1.2 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质-（配套课件）【鼎成中考·活页好题】2025-2026学年新教材八年级下册数学（北师大版2024）

第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 北师版八年级数学下册 第一章 三角形的证明及其应用 2 等腰三角形 1 新课导入 1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？ 2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？ 新课探究 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流. A B C （1）三个角都相等的三角形是等边三角形. 证明：∵∠B =∠A = 60°， ∴AC = BC（等角对等边）. ∵∠B =∠C = 60°， ∴AC = AB， ∴AC = AB = BC . （2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形. 证明： 若 AB ＝AC，∠A ＝60°， 则∠B = ∠C = 60°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴AB＝AC＝BC. （有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）. A B C 证明： 若AB＝AC，∠B＝∠C = 60°， 则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴AB＝AC＝BC. （有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）. A B C 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 练习 已知：如图，△ABC 是等边三角形，与 BC 平行的直线分别交 AB 和 AC 于点 D，E. 求证：△ADE 是等边三角形. A B C D E A B C D E 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. 又∵DE∥BC， ∴∠ADE =∠B = 60°， ∠AED = ∠C = 60°. ∴∠ADE =∠AED =∠A= 60°. ∴△ADE是等边三角形. 做一做 用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗? 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图，△ABC是直角三角形 ，∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：BC = AB. 1 2 A B C 证明：延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD. ∵∠ACB = 90°，∠BAC=30°， ∴∠ACD = 90°，∠B=60°. ∵AC = AC，∴△ABC ≌ △ADC（SAS）. ∴AB = AD（全等三角形的对应边相等）. ∴△ABD 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形）. ∴BC = BD = AB. A B C D 1 2 1 2 例 4 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°，CD 是腰 AB 上的高. 求证：CD = AB. 1 2 B A D C 证明：在△ABC 中， ∵AB = AC，∠B = 15°， ∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）. ∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°. ∵CD 是腰 AB 上的高，∴∠ADC = 90°. ∴CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半） ∴CD= AB. 1 2 1 2 随堂演练 1. 如图，折叠直角三角形纸片，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，已知 BC = 12，∠B = 30°，∠C = 90°，则 DE 的长是________. 4 A E B D C 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠B = 60°，CD 是△ABC 的高，且 BD = 1，求 AD 的长. B C D A B C D A 解：在△BCD 中，∠BDC = 90°， ∴∠BCD = 30°. ∴ BC = 2BD = 2. 在△ABC 中，∠ACB = 90°， ∴∠A = 30°. ∴AB = 2BC = 4. ∴AD = AB – BD = 4 – 1 = 3. 3. 房梁的一部分如图所示，其中，BC⊥AC，∠A = 30°，AB = 7.4 m，点 D 是 AB 的中点，且 DE⊥AC，垂足为 E，求 BC，DE 的长. 解：在△ABC 中，∠A = 30°，BC⊥AC， ∴BC = AB = 3.7 m. 又∵点 D 是 AB 的中点， ∴AD = BD = 3.7 m. 在△ADE 中，∠A = 30°，DE⊥AC， ∴DE = AD = 1.85 m. 1 2 1 2 4. 如图，△ABC 是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3. 判断△DEF 的形状，并简要说明理由. 1 2 3 A B C D E F 1 2 3 A B C D E F ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C. 又∵∠1 =∠2 =∠3， ∴∠DAC =∠FCB =∠ABE. ∵ ∠DFE =∠DAC +∠3 ， ∠FED =∠2 +∠FCB， ∠EDF =∠1 +∠ABE， ∴∠DFE =∠FED =∠EDF. ∴△DEF 是等边三角形 . 解： △DEF 是等边三角形，理由如下： 课堂小结 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. $