1.3 乘法公式 第二课时 同步练习 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

1.3.2完全平方公式 一．选择题（共4小题） 1．下列式子：①（﹣x﹣y）2＝（x+y）2；②（﹣x+y）2＝（x﹣y）2；③（y﹣x）2＝（x﹣y）2．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．② D．① 2．已知a﹣b＝8，ab＝5，则a2+b2+3ab的值为（　　） A．89 B．74 C．64 D．49 3．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，则xy＝（　　） A．﹣24 B．24 C．﹣12 D．12 4．若x+223＝y+221＝z+219，则3（x﹣y）2+2（y﹣z）2﹣（x﹣z）2的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．4 D．﹣0.5 二．填空题（共5小题） 5．已知（x﹣2）2＝4，则x2﹣4x+5＝　 　 ． 6．已知a﹣b＝1，则2a2﹣4ab+2b2的值为　 　 ． 7．计算：48.12﹣2×48.1×38.1+38.12＝　 　 ． 8．若（x+m）2＝x2+8x+n，则m+n＝　 　 ． 9．已知x﹣y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 10．乘法公式计算： （1） （﹣4a﹣1）（4a﹣1） （2） （3） （4） （2a+b+1）（2a+b﹣1） （5）（a+2b﹣c）2 11． （1）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b． （2） 先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m． 12． 试说明（xy）2+（xy）2﹣2（xy）•（xy）的值与x的取值无关． 13．如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． （1）用含x、y的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积． （2）如果x+y＝5，xy＝7，会议厅比会客室大多少平方米？ 14．将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝5，ab＝2，求a2+b2的值．解：因为a+b＝5，ab＝2，所以（a+b）2＝25，2ab＝4．所以a2+b2+2ab＝25，2ab＝4．所以a2+b2＝21． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝9，x2+y2＝41． ①求xy的值． ②求（x﹣y）2的值． （2）若（7﹣m）（3+m）＝12，则（7﹣m）2+（3+m）2＝　 　 ． （3）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、BCFG，设正方形ACDE的面积为S1，正方形BCFG的面积为S2，若S1+S2＝24，AB＝8，求图中阴影部分的面积？ 15．题目：若（10﹣x）（x﹣5）＝2，求（10﹣x）2+（x﹣5）2的值． 解：观察发现，10﹣x与x﹣5中的﹣x与x互为相反数， 所以我们不妨设a＝10﹣x，b＝x﹣5． 因为（10﹣x）（x﹣5）＝2，所以ab＝2． 因为（10﹣x）+（x﹣5）＝5，所以a+b＝（10﹣x）+（x﹣5）＝5， 所以（10﹣x）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝21． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． （1）若（9﹣x）（x﹣2）＝3，求（9﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）若x满足（2025﹣x）2+（x﹣2024）2＝13，求（2025﹣x）（x﹣2024）的值． 一．选择题（共4小题） 题号 1 2 3 4 答案 A A C C 一．选择题（共4小题） 1．下列式子：①（﹣x﹣y）2＝（x+y）2；②（﹣x+y）2＝（x﹣y）2；③（y﹣x）2＝（x﹣y）2．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．② D．① 【分析】利用平方的性质：任何数的平方都等于其相反数的平方，即（﹣a）2＝a2，对每个式子进行变形验证． 【解答】解：下列式子：①（﹣x﹣y）2＝（x+y）2；②（﹣x+y）2＝（x﹣y）2；③（y﹣x）2＝（x﹣y）2中， ∵（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）， ∴（﹣x﹣y）2＝[﹣（x+y）]2＝（x+y）2，故①正确； ∵（﹣x+y）＝y﹣x，且（x﹣y）＝﹣（y﹣x）， ∴（﹣x+y）2＝（y﹣x）2，（x﹣y）2＝[﹣（y﹣x）]2＝（y﹣x）2， ∴（﹣x+y）2＝（x﹣y）2，故②正确； ∵（y﹣x）＝﹣（x﹣y）， ∴（y﹣x）2＝[﹣（x﹣y）]2＝（x﹣y）2，故③正确． ∴①②③均正确， 故选：A． 【点评】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 2．已知a﹣b＝8，ab＝5，则a2+b2+3ab的值为（　　） A．89 B．74 C．64 D．49 【分析】运用完全平方公式将原式变形为（a﹣b）2+5ab，再将a﹣b＝8，ab＝5代入求解． 【解答】解：∵a2+b2+3ab＝（a﹣b）2+5ab， ∴当a﹣b＝8，ab＝5时， 原式＝82+5×5＝89， 故选：A． 【点评】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是完全平方公式能进行准确变形． 3．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，则xy＝（　　） A．﹣24 B．24 C．﹣12 D．12 【分析】先根据完全平方公式把已知条件中的两个等式去掉括号再相减，求出xy即可． 【解答】解：∵（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49， ∴x2+2xy+y2＝1①，x2﹣2xy+y2＝49②， ①﹣②得：4xy＝﹣48， ∴xy＝﹣12， 故选：C． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握灵活运用完全平方公式解决问题． 4．若x+223＝y+221＝z+219，则3（x﹣y）2+2（y﹣z）2﹣（x﹣z）2的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．4 D．﹣0.5 【分析】根据等式的性质，求代数式的值，有理数的乘方运算即可． 【解答】解：由条件可知x﹣y＝﹣2，y﹣z＝﹣2，x﹣z＝﹣4， ∴3（x﹣y）2+2（y﹣z）2﹣（x﹣z）2＝3×（﹣2）2+2×（﹣2）2﹣（﹣4）2 ＝12+8﹣16 ＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了等式的性质，求代数式的值，有理数的乘方运算，解题的关键是根据条件得出x﹣y＝﹣2，y﹣z＝﹣2，x﹣z＝﹣4，再代入式子中计算即可． 二．填空题（共5小题） 5．已知（x﹣2）2＝4，则x2﹣4x+5＝　5　 ． 【分析】将（x﹣2）2＝4利用完全平方公式展开并整理得x2﹣4x＝0，将其代入原式计算即可． 【解答】解：∵（x﹣2）2＝4， ∴x2﹣4x+4＝4， ∴x2﹣4x＝0， ∴x2﹣4x+5＝0+5＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 6．已知a﹣b＝1，则2a2﹣4ab+2b2的值为　2　 ． 【分析】将式子因式分解后代入求值即可． 【解答】解：∵a﹣b＝1， ∴原式＝2（a2﹣2ab+b2）＝2（a﹣b）2＝2×12＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查的是因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 7．计算：48.12﹣2×48.1×38.1+38.12＝　100　 ． 【分析】观察表达式，发现其符合完全平方公式的结构，可直接应用公式简化计算． 【解答】解：原式＝（48.1﹣38.1）2 ＝10.02 ＝100． 故答案为：100． 【点评】本题考查了完全平方公式，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．若（x+m）2＝x2+8x+n，则m+n＝　20　 ． 【分析】将（x+m）2利用完全平方公式展开后求得m，n的值，然后将它们相加并计算即可． 【解答】解：∵（x+m）2 ＝x2+2mx+m2 ＝x2+8x+n， ∴2m＝8，n＝m2， ∴m＝4，n＝16， ∴m+n＝4+16＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 9．已知x﹣y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为　22　 ． 【分析】根据完全平方公式可得x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，然后代入计算即可． 【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2， ∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy， ∴当x﹣y＝4，xy＝3时， x2+y2＝42+2×3 ＝16+6 ＝22． 故答案为：22． 【点评】此题考查了完全平方公式变形计算的能力，关键是能将完全平方公式准确变形，并进行正确的计算． 三．解答题（共6小题） 10．乘法公式计算： （1） （﹣4a﹣1）（4a﹣1） （2） （3） （4） （2a+b+1）（2a+b﹣1） （5） （a+2b﹣c）2 【分析】（1）直接根据平方差公式进行计算即可； （2）（5）根据完全平方公式进行计算即可； （3）（4）变形后，再根据平方差公式进行计算即可； 【解答】解：（1）（﹣4a﹣1）（4a﹣1）＝（﹣1）2﹣（4a）2＝1﹣16a2； （2）（﹣2xy）2＝4x2+2xyy2； （3）（a）2（a）2（a2）2＝[（a）（a）（a2）]2＝（a4）2＝a8a4； （4）（2a+b+1）（2a+b﹣1）＝（2a+b）2﹣12＝4a2+4ab+b2﹣1； （5）（a+2b﹣c）2＝（a+2b）2﹣2c（a+2b）+c2＝a2+4ab+4b2﹣2ac﹣4bc+c2． 【点评】本题考查了两个公式：①完全平方公式；②平方差公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键，要注意整体思想的利用． 11．（1）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b． （2）先化简，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m． 【分析】（1）先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把m的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2 ＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2 ＝2a2﹣6ab， 当a＝﹣3，b时，原式＝2×（﹣3）2﹣6×（﹣3）2×9+6＝18+6＝24； （2）2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3） ＝2m﹣m2+2m+m2﹣9 ＝4m﹣9， 当m时，原式＝49＝10﹣9＝1． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．试说明（xy）2+（xy）2﹣2（xy）•（xy）的值与x的取值无关． 【分析】把式子化简，结果中不含有x的项即可证得结论． 【解答】证明：（xy）2+（xy）2﹣2（xy）•（xy） ＝[（xy）﹣（xy）]2 ＝（y）2 y2， ∴（xy）2+（xy）2﹣2（xy）•（xy）的值与x的取值无关． 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式． 13．如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． （1）用含x、y的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积． （2）如果x+y＝5，xy＝7，会议厅比会客室大多少平方米？ 【分析】（1）结合图形分别表示出会客室和会议厅的长宽，再利用面积公式即可求出面积； （2）利用（1）结论，列式并计算出x2+4xy+y2，再根据x+y＝5得到x2+2xy+y2＝25，再将x2+4xy+y2变形为x2+2xy+y2+2xy整体代入即可求解． 【解答】解：（1）由图形得，会客室的长为（2x+y）﹣（x+y）＝x米，宽为（x﹣y）米， ∴会客室的面积为x（x﹣y）＝（x2﹣xy）平方米； 会议厅的长为（2x+y）米，宽为2x+y﹣x＝（x+y）米， ∴会议厅的面积为（2x+y）（x+y）＝（2x2+3xy+y2）平方米； （2）由题意得2x2+3xy+y2﹣（x2﹣xy）＝2x2+3xy+y2﹣x2+xy＝x2+4xy+y2， ∵x+y＝5， ∴（x+y）2＝25， ∴x2+2xy+y2＝25， ∵xy＝7， x2+4xy+y2＝x2+2xy+y2+2xy＝25+14＝39平方米． 答：会议厅比会客室大39平方米． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键开始理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝5，ab＝2，求a2+b2的值．解：因为a+b＝5，ab＝2，所以（a+b）2＝25，2ab＝4．所以a2+b2+2ab＝25，2ab＝4．所以a2+b2＝21． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝9，x2+y2＝41． ①求xy的值． ②求（x﹣y）2的值． （2）若（7﹣m）（3+m）＝12，则（7﹣m）2+（3+m）2＝　76　 ． （3）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、BCFG，设正方形ACDE的面积为S1，正方形BCFG的面积为S2，若S1+S2＝24，AB＝8，求图中阴影部分的面积？ 【分析】（1）①根据完全平方公式得出（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，整体代入求值即可； ②根据完全平方公式得出（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy整体代入求值即可； （2）根据完全平方公式将（7﹣m）2+（3+m）2转化为[（7﹣m）+（3+m）]2﹣2（7﹣m）（3+m），再整体代入求值即可； （3）设AC＝m，CF＝n，可得m+n＝8，m2+n2＝24，求出mn的值，即可求解． 【解答】解：（1）①∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝9，x2+y2＝41， ∴92﹣2xy＝41， ∴xy＝20， ②（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝92﹣4×20＝1， 答：①xy的值为20；②（x﹣y）2的值1； （2）由（7﹣m）+（3+m）＝10，（7﹣m）（3+m）＝12， ∴（7﹣m）2+（3+m）2＝[（7﹣m）+（3+m）]2﹣2（7﹣m）（3+m）＝100﹣2×12＝76； 故答案为：76． （3）设AC＝m，CF＝n， ∵AB＝8， ∴m+n＝8， 又∵S1+S2＝24， ∴m2+n2＝24， 由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴82＝24+2mn， ∴mn＝20， ∴S阴影部分mn＝10， 【点评】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题．（2）根据完全平方公式变形应用得出答案．（3）根据几何图形可知线段AC+BC＝8，再根据两个正方形面积和为24，利用完全平方公式变形应用得到AC•BC＝10，再根据直角三角形面积公式得出答案． 15．题目：若（10﹣x）（x﹣5）＝2，求（10﹣x）2+（x﹣5）2的值． 解：观察发现，10﹣x与x﹣5中的﹣x与x互为相反数， 所以我们不妨设a＝10﹣x，b＝x﹣5． 因为（10﹣x）（x﹣5）＝2，所以ab＝2． 因为（10﹣x）+（x﹣5）＝5，所以a+b＝（10﹣x）+（x﹣5）＝5， 所以（10﹣x）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×2＝21． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． （1）若（9﹣x）（x﹣2）＝3，求（9﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）若x满足（2025﹣x）2+（x﹣2024）2＝13，求（2025﹣x）（x﹣2024）的值． 【分析】（1）设9﹣x＝a，x﹣2＝b，得到ab＝3，a+b＝9﹣x+x﹣2＝7，利用完全平方公式变形计算即可； （2）设2025﹣x＝m，x﹣2024＝n，利用完全平方公式变形计算即可． 【解答】解：（1）设9﹣x＝a，x﹣2＝b，则ab＝3，a+b＝9﹣x+x﹣2＝7， ∴（9﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴（9﹣x）2+（x﹣2）2＝72﹣2×3＝49﹣6＝43； （2）设2025﹣x＝m，x﹣2024＝n，则m+n＝2025﹣x+x﹣2024＝1， 由条件可得m2+n2＝13， ∴m2+2mn+n2﹣2mn＝13， ∴（m+n）2﹣2mn＝13， ∴1﹣2mn＝13， 解得：mn＝﹣6， ∴（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6． 【点评】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形是解题的关键．；邮箱：18806632931；学号：21352465 学科网（北京）股份有限公司 $