精品解析：辽宁省沈阳市新民市实验中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

寒假学习成果检验 一、选择题（共10小题） 1. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 2. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个实数根，可知且，求出解即可． 【详解】∵一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 故选：C． 3. 数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 【答案】A 【解析】 【分析】利用简单地概率公式，求得各色球的概率，结合图象，发现该球频率稳定在，比较解答即可． 本题考查了频率估计概率，简单地概率公式应用，熟练掌握公式，理解频率估计概率意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别， 故，， ，， 根据图象，得该球频率稳定在， 故其概率约为． 故选：A． 4. 如图，，，，则的长是（ ） A. 20 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质及判定，平行线性质，解一元一次方程．根据题意证明，继而利用相似得性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴设，则， ∴，即：， 故选：A． 5. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 6. 如图，在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义． 根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， 故选：C 7. 已知反比例函数和的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点，．若，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点坐标为，则点坐标为，据此把代入中即可求出答案． 【详解】解：设点坐标为，则点坐标为， 把代入得，， ∴． 故选：B． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线的性质，由菱形的性质可得，由三角形中位线的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是的中点，， ∴， 故选：D． 9. 如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、四边形内角和定理，同弧所对的圆周角与圆心角的关系等知识．首先根据同圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，可以求出，再根据切线的性质可以得到，根据四边形的内角和是求出的度数． 【详解】解：， ， 、是的切线， ， 在四边形中，， ， ． 故选：A ． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由开口方向，，以及抛物线与轴的交点在轴的上方即可判断符号，即可判断①；由于抛物线与x轴有两个交点，则，即可判断②；由抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线，则抛物线与x轴另一个交点，当，即可判断③；由于时，，时，，则，运用平方差公式化简判断④；当时，，则，故，即可判断⑤． 【详解】解：开口向下，； 对称轴在轴的右侧，， 则； 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴， 所以①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点， ∴当，故③正确； ∵时，， 时，， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴当时，， ∴ ∴，故⑤错误， ∴正确的有4个， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11. 三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是________． 【答案】（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）． 【解析】 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小， ∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或（3×（-），6×（-）），即（2，4）或（-2，-4）， 故答案为：（2，4）或（-2，-4）． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x 3 4 5 6 7 8 … y m … 则表格中m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用二次函数图象的对称性进行作答，即可求解． 【详解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为： 直线， ∴与关于对称轴对称， ∴， 故答案为：； 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE的度数为________． 【答案】50° 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°， 又∠DCE＋∠DCB＝180°， ∴∠DCE＝∠A＝50°， 故答案为50°． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键． 14. 如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点A和中心E，若点D的坐标为，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以得到点E的坐标，进而求得k的值，从而可以解答本题． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为y ∴ ， ∵反比例函数的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，点D的坐标为， ∴点E的坐标为， ∴点E的坐标为 ∵A、E在反比例函数的图象上 ∴ ∴ ∴（舍去） ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的知识解答． 15. 矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在点右边与左边两种情况分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 又 ∴ ∴， 当点在点的右侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中，， 则， ∵， ∴ ∴， 当点在点的左侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中， 则， ∵， ∴ ∴， 综上所述，的长为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 三．解答题 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、特殊角的三角函数、二次根式的运算． 首先把一元二次方程配方得，分解因式得， 把方程两边同时开平方求出方程的解即可； 把物特殊角的三角函数值、、，代入算式可得：原式，然后再根据二次根式的运算法则进行计算． 【详解】解： 移项得：， 配方得：， 分解因式得：， 两边同时开平方得：， 方程的解为，； 解：， ， ， ． 17. 某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票. （1）甲选择A检票通道的概率是 ___________; （2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为景区检票口有A，B，C共3个检票通道，所以供甲选择的有三种可能，甲选择A检票通道的概率是 ； （2）利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可. 【小问1详解】 解：（1）∵景区检票口有A，B，C共3个检票通道， ∴甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况. ∴P（选择A）=. 故答案为：； 【小问2详解】 由题意列树状图得， 由上图可以看出， 甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况， 其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种， ∴P（甲乙两人选择的通道相同）. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键. 18. 随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，如图①是一款太阳能路灯实物图，图②是某校兴趣小组测量太阳能路灯电池板距离地面高度的方案示意图，其中测角器的高在点C处安置测角器，测得点A的仰角，在与点C相距的点D处安置测角器，测得点A的仰角（点C，D，B在同一条直线上） ． （1）设，用含x的代数式表示的长； （2）求电池板距离地面的高度的长． （结果精确到；参考数据：） 【答案】（1） （2）电池板距离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，构造直角三角形求解是解题的关键． （1）延长交于点M，设在中，利用求出结论； （2）在中，利用正切定义得出，求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 解：延长交于点M， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， 米，， ∴四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ； 【小问2详解】 在中，，，， ， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：电池板离地面的高度的长为米． 19. 如图，在中，两条对角线交于点O，且平分． （1）求证：四边形是菱形： （2）作于H，交于E．若，，求菱形的边长及面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）边长为，面积为． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由平分，得，则，所以，即可证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，，则，，所以，则，即可证明，得，求得，所以，，进而可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形的两条对角线交于点O， ∴，，， ∴，， ∵于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为：， ∴菱形的边长为，面积为． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，证明，是解题的关键． 20. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元? （2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 【答案】（1）20元 （2）每件衬衫需降价15元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要能利用基本数量关系：平均每天售出的件数×单件盈利=每天销售的利润． (1)依据题意，设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件，进而得到商场平均每天盈利元，依据方程即可得到的值； (2)依据题意，用“配方法”即可求出的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元． 【小问1详解】 解：设每件衬衫降价元，则多售出件， 由题意：， 解得，（要尽快减少库存，故舍去） 答：每件衬衫降价20元． 【小问2详解】 设盈利元，则与的关系式为：， ， 当时，该二次函数有最大值，为1250元． 答：每件衬衫需降价15元，商场平均每天赢利最多． 21. 如图，内接于是的直径，点在上，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，得到，进而证得，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）先根据勾股定理求出半径，再根据面积相等得出，根据角平分线的性质得出，再求出，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴EF是的切线， 【小问2详解】 如图，过作于， 设， ， 在Rt中，， ， ， 解得， ， ， ， ， 平分， ， ，， 在Rt中，根据勾股定理得，， 22. 如图1，中，，若点C在射线上移动，将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，过点D作于点E． （1）求证：； （2）如图2，若，在延长线上取点M，连接，过点D作于点F，过点C作于点H，已知，求四边形的面积； （3）如图3，若，在延长线上取点M，连接，在延长线上取一点P，连接，已知，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）36 （3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转得到，，利用垂直的定义和余角的性质得到，再利用“”即可求证； （2）过D点作于G，证明，得到，，令，得，表示出，和四边形的面积，即可求解； （3）过M点作于K，设，则，，利用勾股定理表示出，，得出，再利用勾股定理得出，建立方程，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 证明：∵中，， ∴ , ∵将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：由（1）可知， 如图，过D点作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 令， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， ∴四边形的面积四边形的面积 ； ∴四边形的面积为36； 【小问3详解】 由（1）可知， ∵将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 过M点作于K， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质，涉及到了矩形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 23. 定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”． 例如：函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为． （1）求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标； （2）函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当时，求的取值范围； （3）函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数与的图象组成的图形记为． ①若，判断的形状，并说明理由； ②若，求的值； ③点，点，若与线段有且只有两个交点，直接写出的值或取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）①是等腰直角三角形．理由见解析；②或；③或或 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义即可求解； （2）由题易得，再根据的取值范围即可得到的范围； （3）①当时可得和的表达式，从而得到、、的坐标，再根据图形性质易得其是等腰直角三角形，或者由勾股定理逆定理亦可证明； ②用含的式子表示出和的表达式，进而得到、、的坐标，然后可得到和的长度，最后根据，建立方程求解即可； ③分类讨论，开口向上或者开口向下，画出图形，找出临界值代入求解即可． 【小问1详解】 解：， 顶点，它关于直线 的对称点为， “友好函数”为， 两个函数图象关于直线 对称， 其交点必在直线 上，将代入中，， “友好点”坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得， ， 关于的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为， 当 时，有最小值， 当 时，，当 时，， ； 【小问3详解】 解：① 是等腰直角三角形， 当 时，， ， ， ， 当 时，， ， 如图，直线 是线段的垂直平分线，点在直线， ， 设直线交线段于点，则， ， ，． ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ②， ， 在中，当 时，， ， 在中，当 时，， ， ， 将 代入中，， ， 点，的纵坐标相同， ， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，的值为或； ③第一种情况，， 如图，当“友好点”恰好在线段上时，此时“友好点”坐标为， 将代入得， ， 解得， 此时，与轴恰好交于点， 当时，与线段会有3个交点， 当时，与线段有且只有两个交点； ，如图，当的两个顶点恰好在线段上时， ， ， ， 即当时，与线段有且只有两个交点； 第二种情况：， 此时，则与轴交正半轴， 如图，当经过点，此时经过点，与线段有两个交点， 当向下平移时，则与依然会有两个交点， ， ， ， 即当时，与线段有且只有两个交点； 综上，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假学习成果检验 一、选择题（共10小题） 1. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 数学课上，王老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有8个白球、6个红球、4个黑球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 4. 如图，，，，则的长是（ ） A. 20 B. 12 C. 8 D. 6 5. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数和的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点，．若，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2 9. 如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题） 11. 三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是________． 12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x 3 4 5 6 7 8 … y m … 则表格中m的值是______． 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE的度数为________． 14. 如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点A和中心E，若点D的坐标为，则k的值为________． 15. 矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______． 三．解答题 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票. （1）甲选择A检票通道的概率是 ___________; （2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率. 18. 随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，如图①是一款太阳能路灯实物图，图②是某校兴趣小组测量太阳能路灯电池板距离地面高度的方案示意图，其中测角器的高在点C处安置测角器，测得点A的仰角，在与点C相距的点D处安置测角器，测得点A的仰角（点C，D，B在同一条直线上） ． （1）设，用含x的代数式表示的长； （2）求电池板距离地面的高度的长． （结果精确到；参考数据：） 19. 如图，在中，两条对角线交于点O，且平分． （1）求证：四边形是菱形： （2）作于H，交于E．若，，求菱形的边长及面积． 20. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元? （2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 21. 如图，内接于是的直径，点在上，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 如图1，中，，若点C在射线上移动，将线段绕点C逆时针旋转，点B的对应点为D，过点D作于点E． （1）求证：； （2）如图2，若，在延长线上取点M，连接，过点D作于点F，过点C作于点H，已知，求四边形的面积； （3）如图3，若，在延长线上取点M，连接，在延长线上取一点P，连接，已知，且，求的长． 23. 定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”． 例如：函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为． （1）求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标； （2）函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当时，求的取值范围； （3）函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数与的图象组成的图形记为． ①若，判断的形状，并说明理由； ②若，求的值； ③点，点，若与线段有且只有两个交点，直接写出的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $