2026届江苏省南京市栖霞区名校联盟高三一模考试数学试题

2026届第一次模拟考试 命题人：陈宇轩 审题人：黄泽宇 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（    ） A．841 B．2026 C．2027 D．4111 6．在中，，，则的最短边与最长边之比为（    ） A． B． C． D． 7．等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 8．已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 10．定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上单调递减，在上单调递增 D．不等式的解集为 11．已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（   ） A．2 B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．某工厂抽检一批零件，共120个，其中90个零件的合格率为90%，30个零件的合格率为80%，则这120个零件的合格率是 ． 13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 14．已知数列满足，且，则 . 四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分) 15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. (1)证明：； (2)若，求内角A的大小. 16．设函数． (1)求的单调区间； (2)若存在极值点，且存在，使得，证明：． 附： 17．如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面. (1)证明：； (2)设点是棱上一点，当直线与平面所成的角最大时，求的值. 18．已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围； (3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 19．为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 2026届第一次模拟考试 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A C C B A AB AB 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】根据集合的运算可求解. 【详解】解：由题意得： ， 则. 故选：C 2．A 【分析】化简复数为，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A. 3．B 【分析】利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，建立的方程，解出的值，利用充分条件和必要条件得到结论. 【详解】由直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切， 得，解得a＝0或a＝－4， 则“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的充分不必要条件． 故选：B. 4．A 【分析】先通过奇偶性排除CD选项，再通过特定区间的函数符号排除B选项，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误． 当时，，所以B错误. 故选：A． 5．C 【分析】根据抛物线的定义计算即可. 【详解】注意到，故在内，过点作的准线的垂线，垂足为， 过点作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义知，当且仅当点在线段上时等号成立. 故选：C. 6．C 【分析】首先求出，即可求出，从而得到，则，再求出，最后由正弦定理计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又，所以，则， 又，，所以，所以，则， 又，解得， 所以， 即的最短边与最长边之比为. 故选：C 7．B 【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值. 【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则：，，， 外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为， 故外接圆方程为：． 又因为，其中，， 则． 将代入圆的方程得， 即， ， ∴， 解得，当且仅当时取得的最大值2． 故选：B. 8．A 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故. 故选：A. 9．AB 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 10．AB 【分析】利用赋值法判断A，结合题意并利用偶函数的定义判断B，利用函数单调性的定义判断C，将目标不等式合理转化判断D即可. 【详解】令，得，即，故A正确； 令， 则， 即是偶函数，故B正确； 当时，因为，所以， 因为，所以， 则在上单调递增，故C错误； 由题意知，且， 因此不等式可化为， 因为在上单调递增， 所以，解不等式得，故D错误． 故选：AB 11．AD 【分析】分析可知，，求交点横坐标，分和两种情况，结合弦长公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：直线l过点，且与直线垂直， 点到渐近线的距离， 因为，可知垂足为A，且，． 联立方程，解得； 联立方程，解得； 当时，点B在射线上，则， 可得，整理得， 所以双曲线C的离心率为； 当时，点B在射线上，则， 可得，整理得， 所以双曲线C的离心率为； 综上所述：C的离心率可能是或2. 故选：AD. 12． 【分析】根据平均数的公式求解即可. 【详解】由题意可得，这120个零件的合格率是． 故答案为：. 13． 【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14． 【分析】通过构造新数列的方法，将给定的递推公式转化为一个等比数列的形式，进而可求出数列的通项公式. 【详解】设，则. 由，解得. . 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. ，. 故答案为： 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意结合面积公式可得，运算求解即可； （2）根据题意结合余弦定理可得，即可得角A的大小. 【详解】（1）在中，， 因为，即， 且，则， 则，即， 又因为，则，即. （2）若，则，且， 由余弦定理可得， 且，所以. 16．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，就、分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； （2）根据极值点可得，再根据结合代数变形可证. 【详解】（1）， 当时，（不恒为零），故的增区间为，无减区间； 若，则当时，， 当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上：时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. （2）因为是的极值点，故，故， 所以，而， 故， 整理得， 而，故， 整理得， 故，故， 而，故，即. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直，再利用余弦定理和勾股定理来证明，再证明线面垂直，从而问题得证； （2）利用空间向量法，引入变量，来表示相关向量的坐标，再求线面角的正弦值，借助二次函数求出最值，则问题即可求解. 【详解】（1） 证明：如图，设点是的中点，连接. 由于，故. 又平面平面平面，平面平面， 故平面. 而平面，故，即， 在中，， 所以. 又，故，所以，即， 结合平面， 可得平面，又平面，因此. 又，故. （2） 由（1）知两两垂直，所以以为坐标原点建立如图空间直角坐标系. 于是， 点是棱上一点，设， 所以， ， 设向量是平面的一个法向量，则 ，令，则， 所以， 设直线与平面所成的角为， ， 所以当时，达到最大，直线与平面所成的角最大， 故. 18．(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由题可得，解出和的解集即可求解. （2）由已知可得存在，使得成立，因为时，，故存在，用参变分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值即可求解； （3）令，利用导数分析在上的单调性，利用零点存在性定理可知，求得，证明出，结合的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以，在上单调递增，在上单调递减． （2）由题可知存在，使得成立， ∵时，，故存在，使得． 令，其中， ， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故． （3）． 证明：由可得， 令，则． 因为，则， 所以，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 所以，，， 同理可得， 且， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 故，即, 取，则, 19．(1)分布列见解析，80.8 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 【分析】（1）依题意确定X的可能取值，并利用独立事件的概率乘法公式计算出对应的概率，列出分布列并计算出数学期望； （2）（ⅰ）分别求出支付金额的期望与优惠券成本的期望，代入期望利润的公式，计算即得；（ⅱ）利用求导判断的单调性，即可证明在内存在唯一极大值点，进而求得期望利润的最大值. 【详解】（1）由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， ． 分布列为： X 100 90 80 70 60 P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：． （2）（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望， 则支付金额的期望为： ； 优惠券成本的期望为 ． ∴ ． （ⅱ） 令．解得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； ∴在内存在唯一极大值点， 又， ∴当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 学科网（北京）股份有限公司 $