表： C组视力 4.6 4.7 4.8 人数 5 16 3 （1）被抽取的学生共有 人，并把条形统计图补充完整； （2）被抽取的学生视力的中位数为 ，众数为 ；扇形统计图中，C组对应的圆心角为 度； （3）该校九年级共有学生540人，请估计九年级学生视力正常的人数； 19. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，． （1）设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式； （2）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 20. 某城市建设调研小组发现，部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求：公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内．垂直安全间隙要求：车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点B到地面距离为4米，棚顶与立柱交点A到地面距离为2米，A、B两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： （1）如图2，以地面为x轴，过点A的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； （3）如图4，为了让遮阳棚更加稳固，计划在遮阳棚内侧安装两段钢架．其中一段为，然后在棚顶某处取点C，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．直接写出第二段钢架长度的最大值． 21. 已知四边形内接于，为的直径，E是延长线上一点，连接，． （1）如图①，若交于点F，，，，求度数； （2）如图②，若与相切于点C，延长交于点P，，，，求的长度． 22. 在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接、． （1）如图1，与位置关系是 ；与位置关系是______； （2）已知，， ①如图2，当点E运动到中点时，求的长度；（提示：（1）中结论可直接利用） ②若，求的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴正半轴、y轴分别交于B、C两点，顶点为D． （1）求点B和点D的坐标； （2）如图，T为y轴正半轴上一点，将抛物线绕点T旋转，得到新的抛物线，其中B、D旋转后的对应点分别记为、，当四边形的面积为28时，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①直接写出的最大值和的最小值； ②在的图象上有、两点，当，时，总有，直接写出m的取值范围； ③较大函数与组成新的图形W，直线与图形W只有三个交点时，交点从左向右依次为E、F、G，当F为线段的三等分点时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $