精品解析：浙江杭州市2025学年第一学期九年级期末教学质量调研 数学试题卷

2025学年第一学期九年级期末教学质量调研 数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F．已知，，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 5. 无障碍通道是保障行动不便者安全通行的专用设施体系，具有严格的设计要求．如图是某一建筑入口的轮椅坡道，已知中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 15 6. 如图，内接于，是直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，于点D，若，，则线段的长为（ ） A. 36 B. 13 C. 5 D. 6 8. 二次函数的图象过点，则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的对称轴为直线 B. 图象与x轴的另一个交点为 C. 函数的最大值为3 D. 当时，y随x的增大而减小 9. 如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算___________． 12. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000 合格频数 49 97 481 960 2880 合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960 根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有______件． 13. 如图，是一根水平放置的圆柱形排水管的截面图．已知水面宽为，水的最大深度为，则排水管截面的半径为______ ． 14. 已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是______． 15. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝4，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为_____． 16. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，为对角线，沿直线翻折得到，交于点E，连接分别交，于点F，G．已知，，则线段______，的周长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值． （2）求该函数图象与x轴的交点坐标． 18. 把六张仅有编号不同的卡片分成A，B两组，A组的三张卡片编号分别是1，2，3，B组的三张卡片编号分别是4，5，6，若分别从这两组卡片中各随机抽取一张，求抽到的编号都是奇数的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，绕原点O顺时针旋转得到（点，分别是点A，B的对应点）．已知点，． （1）在坐标系中画出旋转后的； （2）直接写出点，的坐标； （3）在这个旋转过程中，求点B经过的路径的长． 20. 数学兴趣小组的同学通过观察生活中的现象，抽象出数学问题，再用所学的数学知识来解决问题．小明、小亮准备测量一个热气球的高度，如图，他们分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角，，米，点B，C，D在地面的同一条直线上，于点D．（测角仪的高度忽略不计），求热气球离地面的高度． 21. 如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，． （1）求证：； （2）求弦的长． 22. 综合与实践 【问题背景】 在学习了图形的旋转后，数学课上同学们围绕以下问题展开讨论：如图①，绕点A逆时针旋转度（）得到（点B，C的对应点分别为点，），连接，．同学们发现：． 【类比探究】 （1）芳芳将上述问题一般化后，提出了新的问题：如图②，已知，可以看成是绕点A逆时针旋转度（），再进行相似变化得到的，连接，． ①和是否仍然相似？如果相似，请证明：如果不相似，请说明理由． ②若，，，求的值． 【拓展应用】 （2）如图③，四边形为正方形，在正方形内部（不包括边上），，，，连接，求的值． 23. 设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如下表： x … 0 1 2 4 … y … p m q … （1）当时， ①求a，b的值． ②若点，在函数图象上，当时，比较，的大小． （2）若，求a的取值范围． 24. 如图①，的直径交弦于点M，，连接，过点B作于点C，交于点E，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图②，若，的半径为4，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期末教学质量调研 数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质．将已知等式代入比中化简即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．二次函数的顶点坐标是，对称轴为直线．据此求解即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选：A． 3. 如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为， 故选：A． 4. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F．已知，，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，得出，根据已知条件即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵，，， ， 解得：， 故选：B． 5. 无障碍通道是保障行动不便者安全通行的专用设施体系，具有严格的设计要求．如图是某一建筑入口的轮椅坡道，已知中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义．利用锐角三角函数定义进行解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 6. 如图，内接于，是直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90度，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先连接，结合，得，又因为是直径，得，再列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，于点D，若，，则线段的长为（ ） A. 36 B. 13 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长． 【详解】解：中，，， ， 又于， ， ， ， ， ． 故选：D． 8. 二次函数的图象过点，则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的对称轴为直线 B. 图象与x轴的另一个交点为 C. 函数的最大值为3 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 先将已知点代入二次函数解析式求出的值，再结合二次函数的对称轴、与轴交点、最值及增减性的相关性质逐一分析选项． 【详解】解：∵二次函数的图象过点， ∴将，代入解析式得：， 解得，即函数解析式为；； A．二次函数对称轴公式为，其中，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； B．已知一个交点为，对称轴为， 设另一个交点为，则， 解得，即另一个交点为，故该选项说法错误，不符合题意； C．∵， ∴函数开口向下，顶点为最大值点，将代入解析式得 ，故最大值为4，故该选项说法错误，不符合题意； D．∵函数开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 又∵包含在的范围内，故当时，随的增大而减小，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，二次函数的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒，则，结合观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒，得，根据点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，则，在秒时，则，，最后求出当时，或，即可作答． 【详解】解：理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒， ∵点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B， ∴， ∵的面积为， ∴， 故C选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故A选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故B选项符合题意； 当时， 则 ∴， 在秒时，则， ∴， 令，则， 整理得， 解得，（舍去） 综上：当时，或， 故D选项不符合题意， 故选：B． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000 合格频数 49 97 481 960 2880 合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960 根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有______件． 【答案】4800 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率的应用．观察表格可知当抽取件数较大时，合格频率稳定在0.960附近，据此用频率估计合格概率，再计算5000件衬衣中的合格产品数量即可． 【详解】解：由表格数据可知，当抽取件数为1000件和3000件时，合格频率均为0.960，且频率逐渐稳定在0.960附近，因此可估计这批衬衣的合格概率约为0.960． 则出售5000件衬衣时，合格产品约有件． 故答案为：4800． 13. 如图，是一根水平放置的圆柱形排水管的截面图．已知水面宽为，水的最大深度为，则排水管截面的半径为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据题意，得，，则，在中，，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵为， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得 即排水管截面的半径为， 故答案为： 14. 已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．将两个函数进行联立，根据根与系数的关系进行计算． 【详解】解：二次函数与一次函数（是常数）图象交于两个不同的点， ， 即， 故， 由于点的横坐标是， 故点的横坐标是． 故答案为：． 15. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝4，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为_____． 【答案】 【解析】 【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可． 【详解】过A作AD⊥BC于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD＝2，AD＝BD＝2， ∴△ABC的面积为BC•AD＝4， S扇形BAC＝， ∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×4＝8π﹣8， 故答案为8π﹣8． 【点睛】本题考查了等边三角形性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键． 16. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，为对角线，沿直线翻折得到，交于点E，连接分别交，于点F，G．已知，，则线段______，的周长为______． 【答案】 ①. 5 ②. 9 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点．由翻折得：，，由勾股定理得，可证明，则求出，则，求得，可得，则，据此计算即可求解． 【详解】解：由翻折得：，，， ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案：5，9． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值． （2）求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1）1 （2）交点坐标为， 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式和函数图象与x轴的交点问题，解题关键是牢记待定系数法的求解方法并且正确计算． （1）直接将代入解析式求解即可； （2）令，解一元二次方程后即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 令， ∴， ∴， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为，． 18. 把六张仅有编号不同的卡片分成A，B两组，A组的三张卡片编号分别是1，2，3，B组的三张卡片编号分别是4，5，6，若分别从这两组卡片中各随机抽取一张，求抽到的编号都是奇数的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的情况数，找出抽到的编号都是奇数的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：列表如下： 4 5 6 1 2 3 由列表可得共有9种等可能的情况，其中抽到的编号都是奇数的有2种情况， 则抽到的编号都是奇数的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，绕原点O顺时针旋转得到（点，分别是点A，B的对应点）．已知点，． （1）在坐标系中画出旋转后的； （2）直接写出点，的坐标； （3）在这个旋转过程中，求点B经过的路径的长． 【答案】（1） 如图，为所作图形； ； （2）点的坐标为，点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图，旋转作图，坐标点，弧长公式等知识，准确作图是解题关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出对应点，从而得到旋转后的图形； （2）根据图形写出点，的坐标即可； （3）先计算出的长，然后利用弧长公式计算即可； 小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：， 点经过的路径的长为． 20. 数学兴趣小组的同学通过观察生活中的现象，抽象出数学问题，再用所学的数学知识来解决问题．小明、小亮准备测量一个热气球的高度，如图，他们分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角，，米，点B，C，D在地面的同一条直线上，于点D．（测角仪的高度忽略不计），求热气球离地面的高度． 【答案】热气球离地面的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．由，，则有，在中，然后求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 答：热气球离地面的高度米． 21. 如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，． （1）求证：； （2）求弦的长． 【答案】（1）见解析 （2）弦的长为． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理． （1）连接，利用圆周角定理和垂径定理即可证明； （2）利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据垂径定理得到，，接着计算出得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设与的交点为， 为直径， ， 在中，， 点是中点． ， ， ， ， 在中，． 22. 综合与实践 【问题背景】 在学习了图形的旋转后，数学课上同学们围绕以下问题展开讨论：如图①，绕点A逆时针旋转度（）得到（点B，C的对应点分别为点，），连接，．同学们发现：． 【类比探究】 （1）芳芳将上述问题一般化后，提出了新的问题：如图②，已知，可以看成是绕点A逆时针旋转度（），再进行相似变化得到的，连接，． ①和是否仍然相似？如果相似，请证明：如果不相似，请说明理由． ②若，，，求的值． 【拓展应用】 （2）如图③，四边形为正方形，在正方形内部（不包括边上），，，，连接，求的值． 【答案】（1）①，理由见解析；②；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质． （1）①由，推出，，得到，利用相似三角形的判定定理即可求解； ②利用勾股定理求得，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）连接，求得， ，可证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴； ②∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 23. 设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如下表： x … 0 1 2 4 … y … p m q … （1）当时， ①求a，b的值． ②若点，在函数图象上，当时，比较，的大小． （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】（1）①直接利用待定系数法求解即可；②讨论当时与时函数值大小关系，再综合得出结论即可． （2）先求出，再分别表示出p与q．列出不等式后即可求解． 【小问1详解】 解：①由表格知，当时，函数图象经过点， 代入解析式可得：， ∴， ∴； ②由①可知，函数解析式为，图象开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远的点函数值越大， 当时，， 故B点距离对称轴更远，则， 当时，， 故B点距离对称轴更远，则， 综上可得，当时，． 【小问2详解】 解：由表格知，函数图象经过点， ∴函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，比较函数值的大小以及不等式等知识，解题关键是理解题意，正确列出方程或不等式求解． 24. 如图①，的直径交弦于点M，，连接，过点B作于点C，交于点E，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图②，若，的半径为4，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的长为． 【解析】 【分析】（1）连接，，利用证明，推出，即，再证明即可； （2）连接，先证明，再利用证明即可； （3）设，得到，，，证明，，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵的半径为4， ∴，，， ∵，， ∴、， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $