黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年度高二年级第二学期开学考试数学试题

2025~2026学年度高二年级第二学期开学考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 脚 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章，第十章，选择性必修第一册第二章，第三 章，选择性必修第三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 的 题目要求的， 1.样本数据70,95,100,88,90,92,90,85,86,94的第75百分位数与极差的差为 A67 B.66 C65 D.64 2.已知A,B,C三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从A地到C地不同路线的条数是 T A.5 B.6 C.7 D.8 3.设随机变量X~N(4,9),若P(X>b一1)=P(X<8-4b),则b= A.1 B.0 c- D.-1 4.已知直线l1:ax一4y十3=0与直线l2:x-(a十3)y十3=0平行，则实数a的值为 A.-4 B.1 C.-1 D.-4或1 5.已知(2x一1)"的二项式系数之和为32，则展开式中x2的系数为 A.-80 B.-40 C.40 D.80 6.某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号1,2,3,4四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小 球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等 奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是 A4 B是 c品 D号 【高二年级开学考试·数学第1页（共4页）】 26-X-463B 扫描全能王创建 7.某社区组织文化活动，现有书法艺术展示、传统戏曲表演、民间手工艺制作、古典诗词朗诵、现 代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个 项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动 组织，则不同的分配方法种数为 A.1500 B.1800 C.2100 D.2400 8.已知直线l1:2ax十y一4a-4=0与l2:x一2ay+4a-4=0相交于点P,则点P到直线x一 y十4=0的距离的最大值为 A√2 B.2√2 C.32 D.42 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按[40,50)， [50,60),[60,70),…,[90,100]分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于 60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是 A.m=0.030 4频率 组距 B.估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数 .--0.025 为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表） C.估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数 0.015 为78 0.010 0.005 D.从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有 0405060708090100综合指标值 15000件 10.已知随机事件A,B,C满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.3,且事件C与A,B相互独 立，则下列说法正确的是 A.若A与B相互独立，则P(AUB)=0.9 B.若P(A∩B)=0.4,则A与B相互独立 C.若A与B互斥，且C与A十B也相互独立，则P((A十B)C)=0.25 D.若A与B相互独立，且C与AB也相互独立，则P(ABC)=0.12 1.已知双曲线C:号-少=1的左、右焦点分别为F,F2,过点F,且斜率为的直线L与双曲线 C的左支交于A,B两点，P为C的右支上一点（异于右顶点），△PFF2的内切圆圆心为N, 则下列结论正确的是 Ak的取值范围为(-∞，一3)U(行，+∞) B若PRl·|PF=9,则∠RPF,- C.以PF1为直径的圆与圆x2十y2=9相切 D.若PF·PF2=0,则点N的坐标为(3，√10-3)或(3,3-√10) ☒ 【高二年级开学考试·数学第2页（共4页）】 26-X-463B 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变tX~B(m,号)，若D(2X+3)=32,则m=」 13.已知随机事件A,B互相独立，且满足P(A+B)=子，P(AB)=号，则P(B1A)= 14.现有30张彩票，其中有3张中奖彩票，从中任取n(n≤30)张，若这n张彩票中至少有1张中 奖的概率大于，则n的最小正整数值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的 顾客，得到如下列联表 性别 满意 不满意 合计 男性 40 40 80 女性 80 40 120 合计 120 80 200 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有 关联； (2)从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的 概率。 n(ad-bc)2 附：X=a+b+0a+c6+dn=a+b+c+d, 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16.(本小题满分15分) 已知圆C:(x一2)2+(y十1)2=4，直线1过原点O(0,0) (1)若直线l与圆C相切，求直线L的方程； (2)若直线L与圆C交于A,B两点，当△ABC的面积最大时，求直线1的方程， 【高亡年级开学考试数学第3页（共4页）】 26-X-463B 扫描全能王创建 17.(本小题满分15分) 某公司投资某款电动玩具的宣传费x(单位：十万元)和销量y(单位：百万件)如表所示： 宜传费x(十万元) 3 销量y(百万件) 2.5 3 4.5 (1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； (2)若甲、乙两人购买这款电动玩具的概率分别为p,3印一2（号<p<1),且甲，乙是否购买 这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总 金额的期望不超过120元，求p的取值范围， 参考公式：经验回归方程y=x十a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b= 盈w,-n5 a=y-bx. 18.(本小题满分17分) 甲，乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个， 标号为1的有3个，标号为2的有m个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概 率是元 (1)求m的值： (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用X表示这两个小球的标号之和，求X的分布列和期望， 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C焉+带=1（®>6>0）的左右焦点分别为F,F,离心率为，点(5,1)在C 上，抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点为F2. (1)求C1和C2的方程； (2)若点H在C1上，且∠F1HF2=60°，求△F1HF2的面积； (3)过点P(W3,0)的直线1与C,交于A,B两点，与C相交于M,N两点，试判断PA十 PB平十PM+PN是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【稿二年级开学考试数学第4页（共4页）】 26-X-463B 扫描全能王创建 回宾2025~2026学年度高二年级第二学期开学考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D将样本数据按从小到大排列为70,85,86,88,90,90,92,94,95,100，共10个数据，且10×75%=7.5，故 样本数据的第75百分位数为第8个数，即94，极差为100一70=30，所以样本数据的第75百分位数与极差的 差为94一30=64.故选D 2.C由图知，从A地到B地的道路有2条，从B地到C地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从A地经 过B地到C地不同的路线共有2×3=6条；从A地不经过B地到C地的路线有1条，根据分类加法计数原 理可得，从A地到C地不同的路线共6+1=7条.故选C 3.C由正态分布关于均值对称，知么-)士8-地=4，解得6=一子故选C 2 4.A因为直线l1与直线l2平行，所以a×[-(a十3)]一1×(-4)=0，解得a=一4或a=1.当a=-4时，直线 1:一4x一4y十3=0，直线l2:x十y十3=0，满足题意；当a=1时，直线1：x一4y十3=0，直线l2:x一4y十3= 0,两直线重合，舍去.综上所述，Q=一4.故选A 5.B由题知，2=32，解得n=5,所以(2.x一1)5的展开式的通项为T,+1=Cg(2x)5-'(-1)'=Cg(一1)'2-'x- (r=0,1,2,3,4,5),令5-r=2,得r=3,所以x2的系数为T4=C%(-1)32-3=-40.故选B. 6.D因为每次取球都有4种可能，且取2次，根据分步乘法计数原理，总的基本事件数n=4×4=16种，小球 号码之和等于7的情况有(3,4)，(4,3)，共2种情况：号码之和等于6的情况有(2,4)，(4,2)，(3,3)，共3种情 况；号码之和等于5的情况有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，共4种情况，所以中奖的情况数m=2+3+4=9 种，所以中奖的概率为P=。故选D 7.B先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各一组，共有C=15种分法，再将这5组全排 列，对应5个项目，有A=120种排法，所以不同的分配方法种数为15×120=1800种.故选B. 8.C由题知直线l1:2a(x一2)+y一4=0过定点A(2,4),直线l2:x一4一2a(y-2)=0过定点B(4,2),且U1 4,所以点P的轨迹是以AB为直径的圆.又AB的中点坐标为(3,3)，半径，=AB1=②-4)于(4一2乎 2 2 =√，所以圆的方程为(x-3)+(y一3)2=2.因为圆心(3,3)到直线x-y十4=0的距离为3-3+4山 √2 2√2，所以点P到直线x一y十4=0距离的最大值为2√2十√2=3√2.故选C. 9.ABD由10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1,得m=0.030,A正确：平均数为45×0.1+ 55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71,所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指 标值的平均数为71，B正确；因为0.1+0.15+0.15=0.4<0.5,0.1十0.15十0.15十0.3=0.7>0.5，所以中 位数在第4组，设中位数为，则0.1+0.15十0.15十0.03(1-70)=0.5，解得m=220≈73.33，所以可以估计 3 该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为73.33，C错误；由频率分布直方图可知100件零件中二等 品有100×(0.001+0.015)×10=25件，一等品有100一25=75件，故从该厂随机抽取20000件该款零件， 则等品的有2000×点=150作，D正确，放法ABD 10.ABD因为事件A与B相互独立，所以事件A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.5X0.8=0.4, 因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.8-0.4=0.9,A正确；P(AUB)=1-P(A∩B)=0.6, 又P(A)=0.5,P(B)=0.2,所以P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.1,又P(A)P(B)=0.1,所以 P(A∩B)=P(A)P(B),即A与B相互独立，B正确：因为A与B互斥，所以P(A十B)=P(A)十P(B)= 0.5+0.2=0.7,又因为C与A+B相互独立，所以P(A+B)C)=P(A+B)P(C)=0.7X0.3=0.21,C错 误；因为A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.5×(1-0.2)=0.4,又因为C与AB相互独立，所 以P(ABC)=P(AB)P(C)=0.4×0.3=0.12,故D正确.故选ABD. 1.AC由题知，a=3,=1,c=干=√而，C的渐近线的斜率为士号.因为直线1与C的左支交于A,B 两点，所以k的取值范围为(-∞，一号)U(号，+∞)，A正确：由双曲线定义得PF-PF,=2a=6, 【高二年级开学考试·数学参考答案第1页（共4页）】 26-X-463B 设PF=m,PF=,则m一n=6,mm=9,在△FPF:中由余弦定理，知cos∠F,PF,=m十-(2 2m12 -mmm-4c-36+&40-子，所以∠FPP≠经，B错误：设PF,的中点为M.又圆+y 2mn 18 9的圆心为O0,0),半径=3，OM=PF,又PE=6+PF,以PF为直径的圆半径为R 名PF=3+PE,,所以两圆的圆心距OM=PF,=R-,所以两圆内切，C正确：由P元·P元- 0,知∠FPF:=交，设△PFF内切圆与x轴切点为Q,由内切圆性质可得1PF|+PF-|FF= 2OQ,PF1-|PF2|=6,|F1F2=2√I0,解得OQ=3,所以点N的横坐标为3.设|PF|=p, 1PE引=gg=6,少十(=0.可得网=2，b+g=2万，则内切圆半径/十品2=个-而，所 以点N的坐标为(3，√T-√0)或(3，√0-√厅)，D错误.故选AC. 12.36由题知DX=m×分×(1-3)=2，所以D(2X+3)=4D(X)=4×2=32,解得m=36. 9 13.是因为A,B互相独立，所以PAB)=PA)=号.又因为PA十B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,把 PA)=号代人可得：号+P)-号PB)=子，放PB)=号P(B=1-PB)=最由A,B相互独立， 得PBAD=PB)= 146由题如张彩票态不中奖“的概率为号放张彩系中至少有1张中奖"的概率为1-急由1一誉> 号，相号<分即308》<分当n=5时，毫-路炎器5>：当a=6时， 25×24×23 30×29X28 C22-24×23×22 之=0x292器≈0.49<号，所以n的最小正整数值为6. 15.解：(1)零假设为H。:顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别无关. 1分 经计算得2=200X(40X40-80X40）≈5.5563.841，…万 80×120×120×80 依据小概率值Q=0.05的独立性检验，推断零假设H不成立，…7分 即顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.…8分 (2)由题意，从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人， 结合2×2列联表可得，对该款坚果礼盒满意的员工共120人，其中男性有40人，女性有80人，…10分 抽取2人至少有1名女性的概岸为P=1急-器 ……13分 16.解：(1)①当直线l的斜率不存在时，直线l为x=0,显然符合直线与圆相切； …2分 ②当斜率存在时，设直线为y=kx,圆C的圆心坐标为(2，一1)， 圆心到直线1的距离d=2k+ …4分 √/1+ 由题知直线1与圆C相切，则2出=2，解得k=是， √1+k 所以直线1的方程为y=是。 6分 综上所述，直线1的方程为x=0或y=子x …7分 (2)直线l的斜率不存在时，直线l为x=0与圆相切，不符合题意，故直线（斜率必存在，…8分 设直线l的方程为y=nx, 圆心到直线的距离d=2m+,弦长1AB=2P一正=2√4d, 10分 /1+m2 所以Saw=AB…d=4-d=(d-2)+4,… 12分 【高二年级开学考试·数学参考答案第2页（共4页）】 26-X-463B 当d=2时，面积S最大， 此时2m凸=厄，整理得2m+4m一1=0，解得m=二2生6 14分 /1+m 2 所以直线1的方程y=25x或y=一2，压 2 2 15分 17.解：(10由题知饭=3+4+5+6=4.5，y=2.5+34+4.5=3.5,… 1分 4 5y=6.5,2=86, 2分 所以6=66.54X45×3.5=0.7,… …4分 86-4×4.52 所以a=y-6元=3.5-0.7X4.5=0.35,… 5分 所以y关于x的经验回归方程为y=0.7x十0.35.… 6分 (2)设甲、乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为X, 则X的所有可能取值为0,1,2，…… …7分 又P(X=0)=(1-)(3-3p)=3(1-)2, P(X=1)=p(3-3)+(1-)(3p-2)=-6p2+8p-2, P(X=2)=p(3p2)=3p2-2p,…9分 所以E(X)=-6p2+8p-2+6p2一4p=4p-2,，… 11分 E(80X)=80(4p-2),… 12分 令E80X<120,即804p-2)<120,解得力<日 14分 又号<p<1,所以力的取值范用为（号，号]， 15分 18.解：(1)从一个袋子中任取两个球的总组合数为C24=m十4(m十3) 2 1分 取到两个标号为2的球的组合数为C=m)一)， 2 …2分 m(m-1) 2 由取到的标号都是2的概率是玉得心一7 (m+4)(m+3)-15, 4 分 2 整理得7m㎡2-11m-6=0,解得m=2或m=-多（舍去）. 6分 (2)设事件A表示“其中一个标号是1”，事件B表示“另一个标号也是1” 因为PA=1-智=1-是-专PAB-8-是号 8分 1 所以P(BA)=PCAB)=51 P(A) 10分 4 4 6 (3)X的可能取值为0,1,2,3,4.…11分 P0X=0)=号×合=6， PX=2)=6×号+号×+×-品， 1 PX=3)=×号+号×是品=， PX=40号×号-斋日 13分 所以X的分布列为： 【高二年级开学考试·数学参考答案第3页（共4页）】 26-X-463B X 0 1 2 3 4 P 13 36 36 3 15分 所以BX)=0+1X日+2×号+3x号+4×号=++1+-号 36 17分 es a 3 19.解：(1)由题知， 1 分 a2=62+c2, 解得a=6,b=2,c=2, 2分 所以C的方程为亏+兰-1 3分 因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F2(2,0), 所以号=2，p=4,… 4分 所以C2的方程为y=8x,… 5分 (2)由题知|HF1|+|HF2=2a=26,FF2=2c=4,∠F1HF2=60°，…6分 在△FHF2中，由余弦定理得|FF2|2=|HF2+|HF22-2HF1|·|HF2|·cOs∠F1HF =(|HF|+|HF2|)2一3|HF1·|HF2,…8s分 即16=24-3HH,解得1HFH=号， …9分 所以△B那的面积S号H那1·H·m60=之×号×号-29 10分 1 1 (3)PA+PB+PMT十PNT不是定值，… 11分 理由如下：设直线l的方程为x=my十3，A(x1,y1),B(x2),M(x3,为)，N(4,y4), x=my+√5， 联立方程 后+=， 消去x整理得（十3）y2+23y-3=0, 则△=12m2+12(m2+3)>0,1十= 23m 3 千3= m2+3 又PA2=(.m1-√3)2+号=(my)2+=(+1)听，PB2=(m2+1)y3, 1 1 + 所以PA+PB-(m+)7+(m+1)-(m+1)i (M+2)2一2y2 (m2+1)yy -23m 3 m2+3 2×（m+3 13分 (m2+1)× 一312 m2+3 联立方程 x=my+5,消去x整理得y2-8my一83=0， y2=8.x, 则△=64m2+323>0,为+y4=8m,为4=一8/5. 又PM2=(x√3)2+g=(my)2+=(m2+1),PN|2=(m2+1)y, 喝十y 所以PM+PNT=(m+D =+y)2-2y丛=(8m)2-2X(-83)=4m2+5 (m+1)y (m2+1)×(-85)2=12(m+,…16分 丽以+++风+ 当m变化时，PAT+PB十PMT+PNT不是定值. 17分 【高二年级开学考试·数学参考答案第4页（共4页）】 26-X-463B