专题14三角形中位线和多边形的内角和与外角和专项训练讲义(知识梳理+考点突破）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦三角形中位线与多边形内角和、外角和两大核心知识点，系统梳理三角形中位线的定义、定理及推论，构建从基本性质到分割应用的知识支架，同时串联多边形概念、内角和公式、外角和定理，形成从基础到综合应用的逻辑脉络。 该资料以11类题型为载体，通过典例与跟踪专练结合，突出实际应用（如测量池塘距离）培养数学眼光，证明题与综合题强化推理意识，平面镶嵌等问题提升模型观念。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，有效发展抽象能力与应用意识。

专题14三角形中位线和多边形的内角和与外角和 【题型01 与三角形中位线有关的求解问题】..........................3 【题型02 与三角形中位线有关的证明】..............................6 【题型03 三角形中位线的实际应用】................................9 【题型04 多边形内角和问题】.....................................12 【题型05 正多边形的内角问题】...................................14 【题型06 多谢算一个角问题】.....................................16 【题型07 多边形截角后的内角和问题】.............................18 【题型08 正多边形的外角问题】...................................20 【题型09 多边形外角和的实际应用】...............................23 【题型10 多边形内角和与外角和综合】.............................25 【题型11 平面镶嵌】.............................................27 【解答题6题】..................................................29 ★知识梳理★ 知识点01:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 2. 中位线定理（核心性质） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 3. 关键推论 三角形的三条中位线将原三角形分成4 个全等的小三角形；三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的，面积是原三角形的。 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，连接 DE、EF、FD。 结论： 1.DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，且 DE=BC，EF=AB，FD=AC。 2.△DEF 的周长 =△ABC 的周长。 3.S△DEF=S△ABC​。 4.△ADE≅△DBF≅△ECF≅△DEF。 知识点02:多边形的内角和与外角和 1. 基本概念 多边形：由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，记为 n 边形（n≥3，且 n 为正整数）； 正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形； 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，一个顶点有1 个外角，且与相邻内角互补。 2. 多边形内角和公式（核心） n 边形的内角和 = (n - 2)×180°（n≥3，n 为正整数）。 推导：从 n 边形一个顶点出发，作对角线可将其分成 (n - 2) 个三角形，三角形内角和为 180°，故总内角和为 (n - 2)×180°。 3. 多边形外角和定理（核心） 任意多边形的外角和都为360°（与边数 n 无关）。 推导：n 边形每个顶点的内角 + 外角 = 180°，总内角和 + 总外角和 = n×180°，故外角和 = n×180° - (n - 2)×180°=360°。 【题型1.与三角形中位线有关的求解问题】 【典例】如图，点D、E是的边的中点，已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握此定理是关键；由题意知是的中位线，由中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点D、E是的边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中位线的性质，平移的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．由中位线的性质可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵M是边的中点，P是边的中点， ∴是的中位线 ∴，， 故选：B 【跟踪专练2】如图，在中，，是它的角平分线，是边上的中线，过点作于，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，证明，求得，，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是它的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（   ） A．20 B．17 C．16 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边．根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型2.与三角形中位线有关的证明】 【典例】如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理判断即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴线段的长不变，直线，之间的距离不变，故①④符合题意， 而、的长随点的运动而改变，的大小随点的运动而改变，故②③不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【跟踪专练1】如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查中位线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用中位线的性质得，，，，，，可判断选项A，利用可判断选项B，利用证明可判断选项C，利用，，可判断选项D． 【详解】解：∵、、分别是、、中点， ∴，，，，，， 故选项A正确； ∵， 故选项B错误； ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D正确； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为中点，，，则平行四边形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质可得点O是的中点，从而可得是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：点E为中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即点O是的中点， 又∵点E为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：20． 【跟踪专练3】如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 【题型3.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，正确理解定理是解题的关键． D、E是和的中点，则是的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是和的中点， ． 故答案为：26． 【跟踪专练1】如图，为了测量泡塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，使，连接CB并延长至点E，，量得m，测线段AB的长度是（ ） A．12m B．10m C．9m D．8m 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，，m， ∴点A、点B分别是CD、CE的中点， ∴AB是△CDE的中位线， ∴（m）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【跟踪专练2.】如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度． 【详解】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD 则∠DCB=∠AMB ∵∠DCB=∠ABC ∴∠AMB=∠ABC ∴AM=AB    ∵AD∥BC，AM∥DC   ∴四边形AMCD是平行四边形 ∴AM=DC ∴AB=DC 在△ABC与△DCB中 ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴BD=AC=10m ∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点 ∴GH=EF=，EH=FG= ∴四边形EFGH是平行四边形 则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m) 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点较多，掌握它们是关键． 【题型4.多边形内角和问题】 【典例】在2024年2月，巴黎奥运会主办方公布了新设计的奥运奖牌（如图），奖牌中间镶嵌着一个六边形铁块．这个六边形铁块的内角和度数为 ． 【答案】720 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解答本题的关键．根据n边形的内角和公式为：，据此计算即可． 【详解】解：由图可知该奥运奖牌是六边形， ∴． 故答案为：720 【跟踪专练1】如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为 ． 【答案】 【分析】首先根据外角的性质可得：根据四边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质，得，，，． 四边形的外角和为， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形的外角和，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为． 【跟踪专练3】如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 【题型5.正多边形的内角问题】 【典例】八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其制作样板为图中的正八边形，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角问题. 根据正多边形内角公式计算即可． 【详解】解：八边形是正八边形， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，利用正多边形内角公式建立方程求解即可，熟练掌握多边形的内角和公式是解此题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为，则每个内角为， ∵正多边形的一个内角是， ∴， 解得：， 即该多边形的边数是， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 【跟踪专练3】如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键． 先根据等边三角形的性质可得，则，再根据正五边形的性质可得，则，最后根据四边形的内角和即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴在四边形中，． 故选：C． 【题型6.多少算一个角问题】 【典例】小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 【跟踪专练1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解． 【跟踪专练2】一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于，原多边形的边数是 ． 【答案】8/八 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n， 则 ∵n为正整数， ∴当n=8，去掉的角的度数为， ∴多边形的边数为8， 故答案为：8 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0度，并且小于180度． 【跟踪专练3】小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 【题型7.多边形截角后的内角和问题】 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°， 解得：n＝16， 则多边形的边数是15或16或17． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形， ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．如图所示，根据正方形的性质可得，再根据多边形的内角和公式可得：，即，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质，可得， 根据题意，可得五边形的内角和为：，即， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和．先根据新多边形内角和求出其边数，再分情况讨论原多边形截去一个角后边数的变化，从而确定原多边形可能的边数． 【详解】解：第一种情况： 当按照顶点的连线剪，此时得到的多边形的边数比原来的边数少， ， 解得：； 第二种情况： 当只过一个顶点剪，此时得到的多边形的边数和原来的边数相等， 解得：， 第三种情况： 当不经过顶点剪时，此时得到的多边形的边数比原来的边数多， 解得：， ∴原来多边形的边数为或者或者． 故选：D． 【跟踪专练3】如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键．先根据新多边形内角和求出新多边形边数，再结合剪角后多边形边数的变化规律，得出原多边形边数． 【详解】解：设新多边形的边数为，根据多边形内角和公式， 解得． 因为按图示剪法剪去一个内角后，多边形边数增加了， 所以原多边形边数为． 故答案为：． 【题型8.正多边形的外角问题】 【典例】如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为，每个外角都是因此边数为外角和除以每个外角的度数的值． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为8， 故答案为：8． 【跟踪专练1】如图，一个正多边形左半部分被遮盖，若，互相垂直，则此正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的外角，如图，根据正多边形的每个外角都相等，结合三角形的内角和定理求出，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得， ∴， ∴正多边形的边数为； 故选：B． 【跟踪专练2】随着科技发展，我国研制了机器人代替医护人员进行卫生防疫，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤进行消毒，速度为，如果该机器人恰好回到A点总共需要 s能完成一轮防疫工作． 【答案】48 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转， ∴多边形的边数， 周长（米）． ， ∴该机器人恰好回到A点总共需要能完成一轮防疫工作． 故答案为：48． 【跟踪专练3】如图，小明从点O出发，前进15m后向右转，再前进15m后又向右转…这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的外角和、一元一次方程的应用等知识点，发现小明所走路径为正多边形是解题的关键． 由题意可知，小明所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，根据正多边形外角和的性质列方程可得，然后再求所走的路程即可． 【详解】解：依题意可知，小明所走路径为正多边形， 设这个正多边形的边数为n， 则，解得：， ∴他第一次回到出发点O时一共走了：． 故选：D． 【题型9.多边形外角和的实际应用】 【典例】八边形的外角和为 ． 【答案】360 【分析】本题主要考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于是解题的关键． 直接根据多边形的外角和等于即可解答． 【详解】解：因为多边形的外角和等于， 所以八边形的外角和为． 故答案为：360． 【跟踪专练1】小明从点O出发，前进10米后右转，再走10米后右转，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（   ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 【答案】B 【分析】本题考查正多边形外角和的应用，掌握正多边形外角和是解题的关键． 先根据题意，可知小明的行走路线是正多边形，再根据正多边形的外角，求出边数，最后计算即可求解． 【详解】解：小明每次前进相同距离后右转相同角度，最终回到出发点， 其行走路线是正多边形，且每个外角为， 多边形外角和为， 该正多边形的边数， 每条边长为10米， 路程为：（米）． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，小林从点向西直走米后，向左转，转动的角度为，再走米，如此重复，小林共走了米回到点．则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形的外角和等于，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于，除以边数即可求出的值． 【详解】解：设小林走的正多边形的边数为， 根据题意得，， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 【题型10.多边形内角和与外角和综合】 【典例】四边形外角和的度数是 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和均为，四边形作为多边形的一种，其外角和自然为． 【详解】解：由多边形外角和定理可知，所有多边形的外角和都等于，因此四边形的外角和为． 故答案为：． 【跟踪专练1】若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可；本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵多边形的外角和为， ∴一个外角的度数为． 故选：B． 【跟踪专练2】如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和外角和定理．设多边形的边数为，则内角和为，外角和为，根据内角和是外角和的2倍，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设多边形的边数为，则内角和为，外角和为， 根据题意得， 即， 解得． 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：A． 【题型11.平面镶嵌】 【典例】选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ． ①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形． 【答案】①②③ 【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能铺满； ②正三角形的每个内角是60°，正六边形每个内角120度，1×120+4×60＝360度，所以能铺满； ③正方形每个内角90度，正八边形每个内角135度，135×2+90＝360度，能铺满； ④正三角形的每个内角是60°，正八边形每个内角135度，135×2+60≠360度，所以不能铺满． 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【跟踪专练1】将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌及正多边形的知识，掌握多边形镶嵌成平面图形的条件是解决本题的关键． 正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．求出第三块木板的内角即可解答． 【详解】解：正五边形每个内角是， 两块木板2个内角的和是， 所以第三块木板的一个内角是， 所以第三块木板的边数是． 故选C． 【跟踪专练2】已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查多边形内角和及无缝拼接，根据题意列出方程求解是解题关键 设这三个正多边形的边数分别是，根据题意列出方程，整理得，然后从构成多边形的最小的偶数开始进行试算求解即可． 【详解】解：设这三个正多边形的边数分别是， ∵三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接， ∴， 整理得：， ∵边数不同且边数是偶数， ∴假设，则，解得：， 经检验，符合题意， ∴这三个正多边形的边数分别是， 故答案为：． 【跟踪专练3】商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查平面镶嵌，正多边形的内角和．解题的关键是熟练掌握平面镶嵌的条件和正多边形的内角和公式． 镶嵌地面要求多边形的内角能整除，从而围绕一点拼接无空隙. 计算各正多边形内角并判断是否整除，即可解题． 【详解】解：∵长方形内角为，，能整除， ∴长方形可镶嵌； ∵正方形内角为，，能整除， ∴正方形可镶嵌； ∵正五边形内角为，，不能整除， ∴正五边形不可镶嵌； ∵正六边形内角为，，能整除， ∴正六边形可镶嵌. ∴可供选择的地砖是①②④． 故选：C． 解答题 1．如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵， ∴． ∵， ∴. 2．如图，四边形的对角线和的长分别为4和6，，，，分别是，，，的中点．求四边形的周长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，中点四边形的性质，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 利用三角形中位线定理，推导中点四边形各边与原四边形对角线的数量关系，再计算周长． 【详解】解：，，，分别是，，，的中点， ，， 四边形的周长是． 3．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 4．如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和是是解题的关键． 先根据多边形的外角和定理求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数． 【详解】解：， ， ． 5．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】本题考查了多边形的内角和问题； （1）根据多边形的内角和为，即任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列出不等式，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除． 不能被整除， 张明的说法不正确． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ． ． 为整数， 这个正多边形为正八边形 如答图，将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7，即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 6．相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． (1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来解答． （1）利用内角的整数倍能等于即可； （2）利用两种正多边形镶嵌内角之间关系求解即可； 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵正三角形的内角和为， ∴正三角形的每一个内角为． ∵， ∴正三角形能镶嵌成一个平面图形． （2）解：能，理由如下： ∵正十二边形的内角和为， ∴正十二边形的每一个内角为． ∵， ∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14三角形中位线和多边形的内角和与外角和 【题型01 与三角形中位线有关的求解问题】..........................3 【题型02 与三角形中位线有关的证明】..............................4 【题型03 三角形中位线的实际应用】................................5 【题型04 多边形内角和问题】......................................6 【题型05 正多边形的内角问题】....................................7 【题型06 多谢算一个角问题】......................................8 【题型07 多边形截角后的内角和问题】..............................8 【题型08 正多边形的外角问题】....................................9 【题型09 多边形外角和的实际应用】...............................10 【题型10 多边形内角和与外角和综合】.............................10 【题型11 平面镶嵌】.............................................11 【解答题6题】..................................................11 ★知识梳理★ 知识点01:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 2. 中位线定理（核心性质） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 3. 关键推论 三角形的三条中位线将原三角形分成4 个全等的小三角形；三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的，面积是原三角形的。 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，连接 DE、EF、FD。 结论： 1.DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，且 DE=BC，EF=AB，FD=AC。 2.△DEF 的周长 =△ABC 的周长。 3.S△DEF=S△ABC​。 4.△ADE≅△DBF≅△ECF≅△DEF。 知识点02:多边形的内角和与外角和 1. 基本概念 多边形：由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，记为 n 边形（n≥3，且 n 为正整数）； 正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形； 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，一个顶点有1 个外角，且与相邻内角互补。 2. 多边形内角和公式（核心） n 边形的内角和 = (n - 2)×180°（n≥3，n 为正整数）。 推导：从 n 边形一个顶点出发，作对角线可将其分成 (n - 2) 个三角形，三角形内角和为 180°，故总内角和为 (n - 2)×180°。 3. 多边形外角和定理（核心） 任意多边形的外角和都为360°（与边数 n 无关）。 推导：n 边形每个顶点的内角 + 外角 = 180°，总内角和 + 总外角和 = n×180°，故外角和 = n×180° - (n - 2)×180°=360°。 【题型1.与三角形中位线有关的求解问题】 【典例】如图，点D、E是的边的中点，已知，则 ． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，是它的角平分线，是边上的中线，过点作于，若，，则 ． 【跟踪专练3】如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（   ） A．20 B．17 C．16 D．14 【题型2.与三角形中位线有关的证明】 【典例】如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【跟踪专练1】如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【跟踪专练2】如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E为中点，，，则平行四边形的周长为 ． 【跟踪专练3】如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为 ． 【跟踪专练1】如图，为了测量泡塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，使，连接CB并延长至点E，，量得m，测线段AB的长度是（ ） A．12m B．10m C．9m D．8m 【跟踪专练2.】如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点 ， 连接 ， ， 分别取 ， 的中点 ， ，连接．若 的长为， 则， 两地间的距离为 ． 【跟踪专练3】如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【题型4.多边形内角和问题】 【典例】在2024年2月，巴黎奥运会主办方公布了新设计的奥运奖牌（如图），奖牌中间镶嵌着一个六边形铁块．这个六边形铁块的内角和度数为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为 ． 【跟踪专练3】如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型5.正多边形的内角问题】 【典例】八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其制作样板为图中的正八边形，则的度数为 ．    【跟踪专练1】若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 【跟踪专练2】如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 ． 【跟踪专练3】如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（    ） A．82° B．83° C．84° D．85° 【题型6.多少算一个角问题】 【典例】小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【跟踪专练1】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于，原多边形的边数是 ． 【跟踪专练3】小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【题型7.多边形截角后的内角和问题】 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【跟踪专练1】如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形， ． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【跟踪专练3】如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为 ． 【题型8.正多边形的外角问题】 【典例】如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 【跟踪专练1】如图，一个正多边形左半部分被遮盖，若，互相垂直，则此正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【跟踪专练2】随着科技发展，我国研制了机器人代替医护人员进行卫生防疫，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤进行消毒，速度为，如果该机器人恰好回到A点总共需要 s能完成一轮防疫工作． 【跟踪专练3】如图，小明从点O出发，前进15m后向右转，再前进15m后又向右转…这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A． B． C． D． 【题型9.多边形外角和的实际应用】 【典例】八边形的外角和为 ． 【跟踪专练1】小明从点O出发，前进10米后右转，再走10米后右转，…，如此一直走下去，他第一次回到出发点O时，走的路程一共为（   ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 【跟踪专练2】如图，小林从点向西直走米后，向左转，转动的角度为，再走米，如此重复，小林共走了米回到点．则 ． 【跟踪专练3】某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【题型10.多边形内角和与外角和综合】 【典例】四边形外角和的度数是 ． 【跟踪专练1】若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 ． 【跟踪专练3】如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型11.平面镶嵌】 【典例】选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ． ①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形． 【跟踪专练1】将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【跟踪专练2】已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是 ． 【跟踪专练3】商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 解答题 1．如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 2．如图，四边形的对角线和的长分别为4和6，，，，分别是，，，的中点．求四边形的周长． 3．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         4．如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 5．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 6．相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． (1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $