专题10分式及其基本性质专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题10分式及其基本性质 【题型01 分式的判断】............................................3 【题型02 分式的规律性问题】......................................4 【题型03 按要求构造分式】........................................6 【题型04 分式无意义的条件】......................................7 【题型05 分式有意义的条件】......................................9 【题型06 分式值为零的条件】.....................................12 【题型07 分式的求值】...........................................14 【题型08 求分式值为正负时.未知数的取值范围】.....................17 【题型09 求分式值为整数时,未知数的整数值】.......................18 【题型10 判断分式变形的正确性】..................................20 【题型11 求分式变形成立的条件】..................................21 【题型12 利用分式的基本性质.判断分式值的变化情况】...............22 【题型13 将分式分子.分母的最高次项系数化为正数】.................24 【题型14 将分式分子.分母的各项系数化为整数】.....................26 【题型15 分式的约分】............................................28 【题型16 最简分式】..............................................30 【解答题5题】....................................................31 ★知识梳理★ 知识点01:分式的定义 形式：形如（A、B是整式）的代数式； 两个关键条件： ① 分母B中含有字母；② 分母B0； 与整式的区别：整式分母不含字母，分式分母含字母（判断核心）。 知识点02:分式有意义、无意义、值为 0 的条件 条件类型 具体要求 有意义 分母B0 无意义 分母B=0 值为 0 分子A=0 且 分母B0（二者同时满足） 知识点03:分式的基本性质 核心内容：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变； 符号表示： 关键前提：乘 / 除的整式不能为 0（否则分母为 0，分式无意义）。 知识点04:分式的符号法则 分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变；符号表示：（简化分式符号的依据）。 知识点05:最简分式 定义：分子与分母没有公因式的分式（公因式：含数字、字母、整式，且为分子分母共有的因式）； 判断关键：分子分母除了 1 以外，无其他公因式。 知识点06:分式的约分 定义：根据分式基本性质，把分式的分子和分母都除以它们的公因式，化为最简分式或整式； 步骤： 1 找分子、分母的最大公因式（数字取最大公约数，字母取最低次幂，整式取相同因式最低次幂）； 2 分子分母同时除以最大公因式； 注意：约分后分式的值与原分式相等，约分过程中分母始终不能为 0。 知识点07:核心易错点 1.判断分式时，忽略 “分母含字母”，误将整式当作分式； 2.求分式值为 0 时，只考虑分子为 0，忘记验证分母不为 0； 3.运用基本性质时，乘 / 除的整式未保证不为 0； 4.约分时，漏看分子 / 分母的整体公因式，或错误约去仅部分含有的因式。 【题型1.分式的判断】 【典例】下列代数式是分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，注意：已知A、B都是整式，式子的分母B中含有字母，那么式子是分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解： A、是整式，不是分式，不符合题意； B：是分数，分母为常数，无字母，不是分式，不符合题意； C、，分母为x，含有字母，是分式，符合题意； D：是整式，无分母，不是分式，不符合题意， 故选：C． 【跟踪专练1】在式子：①，②，③，④中，属于分式的是 ．（填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了分式的定义，根据分式的定义，两个整式相除，且分母中含有字母的式子称为分式，据此判断各式子． 【详解】解：①，④是分式，②，③不是分式． 故答案为：①④． 【跟踪专练2】下列各式：，，，，中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，形如，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式，进行判断即可． 【详解】解：，，这三个式子分母中都含有字母，因此是分式． 故选：C 【跟踪专练3】一艘轮船在静水中的最大航速为，江水的流速为，它以最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式，根据“时间路程速度”，列出分式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为， 故答案为：． 【题型2.分式的规律性问题】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键． 【跟踪专练1】观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是的幂次递增． 【详解】解：分子依次为2， 4， 6， 8， …，；分母依次为， ， ， ， …， 因此第个式子为． 当时，． 故选：D． 【跟踪专练2】一组按规律排列的式子：，，，，（），其中第个式子是 ． 【答案】. 【分析】本题考查数字类规律的探究，根据题意可得式子的第奇数个数为正，第偶数个数为负，分子为序号的平方，分母中的指数为：序号三倍减1.据此规律可得结果． 【详解】∵, ， ， … 第个式子应为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（   ） A．1 B．t C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，根据题意，可以写出前几项的值，即可发现数字的变化特点，从而可以计算出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， …， 由上可得，上面的数据，每三个为一个循环， ∵， ∴． 故选：C． 【题型3.按要求构造分式】 【典例】请写出一个含有，并且化简结果为的分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查分式的性质，理解并掌握分式的性质，分式的约分化简是解题的关键． 【跟踪专练1】一位作家用了m天写完了一部小说的上集，又用了n天写完下集，这部小说（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量是（    ） A．万字/天 B．万字/天 C．万字/天 D．万字/天 【答案】C 【分析】根据总字数除以总天数求出所求即可． 【详解】解：根据题意得： 这位作家平均每天的写作量是万字/天． 故选：C． 【点睛】此题考查了列代数式（分式），弄清题意是解本题的关键． 【跟踪专练2】请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件，结合分式的定义和分式有意义的条件，再根据题意列举符合题意的分式即可． 【详解】解：∵， ∴，即无论x取何值该分式都有意义， ∵当时，分式的值为2， ∴符合题意关于x的分式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 【题型4.分式无意义的条件】 【典例】如果分式无意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，分母为零． 根据分式无意义的条件是分母为零可得，求解即可． 【详解】解：根据分式无意义的条件，可得分母，解得 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下表描述了分式的部分信息： 的值 … … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据无意义知，由，所以，由时，，所以可得结论． 【详解】解：因为的值当时无意义， 所以． 又因为，所以， 当时，，所以，则， 故选：C． 【跟踪专练2】请你写出一个分式，同时满足以下三个条件：①当时，分式无意义；②当时，分式的值为0；③当时，分式的值为4．这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式值为零的条件，分子为分式的值为，分母为分式无意义． 根据条件①，分式在时无意义，故分母包含因式 ；根据条件②，分式在时值为 0，故分子包含因式 ，且分母在时不为零；根据条件③，分式在时值为 4，代入分式方程求解系数． 【详解】解：设分式为 ， 由条件③，当时，， 解得 ， 取 ，则 ，故分式为 ， 验证满足所有条件， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值不存在时， ∴， ∴， 故选：D． 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】已知式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解． 根据分母不为0，列出不等式即可求解． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 则， 解得； 故答案为：． 【跟踪专练1】要使分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握分式的分母不等于0是解题关键．根据分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得且， 故选：D． 【跟踪专练2】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，是解题的关键．根据分式有意义的条件，分母不为零，求出x的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，需满足分母， 即， 解得且． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是判断分母是否恒不为零． 分别分析每个选项的分母，判断其是否可能为零，若分母恒不为零，则该分式无论取何值都一定有意义． 【详解】解：A、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； C、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； D、， ，分母恒不为零，无论取何值，分式都有意义，此选项符合题意． 故选：． 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为零，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式值为0的条件，掌握“分子为0且分母不为0”是分式值为0的必要条件，是解决问题的关键． 根据分式的值为0的条件，即分子为0且分母不为0，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，且， 解得． 故答案为：2． 【跟踪专练1】若分式的值为，则的值为（ ）． A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的概念，掌握好相关的知识是关键． 分式值要为，需满足分子为且分母不为，据此求解的值． 【详解】解：∵分式的值为 ∴， 由，得， ∴或， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式，掌握分式的值为零和分式无意义的条件是解题的关键． 根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零，即可求解． 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 ，解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】若分式的值为0，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为0的条件、绝对值的性质等知识点，掌握分式值为0时分子为0且分母不为0的判定方法是解题的关键． 分式的值为0，需分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子 且分母 解分子方程： 或. 当 时，分母 ，分式无意义，舍去 当 时，分母 ，符合条件． ∴ ． 故选：A． 【题型7.分式的求值】 【典例】若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，正确计算是解题的关键． 将分子因式分解为完全平方式，分母提取公因式，然后约分简化表达式，最后将，代入求值即可． 【详解】解：原式 当 ，时， 原式， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，首先根据，交叉相乘可得：，通过移项、合并同类项，可得：，再把等式的两边同时除以即可得到． 【详解】解：， ， 移项得：， 合并同类项得：， 可得：． 故选：D． 【跟踪专练2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键． 设，得到，代入分式求值即可． 【详解】解：设 ，则 ，，， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件化简计算，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴原式 ∵， ∴ 代入得： 故选：C． 【题型8.求分式值为正负时.未知数的取值范围】 【典例】当 时，分式的值是非负数． 【答案】 【分析】分别确定分子、分母的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ 又分式的值是非负数 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查根据分式的正负求解未知数的范围．分别对分子、分母的取值范围进行判断即可． 【跟踪专练1】下列关于分式的说法，错误的是(　　) A．当x>-2时，分式的值一定为负数 B．当x=0时，分式没有意义 C．当x<-2时，分式的值一定为正数 D．当x=-2时，分式的值为0 【答案】A 【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项． 【详解】解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意； B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意； C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意； D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式无意义的条件，以及分式的值为正数或负数的条件．正确掌握相关性质是解题的关键． 【跟踪专练2】已知的值为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】此题主要考查了分式的值，能够根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解题的关键．分式的值为正数，分母恒为正（且），因此分子 必须大于零，计算求解即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴分子与分母同号， 又∵对于任意实数，，且作为分母， ∴， ∴， 即且． 故答案为：且． 【跟踪专练3】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 【题型9.求分式值为整数时.未知数的整数值】 【典例】若分式的值是整数，则x可以取最小整数的值是 ． 【答案】 【分析】根据分式的值为整数，的值也为整数，可得或或，求出的值，即可确定出的最小值． 【详解】解：分式的值为整数，的值也为整数， 或或， 或或或或或， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键． 【跟踪专练1】下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论． 【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不合题意； B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意； C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意； D、当时，有意义，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 【跟踪专练2】若分式的值为整数，则整数的值为 ． 【答案】0或2或4或6 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，由分式的值为整数，可推出3能被整除，则可得或或或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴3能被整除， ∵x为整数， ∴是整数， ∵， ∴或或或， 解得或或或， 故答案为：0或2或4或6． 【跟踪专练3】若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 【题型10.判断分式变形的正确性】 【典例】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的约分，需根据分式的基本性质，对各选项分子分母因式分解后约分，判断等式是否恒成立． 【详解】解：∵，∴A选项错误，不符合题意； ∵，∴，∴B选项错误，不符合题意； ∵，∴，∴C选项错误，不符合题意； ∵，∴（），∴D选项正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】若，下列分式从左到右变形正确的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，熟悉分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，是解题的关键．选项通过约分化简后等式成立，而其他选项均不满足分式的基本性质． 【详解】解；选项中，取（满足）验证：中，中当时，分母，分式无意义，中，故均不成立． 选项：∵ ， ∴ 等式成立， 故选：． 【跟踪专练2】下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，成立，故不正确，符合题意； ②，故正确，不符合题意； ③，故不正确，符合题意； ④，故正确，不符合题意； 故答案为：①③． 【跟踪专练3】下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质计算即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 【题型11.求分式变形成立的条件】 【典例】若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 【跟踪专练1】根据分式的基本性质填空：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把分式的分母与分子同时除以(x+1)即可得出结论． 【详解】解：∵分式的分母与分子同时除以(x+1)得，， ∴括号内应填x-1． 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键． 【跟踪专练2】根据分式的基本性质填空：，． ， ， 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．对于第一个分式，分母从变为，需除以，分子相应变化；对于第二个分式，分母从变为，需乘以，分子相应变化． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【跟踪专练3】若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型12.利用分式的基本性质.判断分式值的变化情况】 【典例】若把分式中的都扩大3倍，则该分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】此题考查了分式的基本性质．将原分式中的和分别扩大3倍后代入，化简新分式并与原式比较即可得出结论． 【详解】解：原分式为．当和均扩大3倍时，新的分子为，分母为．新分式为．将分母提取公因数3，得，因此新分式可化简为，与原分式完全相同． 故选：A 【跟踪专练1】根据分式的基本性质，把分式中的分子、分母的x，y同时扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．改变 D．不改变 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据分式的基本性质进行解答即可，熟记分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：根据分式的基本性质可得，把分式中的分子、分母的、同时扩大3倍，即，则分式的值不改变． 故选：D． 【跟踪专练2】不改变分式的值，在括号内填空：；括号内应依次填入： 、 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的基本性质，正确运算基本性质进行变形是解题的关键． 将分式的分子与分母都乘以即可；因为，所以． 【详解】 故答案为：；． 【跟踪专练3】下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 【题型13.将分式分子.分母的最高次项系数为正数】 【典例】若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝ ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解答． 【详解】原式＝． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 【跟踪专练1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【跟踪专练2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 【跟踪专练3】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 【详解】（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 【题型14.将分式分子.分母的各项系数化为整数】 【典例】不改变分式的值．将分式分子、分母中各项系数化为整数．则结果为 ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分子、分母同时乘10即可． 【详解】解：将分式分子、分母中各项系数化为整数．则结果为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行变形． 【跟踪专练1】下列判断错误的是（  ） A．代数式​是分式 B．当​时，分式​的值为​ C．当​时，分式​有意义 D．​ 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．代数式​是分式，正确，不符合题意； B．当​时，分式​没有意义，错误，符合题意； C．当​时，分式​有意义，正确，不符合题意； D．​，正确，不符合题意．     故选B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件，以及分式的值为零的条件，熟练掌握分式的性质是解本题的关键． 【跟踪专练2】不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误； B、根据分式的基本性质，等式（x≠0），故此选项错误； C、分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，故此选项正确； D、分式，原式不是最简分式，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 【题型15.分式的约分】 【典例】已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式的化简，掌握分式的性质是关键． 根据题意，把代入计算即可求解． 【详解】解：已知， ∴， 故答案为：4 ． 【跟踪专练1】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，通过对分子分母提取公因式进行化简，再与各选项对比即可得出正确答案． 【详解】解： ． 故选：A． 【跟踪专练2】已知a2＋b2＝6ab，且ab≠0，则的值为 【答案】 【分析】把分子的完全平方展开，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵a2＋b2＝6ab， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了分式的约分和完全平方公式，解题关键是将分式分子展开，整体代入后，利用分式约分求值． 【跟踪专练3.】已知，则的值（    ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根非负性的应用，根据算术平方根有意义的条件得出，进而得出，得出代入代数式，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ ∴原式可化为： ∴ 即 ∴， 故选：C． 【题型16.最简分式】 【典例】下列分式：①；②；③；④，最简分式有 （填序号）． 【答案】①④/④① 【分析】根据最简分式的定义逐式分析即可． 【详解】①是最简分式；②=，不是最简分式 ；③=，不是最简分式；④是最简分式． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式． 【跟踪专练1】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查判断最简分式，判断分式是否为最简分式，需检查分子与分母是否有公因式，若无法约分，则为最简分式． 【详解】解：A：的分子和分母的公因式为，故不是最简分式， B：的分子和分母的公因式为，故不是最简分式， C：的分子和分母的公因式为，故不是最简分式， D：的分子和分母没有公因式，故是最简分式， 故选：D． 【跟踪专练2】化简分式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简，熟练应用分式的基本性质是解答此题的关键． 按照分式的基本性质对分式进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【跟踪专练3】下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分． 【详解】A、，可约分，所以不是最简分式； B、，可约分，所以不是最简分式； C、，可约分，所以不是最简分式； D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式． 故选：D． 解答题 1．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查利用比例的性质求分式的值．关键是通过已知比例关系将分式中的未知量转化为可计算的形式，可采用设参数法，将、用同一参数表示，代入分式约分． 【详解】∵， ∴设，， 则． 故答案为：． 2．观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探究，并根据规律进行求解；能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； （2）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： 3．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为0和分式无意义的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，分式无意义的条件是分母为是解题的关键． 根据分式值为的条件求出的值和的限制，再根据分式无意义的条件求出的值，最后代入计算． 【详解】解：当时，分式的值为， 且，解得，． 当时，分式没有意义， ，解得， ． 4．（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【详解】解：（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键． 5．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的约分． （1）直接进行约分即可； （2）先将分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10分式及其基本性质 【题型01 分式的判断】............................................3 【题型02 分式的规律性问题】......................................3 【题型03 按要求构造分式】........................................3 【题型04 分式无意义的条件】......................................4 【题型05 分式有意义的条件】......................................4 【题型06 分式值为零的条件】......................................5 【题型07 分式的求值】............................................5 【题型08 求分式值为正负时.未知数的取值范围】......................5 【题型09 求分式值为整数时,未知数的整数值】........................6 【题型10 判断分式变形的正确性】...................................6 【题型11 求分式变形成立的条件】...................................6 【题型12 利用分式的基本性质.判断分式值的变化情况】................7 【题型13 将分式分子.分母的最高次项系数化为正数】..................7 【题型14 将分式分子.分母的各项系数化为整数】......................8 【题型15 分式的约分】.............................................8 【题型16 最简分式】...............................................9 【解答题5题】.....................................................9 ★知识梳理★ 知识点01:分式的定义 形式：形如（A、B是整式）的代数式； 两个关键条件： ① 分母B中含有字母；② 分母B0； 与整式的区别：整式分母不含字母，分式分母含字母（判断核心）。 知识点02:分式有意义、无意义、值为 0 的条件 条件类型 具体要求 有意义 分母B0 无意义 分母B=0 值为 0 分子A=0 且 分母B0（二者同时满足） 知识点03:分式的基本性质 核心内容：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变； 符号表示： 关键前提：乘 / 除的整式不能为 0（否则分母为 0，分式无意义）。 知识点04:分式的符号法则 分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变；符号表示：（简化分式符号的依据）。 知识点05:最简分式 定义：分子与分母没有公因式的分式（公因式：含数字、字母、整式，且为分子分母共有的因式）； 判断关键：分子分母除了 1 以外，无其他公因式。 知识点06:分式的约分 定义：根据分式基本性质，把分式的分子和分母都除以它们的公因式，化为最简分式或整式； 步骤： 1 找分子、分母的最大公因式（数字取最大公约数，字母取最低次幂，整式取相同因式最低次幂）； 2 分子分母同时除以最大公因式； 注意：约分后分式的值与原分式相等，约分过程中分母始终不能为 0。 知识点07:核心易错点 1.判断分式时，忽略 “分母含字母”，误将整式当作分式； 2.求分式值为 0 时，只考虑分子为 0，忘记验证分母不为 0； 3.运用基本性质时，乘 / 除的整式未保证不为 0； 4.约分时，漏看分子 / 分母的整体公因式，或错误约去仅部分含有的因式。 【题型1.分式的判断】 【典例】下列代数式是分式的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在式子：①，②，③，④中，属于分式的是 ．（填写序号） 【跟踪专练2】下列各式：，，，，中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】一艘轮船在静水中的最大航速为，江水的流速为，它以最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为 ． 【题型2.分式的规律性问题】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【跟踪专练1】观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一组按规律排列的式子：，，，，（），其中第个式子是 ． 【跟踪专练3】已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（   ） A．1 B．t C． D． 【题型3.按要求构造分式】 【典例】请写出一个含有，并且化简结果为的分式 ． 【跟踪专练1】一位作家用了m天写完了一部小说的上集，又用了n天写完下集，这部小说（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量是（    ） A．万字/天 B．万字/天 C．万字/天 D．万字/天 【跟踪专练2】请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 【跟踪专练3】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【题型4.分式无意义的条件】 【典例】如果分式无意义，那么x的取值范围是 ． 【跟踪专练1】下表描述了分式的部分信息： 的值 … … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】请你写出一个分式，同时满足以下三个条件：①当时，分式无意义；②当时，分式的值为0；③当时，分式的值为4．这个分式可以是 ． 【跟踪专练3】当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A． B． C． D． 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】已知式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【跟踪专练1】要使分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【跟踪专练2】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【跟踪专练3】下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为零，则 ． 【跟踪专练1】若分式的值为，则的值为（ ）． A． B． C．或 D． 【跟踪专练2】当 时，分式的值为0． 【跟踪专练3】若分式的值为0，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．无法确定 【题型7.分式的求值】 【典例】若，，则的值为 ． 【跟踪专练1】已知，则=（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则 ． 【跟踪专练3】已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 【题型8.求分式值为正负时.未知数的取值范围】 【典例】当 时，分式的值是非负数． 【跟踪专练1】下列关于分式的说法，错误的是(　　) A．当x>-2时，分式的值一定为负数 B．当x=0时，分式没有意义 C．当x<-2时，分式的值一定为正数 D．当x=-2时，分式的值为0 【跟踪专练2】已知的值为正数，则的取值范围为 ． 【跟踪专练3】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型9.求分式值为整数时.未知数的整数值】 【典例】若分式的值是整数，则x可以取最小整数的值是 ． 【跟踪专练1】下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义 【跟踪专练2】若分式的值为整数，则整数的值为 ． 【跟踪专练3】若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型10.判断分式变形的正确性】 【典例】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，下列分式从左到右变形正确的是（   ）. A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是 （填序号）． 【跟踪专练3】下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型11.求分式变形成立的条件】 【典例】若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 【跟踪专练1】根据分式的基本性质填空：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】根据分式的基本性质填空：，． ， ， 【跟踪专练3】若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型12.利用分式的基本性质.判断分式值的变化情况】 【典例】若把分式中的都扩大3倍，则该分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【跟踪专练1】根据分式的基本性质，把分式中的分子、分母的x，y同时扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．改变 D．不改变 【跟踪专练2】不改变分式的值，在括号内填空：；括号内应依次填入： 、 【跟踪专练3】下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【题型13.将分式分子.分母的最高次项系数为正数】 【典例】若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝ ． 【跟踪专练1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【跟踪专练3】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 【题型14.将分式分子.分母的各项系数化为整数】 【典例】不改变分式的值．将分式分子、分母中各项系数化为整数．则结果为 ． 【跟踪专练1】下列判断错误的是（  ） A．代数式​是分式 B．当​时，分式​的值为​ C．当​时，分式​有意义 D．​ 【跟踪专练2】不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【题型15.分式的约分】 【典例】已知，则的值为 ． 【跟踪专练1】下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知a2＋b2＝6ab，且ab≠0，则的值为 【跟踪专练3.】已知，则的值（    ） A． B．2 C．1 D．3 【题型16.最简分式】 【典例】下列分式：①；②；③；④，最简分式有 （填序号）． 【跟踪专练1】下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简分式： ． 【跟踪专练3】下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．已知，求的值． 2．观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 3．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义．求的值． 4．（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 5．约分： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $