专题 1.15 整式的乘除（单元基础卷）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.15 整式的乘除（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·广西钦州·期末）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米， 将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古乌海·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·周测）（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·黑龙江绥化·月考）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若展开的结果中不含x的一次项，则a、b满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，则的值为（    ） A．31 B．25 C．19 D．15 9．（24-25八年级上·四川资阳·期末）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（    ） A．224 B．220 C．198 D．154 10．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图是一所学校活动室的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算： ． 12．（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则代数式的值为 ． 13．（25-26八年级上·河南商丘·期末）计算： ． 14．（25-26八年级上·河南南阳·期末）若关于的二次三项式，则的值是 ． 15．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知多项式是完全平方式，则的值是 ． 16．（25-26八年级上·河南南阳·月考）若多项式减去单项式，再除以，所得的商是，则多项式为 ． 17．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是 ． 18．（25-26八年级上·山东济宁·期末）观察下列各式： …… 根据上面各式的规律，写出的计算结果中含的项的系数为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·云南红河·期末）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）化简： (1)； (2) 22．（本小题满分10分）（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南洛阳·期末）通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个形状大小相同的小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)观察图②，请写出、、之间的等量关系：______． (2)根据（1）中的等量关系解决问题：若，，求的值； (3)求的值． 24．（本小题满分12分）（23-24七年级上·贵州遵义·期末）（材料阅读）小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算： （1）；（2）；（3）； 但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成： （1）； （2） ； （3）； 观察上述解法，你能发现什么规律． （1）【问题解决】 用你发现的规律直接写出______． （2）【拓展探究】 请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______． （3）【拓展延伸】 下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.15 整式的乘除（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·广西钦州·期末）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米， 将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：≠，故A选项错误； ≠，故B选项错误； ≠，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 3．（25-26八年级上·内蒙古乌海·期中）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值，由可得，进而得到，代入已知计算即可求解，掌握同底数幂除法和幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 4．（25-26七年级下·全国·周测）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式除以单项式的运算法则，解题关键是熟练掌握“系数相除，同底数幂相除，指数相减”的运算规则． 分别对系数和同底数幂进行除法运算，再将结果相乘． 【详解】解：先计算系数部分：； 再计算的幂次：； 再计算的幂次：； 合并结果得：． 故选：C． 5．（24-25八年级上·黑龙江绥化·月考）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的形式． 根据平方差公式的结构特征，判断各选项是否符合“两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数”的条件． 【详解】解：A选项：中，含的项分别为和，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式结构； B选项：=，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构； C选项：=，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构； D选项：=，其中相同项为，互为相反数的项为与，符合平方差公式结构，可计算为； 故选：D． 7．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若展开的结果中不含x的一次项，则a、b满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法中不含某项的字母关系求解，先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后，根据不含x的一次项即一次项系数为0，即可得出a、b的关系式． 【详解】∵ 又∵展开结果中不含x的一次项， ∴． 故选：B． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，则的值为（    ） A．31 B．25 C．19 D．15 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的运用． 由可得，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 故选：C． 9．（24-25八年级上·四川资阳·期末）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（    ） A．224 B．220 C．198 D．154 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是表示出这两个数的平方差． 设两个连续偶数为和（k为正整数），表示出这两个数的平方差，然后逐项验证即可． 【详解】解：设两个连续偶数为和（k为正整数）， ∴， 若，解得， ∵k为正整数， ∴A选项不合题意； 若，解得， ∵k为正整数， ∴B选项符合题意； 若，解得， ∵k为正整数， ∴C选项不合题意； 若，解得， ∵k为正整数， ∴D选项不合题意； 故选：B． 10．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图是一所学校活动室的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，用不同的方法表示学校活动室的面积是解题的关键．分别用不同的方法表示学校活动室的面积，逐个排除即可得到正确的答案． 【详解】解：A．是三个图形面积的和，正确，不符合题意； B．是补成一个大长方形，用大长方形的面积减去补的长方形的面积，正确，不符合题意； C．是右面大长方形的面积加上左面长方形的面积，正确，不符合题意； D．不是学校活动室的面积，故本选项符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可得出结果． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查幂的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键，利用幂的乘方将原式进行化简，再整体代入求解． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：2． 13．（25-26八年级上·河南商丘·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正整数指数幂法则、零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的加减运算，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 需分别依据正整数指数幂法则、零指数幂法则、负整数指数幂法则计算各数，再通过有理数的加减运算得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河南南阳·期末）若关于的二次三项式，则的值是 ． 【答案】21 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：21． 15．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知多项式是完全平方式，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特点列出关于的方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， 解得或， 故答案为：或． 16．（25-26八年级上·河南南阳·月考）若多项式减去单项式，再除以，所得的商是，则多项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的运算，掌握相关运算法则、正确列式是解题的关键． 根据题意可得，利用除法运算中被除数、除数和商的关系求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来．分别求出从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项． 【详解】解：从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，剩余部分的面积是：， 拼成的矩形的面积是：， ∴根据剩余部分的面积相等得：， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·山东济宁·期末）观察下列各式： …… 根据上面各式的规律，写出的计算结果中含的项的系数为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题．由题干各式可知的计算结果中含的项是第2项，找出第2项系数的规律，进而作答即可． 【详解】解：由题干各式可知的计算结果中含的项是第2项， 第2项系数是1， 第2项系数是2， 第2项系数是3， 第2项系数是4， …… 第2项系数是2026． 故答案为：2026． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·云南红河·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项即可得到答案； （2）先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则，掌握知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（本小题满分10分）（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）已知计算的结果中不含项． (1)求的值． (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 【详解】（1）解：， ， ， 的结果中不含项， ， 解得，； （2）解：， ， ， 当时，原式． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南洛阳·期末）通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个形状大小相同的小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)观察图②，请写出、、之间的等量关系：______． (2)根据（1）中的等量关系解决问题：若，，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方与图形面积的计算，理解图示，掌握完全平方公式的变形计算是关键． （1）根据图形面积计算即可求解； （2）根据（1）中的结论计算即可； （3）根据，代入计算即可． 【详解】（1）解：图②，大正方形的面积为，大正方形的面积也可以表示为， ∴，即， 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∴， 当，时，原式； （3）解：． 24．（本小题满分12分）（23-24七年级上·贵州遵义·期末）（材料阅读）小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算： （1）；（2）；（3）； 但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成： （1）； （2） ； （3）； 观察上述解法，你能发现什么规律． （1）【问题解决】 用你发现的规律直接写出______． （2）【拓展探究】 请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______． （3）【拓展延伸】 下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由． 【答案】（1）6396；（2）；（3）正确，理由见解析 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确根据图形列出算式，再推导、运用平方差公式． （1）运用题目中给出的方法进行求解； （2）结合（1）题中算式的特点进行归纳、求解； （3）运用图形面积的不同求解方法进行推理、证明． 【详解】解：（1）由题意得， ， 故答案为：6396； （2）由题意得，， 故答案为：； （3）规律正确， ∵， 又∵， ∴规律正确． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $