1.5 第2课时 三角形三个内角的平分线-（配套课件）【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级下册数学（北师大版2024）

第2课时 三角形三个内角的平分线 北师版八年级数学下册 第一章 三角形的证明及其应用 5 角平分线 新课导入 作三角形的三个内角的平分线，你发现了什么？ 　　发现：三角形的三个内角的平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等． 新课探究 例 2 求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：∠A 的平分线经过点 P，且PD = PE = PF. A B C P E F M D N 证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， 且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D，E， ∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理，PE = PF. ∴PD = PE = PF. ∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个 角的内部，到角的两边距离相等的点在 这个角的平分线上）， 即 ∠A 的平分线经过点 P. A B C P E F M D N 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三条边的距离相等 练习 如图：直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ l3 l2 l1 C B A 满足条件共4个： △ABC的三条内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求。 例 3 如图，在△ABC 中. AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD. A C B E D （1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E， ∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. ∵AC = BC ， ∴∠B = ∠BAC（等边对等角）. ∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°. ∴∠BDE=90°– 45°= 45°. ∴BE = DE（等角对等边）. 在等腰直角三角形 BDE 中， cm（勾股定理)， ∴AC = BC = CD + BD =（4+ ）cm. 1 2 A C B E D （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）. ∴AC = AE（全等三角形的 对应边相等）. ∵BE = DE = CD， ∴AB = AE + BE = AC + CD. A C B E D 随堂演练 1. 已知： OE 平分∠AOB，P 为 OE 上一点， PC⊥OA 于 C，且 PC = 5，则 P 点到 OB 的距离为_____. 5 A O E B P C 2. 已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°， ∠B = 40°，DE⊥AB 于 E，若CD=DE， 则∠CAD = ________. 25° A C B D E 3. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C，D. 求证：（1）OC = OD； （2）OP 是 CD 的垂直平分线. O C D B P E A 证明：（1）∵P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC = PD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， OP = OP，PC = PD， ∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）. ∴OC = OD（全等三角形对应边相等）. O C D B P E A （2）∵ OP 是∠AOB 的平分线，PC=PD， ∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形三线合一）. O C D B P E A 4. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，且∠B +∠D = 180°，求证：AE = AD + BE. A C B E D A C B E D F 证明：过点 C 作 CF⊥AD，交 AD 的延长线于点 F. ∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE ＝ CF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等），∠CEB ＝∠CFD ＝ 90°. ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）. ∴AE=AF（全等三角形对应边相等）. ∵∠B +∠ADC ＝ 180°， ∠CDF +∠ADC ＝ 180°， ∴∠B ＝ ∠CDF. ∴△CBE ≌△CDF（AAS）. ∴DF ＝ BE（全等三角形对应边相等）. ∵AF ＝ AD + DF， ∴AF ＝ AD + BE，∴AE ＝ AD + BE . 课堂小结 　　三角形的三个内角的平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等． 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $