专题 1.13 整式的乘除（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.13 整式的乘除（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 2 【知识点一】幂的乘除 2 ★【题型 1】基础计算 2 ★【题型 2】混合运算 3 ★【题型 3】逆用公式 3 ★【题型 4】科学记数法 3 ★【题型 5】判断正误 4 【知识点二】整式的乘法 5 ★【题型 6】基础运算：直接计算 5 ★【题型 7】化简求值：先化简整式，再代入数值计算 6 ★【题型 8】几何应用：根据图形面积列出整式乘法表达式并化简。 6 ★【题型 9】公式逆用 7 【知识点三】乘法公式 8 ★【题型 10】凑形应用：利用乘法公式简便计算。 8 ★【题型 11】变形求值：利用完全平方公式变形求值 8 ★【题型 12】几何背景：用图形面积解释乘法公式的几何意义 9 ★【题型 13】综合运算：在混合运算中识别并使用公式 10 【知识点四】整式的除法 11 ★【题型 14】基础运算 11 ★【题型 15】化简求值：先化简再代入 11 二.综合培优题型精析 12 ★★【题型 16】乘法公式的综合运算 12 ★★【题型 17】整式运算与化求值综合 13 ★★【题型 18】整式运算与几何面积综合 13 ★★【题型 19】整式运算规律问题探究 15 三.中考真题 17 （一）选择题（8题） 17 （二）填空题（8题） 18 （三）解答题（2题） 19 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】幂的乘除 运算法则 （1）同底数幂相乘法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （3）积的乘法运算法则：积的乘方等于乘方的积 （4）同底数幂相除运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 （5）零指数与负指数运算法则 ★【题型 1】基础计算 【例题1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）计算： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏·假期作业）计算： ． 【变式3】（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． ★【题型 2】混合运算 【例题2】（23-24八年级上·吉林长春·月考）计算 (1) (2) 【变式1】（2025·安徽宿州·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【变式3】（22-23七年级下·重庆大渡口·期中）计算： (1) (2) ★【题型 3】逆用公式 【例题3】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【变式1】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． ★【题型 4】科学记数法 【例题4】（2026七年级下·全国·专题练习）水由氢，氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是多少（单位：）？ 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）若用科学记数法可表示为，则n的值为（    ） A．8 B． C．7 D． 【变式2】（25-26七年级上·河南商丘·期末）《哪吒之魔童闹海》是中国影史首部百亿票房影片，为在影片中呈现细腻的法术光芒，在特效制作中对单个粒子的渲染精度要求极高，其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，其中数据0.0000025用科学记数法可表示为 ． 【变式3】（25-26九年级上·河北邯郸·月考）科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． ★【题型 5】判断正误 【例题5】（24-25七年级下·全国·周测）阅读下列解答过程，回答问题： (1)上述过程中有错误，从第______（填序号）步开始出错，原因是__________； (2)请写出正确的解答过程． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，通常，一个“二维码”由个大大小小的黑白小方格组成，这个方格中只有个方格作为数据码，据相关数学知识，这个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对 的理解如下： A：就是个相乘，它是一个非常非常大的数； B： 等于 ； C： 的个位数字是 6； D：我知道 所以我估计 比 大． 其中对的理解错误的网友是： (填写网名字母代号). 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）以下是小明计算的过程． 解：原式 ． (1)小明的计算过程是从第_______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的过程． 【知识点二】整式的乘法 运算法则 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘； 单项式乘多项式：m（a+b+c）= ma+mb+mc； 多项式乘多项式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。 ★【题型 6】基础运算：直接计算 【例题6】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·广东汕头·月考）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 【变式3】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)． ★【题型 7】化简求值：先化简整式，再代入数值计算 【例题7】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如果，那么代数式的值为（   ） A．14 B．9 C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）若，，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·期末）先化简，再求值：，其中，． ★【题型 8】几何应用：根据图形面积列出整式乘法表达式并化简。 【例题8】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【变式1】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，某长方形草坪的长为米，宽为米，则草坪的面积为 平方米． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． ★【题型 9】公式逆用 【例题9】（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若，则（   ） A．1 B．-1 C．-5 D． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【知识点三】乘法公式 ★【题型 10】凑形应用：利用乘法公式简便计算。 【例题10】（25-26八年级上·山东济宁·期末）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【变式2】（25-26六年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： ． 【变式3】（25-26八年级上·天津宝坻·月考）用简便方法计算 (1) (2) ★【题型 11】变形求值：利用完全平方公式变形求值 【例题11】（2025八年级上·全国·专题练习）若，，求： (1)， (2)． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知，，那么（    ） A．19 B．25 C．31 D．73 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，，则 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 ★【题型 12】几何背景：用图形面积解释乘法公式的几何意义 【例题12】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图①，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若将图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图②所示的一个长方形． (1)根据这两个图形的面积关系，可以得到一个乘法公式为：_____； (2)利用你得到的公式计算：； (3)若将图①中边长为的大正方形南北向减少2，东西向增加2，可得到一个长方形，如图③，则这个长方形的面积是_____． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系可得到的数学公式是 ． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ； 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． ★【题型 13】综合运算：在混合运算中识别并使用公式 【例题13】（25-26八年级上·海南海口·期末）计算 (1)； (2)： (3)先化简，再求值：，其中， 【变式1】（2025·辽宁抚顺·一模）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）从前，有一个狡猾的地主把一块边长为的正方形土地租给马大伯耕种．过了一年，他对马大伯说：“我把租给你的这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马大伯一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马大伯吃亏了，他亏了 ． 【变式3】（25-26八年级上·山东日照·月考）计算： (1)； (2)． 【知识点四】整式的除法 运算法则 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除 多项式除以单项式：(ma+mb+mc)÷m=a+b+c ★【题型 14】基础运算 【例题14】（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·月考）一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·月考）一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是 ． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算： (1) (2) ★【题型 15】化简求值：先化简再代入 【例题15】（24-25七年级下·江西赣州·月考）化简并求值：，其中．下面是小明化简的过程，请你仔细阅读，并完成下列问题： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 (1)小明化简的过程从第_______步开始出现了错误． (2)请你完成此题的化简与求值． 【变式1】（25-26七年级上·全国·周测）对于有理数，定义，则将化简后得（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】若，，则化简的结果为 ，计算的结果为 ． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）先化简，再求值 (1)，其中． (2)化简求值，其中 二.综合培优题型精析 ★★【题型 16】乘法公式的综合运算 【例题16】（25-26八年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的有 ．（选序号） ①若，则满足条件x的值有3个． ②若，，则用含x的代数式表示y为． ③已知，则的值是34． 【变式3】（24-25九年级上·重庆·月考）计算 (1) (2) (2) (3) (4)为正整数） ★★【题型 17】整式运算与化求值综合 【例题17】（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【变式1】化简求值，其中，时，结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】小明同学在做数学作业时发现一道数学题有部分内容被墨水污染了：“先化简，再求值， 其中＝“■”小明翻开答案看到这题的结果是7.  你能帮他确定出被墨水污染了的部分内容“■”＝ ． 【变式3】（2024七年级下·浙江·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． ★★【题型 18】整式运算与几何面积综合 【例题18】（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 【变式2】（25-26八年级上·北京门头沟·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是 ． 【变式3】（25-26八年级上·重庆璧山·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． ★★【题型 19】整式运算规律问题探究 【例题19】（25-26八年级上·四川资阳·月考）观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得______（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：． （3）计算：； 【变式1】我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） 1   1                  1   2   1              1   3   3   1          1   4   6   4   1      …                                         …                  请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）观察下列等式：，，，……．利用你发现的规律回答：若，则的值是 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n(，且n是整数)，个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(，且n是整数)，其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 三.中考模拟真题专练 （一）选择题（8题） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·中考真题）下列运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川凉山·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题（8题） 9．（2025·江苏常州·中考真题）太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为 ． 10．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 11．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 12．（2024·重庆·中考真题）计算： ． 13．（2024·上海·中考真题）计算： ． 14．（2023·青海西宁·中考真题）计算： ． 15．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 16．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． （三）解答题（2题） 17．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 18．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.13 整式的乘除（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】幂的乘除 1 ★【题型 1】基础计算 2 ★【题型 2】混合运算 4 ★【题型 3】逆用公式 5 ★【题型 4】科学记数法 7 ★【题型 5】判断正误 8 【知识点二】整式的乘法 11 ★【题型 6】基础运算：直接计算 11 ★【题型 7】化简求值：先化简整式，再代入数值计算 13 ★【题型 8】几何应用：根据图形面积列出整式乘法表达式并化简。 14 ★【题型 9】公式逆用 17 【知识点三】乘法公式 19 ★【题型 10】凑形应用：利用乘法公式简便计算。 19 ★【题型 11】变形求值：利用完全平方公式变形求值 21 ★【题型 12】几何背景：用图形面积解释乘法公式的几何意义 23 ★【题型 13】综合运算：在混合运算中识别并使用公式 27 【知识点四】整式的除法 29 ★【题型 14】基础运算 29 ★【题型 15】化简求值：先化简再代入 31 二.综合培优题型精析 34 ★★【题型 16】乘法公式的综合运算 34 ★★【题型 17】整式运算与化求值综合 38 ★★【题型 18】整式运算与几何面积综合 41 ★★【题型 19】整式运算规律问题探究 45 三.中考真题 50 （一）选择题（8题） 50 （二）填空题（8题） 53 （三）解答题（2题） 55 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】幂的乘除 运算法则 （1）同底数幂相乘法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （3）积的乘法运算法则：积的乘方等于乘方的积 （4）同底数幂相除运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 （5）零指数与负指数运算法则 ★【题型 1】基础计算 【例题1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，幂的混合运算，包括零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先进行零指数幂和乘法运算，再进行加减即可； （2）先进行同底数幂相乘和幂的乘方，再合并同类项即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·江苏·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，根据指数运算法则，先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除运算，注意符号处理． 解：首先，计算（因为负数的偶次幂为正）， 然后，计算， 接着，计算 ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】此题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，同底数幂的乘除，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，然后计算加减； （2）首先计算同底数幂的乘除，然后计算加减． （1）解： ； （2）解： ． ★【题型 2】混合运算 【例题2】（23-24八年级上·吉林长春·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项运算法则求解即可； （2）将看成整体，利用同底数幂的乘除法运算法则求解即可． （1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 【变式1】（2025·安徽宿州·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． A、与不是同类项，不能合并，所以选项A错误，不符合题意； B、，所以选项B正确，符合题意； C、，所以选项C错误，不符合题意； D、，所以选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（22-23七年级下·重庆大渡口·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算法则进行计算； （2）根据积的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法运算法则进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了乘方混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． ★【题型 3】逆用公式 【例题3】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解即可； （2）根据同底数幂乘法和除法的逆运算法则求解即可． （1）解：， ． （2）解：，，， ． 【变式1】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆用； 利用指数运算的性质，将所求表达式分解为已知指数的形式，再代入数值计算． 解：∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和除法，利用同底数幂的乘法法则和除法法则，将所求表达式转化为已知值进行计算． 解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键； （1）根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解； （2）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解． （1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵， 又， ∴， ∴． ★【题型 4】科学记数法 【例题4】（2026七年级下·全国·专题练习）水由氢，氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是多少（单位：）？ 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键．根据一个水分子的质量两个氢原子的质量一个氧原子的质量，即可得出答案． 解：， 答：一个水分子的质量大约是． 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）若用科学记数法可表示为，则n的值为（    ） A．8 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 解：， ∴ 故选D． 【变式2】（25-26七年级上·河南商丘·期末）《哪吒之魔童闹海》是中国影史首部百亿票房影片，为在影片中呈现细腻的法术光芒，在特效制作中对单个粒子的渲染精度要求极高，其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，其中数据0.0000025用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是整数，n的绝对值等于小数点移动的位数． 解：． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河北邯郸·月考）科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键． （1）根据一个水分子的质量=两个氢原子的质量+一个氧原子的质量列式即可； （2）将，代入计算即可． （1）解：由题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ． ★【题型 5】判断正误 【例题5】（24-25七年级下·全国·周测）阅读下列解答过程，回答问题： (1)上述过程中有错误，从第______（填序号）步开始出错，原因是__________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)，同底数幂相除，底数不变，指数相减 (2)见解析 【分析】本题考查了乘方，同底数幂的乘法和除法法则，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则即可解答； （2）根据乘方，同底数幂的乘法和除法法则计算即可． （1）解：上述过程中有错误，从第步开始出错，原因是：同底数幂相除，底数不变，指数相减， 故答案为：，同底数幂相除，底数不变，指数相减； （2）解：原式， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐项判定即可． 解：A. ，运算正确，不符合题意； B. ，运算正确，不符合题意； C. ，运算正确，不符合题意； D. ，原运算错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，通常，一个“二维码”由个大大小小的黑白小方格组成，这个方格中只有个方格作为数据码，据相关数学知识，这个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对 的理解如下： A：就是个相乘，它是一个非常非常大的数； B： 等于 ； C： 的个位数字是 6； D：我知道 所以我估计 比 大． 其中对的理解错误的网友是： (填写网名字母代号). 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等根据乘方的含义即可判断A的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断B的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断C的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断D的理解是正确的． 解：是200个2相乘，A的理解是正确的； ，B的理解是错误的； ， 2的乘方的个位数字4个一循环， ， 的个位数字是6，C的理解是正确的； ，，且 ，故D的理解是正确的； 故答案为：B． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）以下是小明计算的过程． 解：原式 ． (1)小明的计算过程是从第_______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的过程． 【答案】(1)； (2)过程见解析． 【分析】（）根据幂的乘方即可求解； （）根据同底数幂的乘法，幂的乘方和合并同类项法则进行求解即可； 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）解：小明的计算过程是从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解：原式 ． 【知识点二】整式的乘法 运算法则 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘； 单项式乘多项式：m（a+b+c）= ma+mb+mc； 多项式乘多项式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。 ★【题型 6】基础运算：直接计算 【例题6】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）使用乘法分配律将单项式与多项式相乘，展开后合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． （1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·广东汕头·月考）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则，逐一进行判断即可． 解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1） ； （2）这道整式乘法的正确结果是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式的乘法．根据嘉淇抄错符号后计算的多项式展开，比较所得结果与给定错误结果的系数，可求出的值，再代入原式计算正确结果． 解：（1）嘉淇抄错符号后计算的是， 展开得： 给定错误结果为，比较常数项： 解得： 验证一次项系数：当时，，与错误结果一次项系数一致， 故． （2）正确原式为，代入： 故答案为（1）5；（2）． 【变式3】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则，掌握知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可． （1）解： ； （2）解： ． ★【题型 7】化简求值：先化简整式，再代入数值计算 【例题7】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了完全平方公式和多项式的乘法，求代数式的值等知识，利用完全平方公式和多项式乘法法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 解：原式， 当时， 原式． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如果，那么代数式的值为（   ） A．14 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，将代数式化简后再整体代入即可得到答案，解题的关键是熟练掌握运算法则． 解：， ， ， ， 原式， ， ， 故选： A． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．将原式展开，将已知条件整体代入计算即可． 解：若，， 则， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题考查整式的混合运算和化简求值，涉及多项式乘多项式法则、平方差公式及合并同类项法则．关键是先通过整式运算将原式化简为最简形式，再代入已知的、的值计算结果． 解： ． 再代入，求值，原式． ★【题型 8】几何应用：根据图形面积列出整式乘法表达式并化简。 【例题8】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． （1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 【变式1】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，某长方形草坪的长为米，宽为米，则草坪的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据草坪的面积等于长×宽进行列式计算，即可作答． 解：∵某长方形草坪的长为米，宽为米， ∴ ∴草坪的面积为平方米． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【答案】(1) (2)475平方米 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式． （1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可； （2）将米，米代入求解即可． （1）解： ； （2）解：∵米，米， ∴（平方米）． ★【题型 9】公式逆用 【例题9】（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． （1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若，则（   ） A．1 B．-1 C．-5 D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，代数式求值，根据多项式乘多项式的运算法则把所给等式的左边展开，进而得到m、n的值，再代入求值即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． （1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 【知识点三】乘法公式 ★【题型 10】凑形应用：利用乘法公式简便计算。 【例题10】（25-26八年级上·山东济宁·期末）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握和运用完全平方公式及平方差公式是解题的关键． （）利用平方差公式进行计算，即可求得结果； （）利用完全平方公式进行计算，即可求得结果． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将式子变形后利用平方差公式计算即可． 解： ， 故选：B． 【变式2】（25-26六年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式识别为完全平方公式的形式，从而简化计算． 解：， ， ， ， ， 故答案为 1． 【变式3】（25-26八年级上·天津宝坻·月考）用简便方法计算 (1) (2) 【答案】(1)9996 (2)1 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． （1）解：； （2）解： ． ★【题型 11】变形求值：利用完全平方公式变形求值 【例题11】（2025八年级上·全国·专题练习）若，，求： (1)， (2)． 【答案】(1)37 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据代入求值即可； （2）先根据求出，然后求出的值即可． （1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）已知，，那么（    ） A．19 B．25 C．31 D．73 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过整体代入法求解的值，无需单独求出、的具体值． 解：∵完全平方公式为． ∴移项可得． ∵，． ∴代入得． 故选：B 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握此公式是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件代入求解即可． 解：根据完全平方公式，有， 已知， 所以， 又已知，则， 因此， 移项得， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． （1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． ★【题型 12】几何背景：用图形面积解释乘法公式的几何意义 【例题12】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图①，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若将图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图②所示的一个长方形． (1)根据这两个图形的面积关系，可以得到一个乘法公式为：_____； (2)利用你得到的公式计算：； (3)若将图①中边长为的大正方形南北向减少2，东西向增加2，可得到一个长方形，如图③，则这个长方形的面积是_____． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的推导，利用平方差公式进行计算，利用面积建立等量关系是解答此题的关键． （1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据长方形面积公式列出算式，利用平方差公式进行计算即可． （1）解：根据题意可得，图1阴影部分的面积为： ， 图2长方形的长为：， 图2长方形的宽为：， 面积为：， ∴可以得到一个乘法公式为：； （2）解： ； （3）解：根据题意得，这个长方形面积为： ． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系可得到的数学公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．分别用代数式表示图①、图②中阴影部分的面积即可． 解：根据图②可以观察出图①阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图②中，阴影部分的面积为， ∴， 即． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ； 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于任务1，根据面积公式计算可得答案； 对于任务2，根据面积相等可得答案； 对于任务3，将数值代入计算即可得出答案． 解：任务1：大正方形的面积减去4个小长方形的面积；正方形的面积； 故答案为：；； 任务2：根据面积相等得； 故答案为：； 任务3：由上面的结论可知， ∵， ∴原式， ．     所以． ★【题型 13】综合运算：在混合运算中识别并使用公式 【例题13】（25-26八年级上·海南海口·期末）计算 (1)； (2)： (3)先化简，再求值：，其中， 【答案】(1) (2) (3)11 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值， 对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，再根据整式的加减法计算； 对于（2），根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可； 对于（3），先根据整式的混合运算法则计算，再将数值代入求值即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当，时， 原式． 【变式1】（2025·辽宁抚顺·一模）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的混合运算．利用单项式乘以多项式和平方差公式展开，再合并同类项即可． 解： 故选：D 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）从前，有一个狡猾的地主把一块边长为的正方形土地租给马大伯耕种．过了一年，他对马大伯说：“我把租给你的这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马大伯一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马大伯吃亏了，他亏了 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算．由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可． 解：∵原来正方形土地的面积是平方米， 现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米， ∴平方米， ∴马大伯租用的土地面积亏了25平方米， 故答案为：25． 【变式3】（25-26八年级上·山东日照·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括幂的运算（如幂的乘方、积的乘方）和乘法公式（如完全平方公式、平方差公式）的应用． （1）先计算幂的乘方、积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，再合并同类项； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项． （1）解： （2）解： 【知识点四】整式的除法 运算法则 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除 多项式除以单项式：(ma+mb+mc)÷m=a+b+c ★【题型 14】基础运算 【例题14】（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简求值：，其中，． 【答案】，值为3 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值．先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可． 解： 当，时， 原式． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·月考）一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，需利用多项式除以单项式的法则，分别计算被除式与商中被污染的项． 解：∵被除式第一项为，除式为， ∴商的第一项为， 设被除式中被污染的项为， ∵商的中间项为，且， ∴， ∴ ， 综上，被污染的内容为和，对应选项D； 故选：D 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·月考）一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，设多项式为 ，根据题意列出方程，通过代数运算求解即可． 解：设这个多项式为 ， 依题意得：， 移项得：， 两边同除以 （）：， 验证：，符合题意． 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算乘除即可； （2）利用多项式除以单项式运算法则和平方差公式分别把括号展开，然后再合并同类项即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ★【题型 15】化简求值：先化简再代入 【例题15】（24-25七年级下·江西赣州·月考）化简并求值：，其中．下面是小明化简的过程，请你仔细阅读，并完成下列问题： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 (1)小明化简的过程从第_______步开始出现了错误． (2)请你完成此题的化简与求值． 【答案】(1)一 (2)；． 【分析】本题考查整式混合运算，平方差公式和完全平方公式化简求值，熟记运算法则及平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式判断即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式及多项式除以单项式运算法则化简，再将代入计算即可． （1）解：小明化简的过程从第一步开始出现了错误，原因是完全平方公式运用错误； （2）解：原式 ； 当，原式． 【变式1】（25-26七年级上·全国·周测）对于有理数，定义，则将化简后得（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据新定义的运算规则，先计算内层的，再将结果与进行新定义运算，逐步化简得出最终结果． 原式， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算和整式的化简，掌握新定义的运算规则并按照运算顺序逐步计算是解题的关键． 【变式2】若，，则化简的结果为 ，计算的结果为 ． 【答案】 ， 【分析】根据整式的混合运算法则先化简代数式，再将字母的值代入求值即可．       当a=2019时，原式=-2019 故空1答案为：-a；空2答案为：-2019 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，代数式求值，完全平方公式，以及单项式除以单项式，正确的计算是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）先化简，再求值 (1)，其中． (2)化简求值，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质． （1）先根据单项式与多项式的乘法法则、乘法公式化简，再去括号合并同类项，然后把代入计算； （2）先根据整式的运算法则化简，再根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可． （1）解：原式 ， 当，b＝－1时， 原式 ； （2）解：原式 ＝ ＝ ＝， ∵， ∴， ∴， 原式． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 16】乘法公式的综合运算 【例题16】（25-26八年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，将103表示为100与3的和进行计算； （2）先将5化为6-1，再连续应用平方差公式逐步化简式子． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】第（1）题：核心技巧是凑整 + 完全平方公式，将接近整百的数拆分，简化计算；第（2）题：核心技巧是构造平方差公式，通过将 5 转化为 6−1，连续使用平方差公式，实现 “连锁化简”． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题可通过换元法结合完全平方公式的变形进行求解，利用完全平方公式中平方和与乘积的关系转化计算． 解：设， ∵，且 又∵ ∴ 即 移项得 ∴ 即 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的有 ．（选序号） ①若，则满足条件x的值有3个． ②若，，则用含x的代数式表示y为． ③已知，则的值是34． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了零指数幂、有理数的乘方、幂的变形、换元法与完全平方公式的应用，熟练掌握分类讨论思想和代数变形技巧是解题的关键． 本题需对三个说法逐一判断： ①根据非零数的0次幂为1 ，1的任何次幂为1， 的偶次幂为1三种情况，求解方程． ②通过幂的变形，将转化为的表达式，再代入得到关于的代数式． ③利用换元法，设，将已知方程转化为关于的方程，求解即的值． 解：①∵当时，，此时，成立， ∴是一个解， 当时，，此时指数为奇数，，不成立， 当时，底数为0，无意义，不成立， ∴满足条件的值只有1个，故①错误； ②∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③，则，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴，故③正确 故选：②③． 【变式3】（24-25九年级上·重庆·月考）计算 (1) (2) (2) (3) (4)为正整数） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据乘法分配律的逆运算法则把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （3）先利用积的乘方计算法则把原式变形为，再利用平方差公式分别计算得到，再利用多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （4）利用平方差公式把原式变形，然后计算求解即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ★★【题型 17】整式运算与化求值综合 【例题17】（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①平方差公式或完全平方公式或或（写出1种即可）；②一，丢了括号或去括号时符号出错（合理即可）；③-16 【分析】（1）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）①平方差公式或完全平方公式； ②根据去括号法则可知第一步出现了错误； ③根据整式的混合运算顺序解答即可． 解：（1）原式 （2）①第一步运算用到了乘法公式或； 故答案为：或． ②以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：一；去括号时符号错误． ③ 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 【变式1】化简求值，其中，时，结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式乘以多项式、多项式除以单项式、去括号法则、合并同类项运算对代数式先化简，再将，代入化简结果求值即可得到答案． 解： ， 当，时， 原式 ， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式化简求值，涉及多项式乘以多项式、多项式除以单项式、去括号法则、合并同类项运算、有理数混合运算等知识，掌握相关运算法则是解决问题的关键． 【变式2】小明同学在做数学作业时发现一道数学题有部分内容被墨水污染了：“先化简，再求值， 其中＝“■”小明翻开答案看到这题的结果是7.  你能帮他确定出被墨水污染了的部分内容“■”＝ ． 【答案】5 【分析】先进行化简，令化简的代数式等于7求得a值即可 ∵ = = =4a-13， ∴4a-13=7， 解得a=5， 故答案为：5 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，整式的加减，一元一次方程，熟练运用乘法公式化简，构造一元一次方程求解是解题的关键． 【变式3】（2024七年级下·浙江·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）中括号内先根据完全平方公式与平方差公式展开，合并同类项，再做中括号外的除法，最后代入数据求值即可； （2）将拆分项变形，整体代入，再变形整体代入化简即可． （1）原式 ， 将，代入， 则原式． （2）， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，合并同类项，多项式除以单项式，折分项，整体代入求值，是解题的关键． ★★【题型 18】整式运算与几何面积综合 【例题18】（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式与几何图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可． 解：根据题意，得，， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·北京门头沟·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，数形结合，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键．由题意得出，表示出，即可得出答案． 解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级上·重庆璧山·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． （1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． ★★【题型 19】整式运算规律问题探究 【例题19】（25-26八年级上·四川资阳·月考）观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得______（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：． （3）计算：； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平方差公式，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的等式的形式，把所求的式子转化成为所给的等式的形式． （1）由题干信息归纳总结可得答案； （2）把原式乘以，使之符合（1）中归纳出的公式特点，再利用公式进行计算即可； （3）先把原式化为：，使之符合（1）中归纳出的公式特点，再利用公式进行计算即可． 解：（1）由题意总结归纳可得： ， 故答案为：； （2） ； （3） ． 【变式1】我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） 1   1                  1   2   1              1   3   3   1          1   4   6   4   1      …                                         …                  请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042 【答案】D 【分析】先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项，写出系数即可 解：根据规律可以发现：第一项的系数为1，第二项的系数为2021， ∴第一项为：x2021， 第二项为： 故选：D 【点睛】本题考查杨辉三角多项式乘法找规律的问题，观察发现式子中的规律是关键 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）观察下列等式：，，，……．利用你发现的规律回答：若，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据等式规律，推导出 ，再计算 的值； 本题考查了利用乘法公式进行推导，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 解：由已知等式规律可得 ， ∵ ， ∴ ， 解得 即， 因此 故答案为 ：1． 【变式3】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n(，且n是整数)，个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(，且n是整数)，其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 【答案】课本再现：见解析；（1），；（2），；证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 课本再现：根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）根据题目给出的等式，即可发现规律； （3）由题意得，，运用（2）中的规律得出计算结果即可． 解：课本再现： ； （1）∵， ， ， ……， ∴， 故答案为：，； （2）∵其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)， ∴另外一个两位数的个位数字为， 一般规律是； 证明： ； 故答案为：，； （3）由题意得，， ∴． 三.中考模拟真题专练 （一）选择题（8题） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 解： ， 故选：C． 2．（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 解：A．与的指数不同，无法直接相加，故A计算错误； B．，原计算正确，符合题意； C．，原选项计算错误，故不符合题意； D．，原选项缺少项，故D错误． 故选：B． 3．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 4．（2025·湖北·中考真题）下列运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，逐一计算各选项的结果，判断是否为. 解：A. ，结果为，非， B. ，结果为，非， C. ，结果为，符合题意， D. ，结果为，非； 故选：C 5．（2025·四川凉山·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方运算．直接根据积的乘方运算法则求解即可． 解：， 故选：C． 7．（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 8．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． （二）填空题（8题） 9．（2025·江苏常州·中考真题）太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 解：数据700000用科学记数法表示为． 故答案为：． 10．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 解： ， 故答案为：． 11．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故选：． 12．（2024·重庆·中考真题）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，分别计算绝对值和零指数幂，然后相加即可． 解：因为，， 所以； 故答案为 3． 13．（2024·上海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 解：， 故答案为：． 14．（2023·青海西宁·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据积的乘方和单项式的乘法计算即可． 解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则． 解：根据新定义可得： ， 故答案为：． 16．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． （三）解答题（2题） 17．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 解： ． 18．（2024·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到，由所给条件得到，整体代入，即可得到结果． 解： ， ， ， ∴原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $