专题13平行四边形的性质及判定专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题13平行四边形的性质及判定 【题型01 利用平行四边形的性质求解】..............................4 【题型02 利用平行四边形的性质证明】..............................4 【题型03 平行四边形性质的其他应用】..............................5 【题型04 判定能否构成平行四边形】................................7 【题型05 添一个条件成为平行四边形】..............................8 【题型06 证明四边形是平行四边形】................................9 【题型07 利用平行四边形的判定和性质求解】.......................10 【题型08 利用平行四边形的性质和判定证明】.......................11 【题型09 平行四边形性质和判定的应用】...........................12 【题型10 求平行线间的距离】.....................................13 【题型11 利用平行线间距离解决问题】.............................14 【解答题5题】...................................................15 ★知识梳理★ ☞知识点01:平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作▱， 几何语言：AB∥CD且AD∥BC ⇒ 四边形ABCD是平行四边形（定义既是性质，也是判定依据）。 ☞知识点02:平行四边形的核心性质（从边、角、对角线、对称性入手） 所有性质均基于 “两组对边分别平行” 推导，几何表达需结合图形标注，结论可直接使用。 1.边的性质：两组对边分别平行且相等 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱ ∴AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 2.角的性质：两组对角分别相等，邻角互补 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱ ∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘（其余邻角同理）。 3.对角线的性质：对角线互相平分（交点为两条对角线的中点） 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱，对角线AC、BD交于O ∴AO=CO，BO=DO。 对称性：中心对称图形，对称中心为对角线的交点（无对称轴）。 ☞知识点03:平行四边形的判定定理（4 条核心判定 + 1 条定义判定，共 5 种方法）. 判定核心：从边、角、对角线三个维度，满足任一条件即可判定为平行四边形，几何语言需 “条件⇒结论”。 1. 定义判定（边） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（最基础判定）：∵AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是▱。 2. 边的判定（2 条） （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形：∵AB=CD，AD=BC ∴ 四边形ABCD是▱； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（最常用，记 “一组对边平且等”）：∵AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC） ∴ 四边形ABCD是▱。 3. 角的判定（1 条） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形：∵∠A=∠C，∠B=∠D ∴ 四边形ABCD是▱。 4. 对角线的判定（1 条） 对角线互相平分的四边形是平行四边形：∵ 对角线AC、BD交于O，AO=CO，BO=DO ∴ 四边形ABCD是▱。 ☞知识点04:性质与判定的核心区别 性质：已知是平行四边形 ⇒ 推导边、角、对角线的特征（知形推性质）； 判定：已知边、角、对角线的特征 ⇒ 推导是平行四边形（知特征推形）。 ☞知识点05:核心易错点提醒 1.判定时混淆 “一组对边平行，另一组对边相等”：此条件不能判定平行四边形（可能是等腰梯形），必须是 “一组对边平行且相等”； 2.性质应用时忽略 “平行四边形” 前提：所有边、角、对角线的结论，必须先确认四边形是平行四边形才能使用； 3.几何语言表达不规范：判定时需写清 “四边形ABCD中”，避免遗漏前提；性质推导需先写 “∵是平行四边形”； 4.对角线性质易错记：平行四边形对角线互相平分但不一定相等、不一定垂直（只有特殊平行四边形：矩形、菱形才有此特征）。 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 【典例】如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接，，．若，，，则的面积为 ． 【跟踪专练3】如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 【典例】平行四边形的两组对边分别 且 ；平行四边形的两组对角分别 ；两邻角 ；平行四边形的对角线 ；平行四边形的面积＝底边长× ． 【跟踪专练1】在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F．若四边形周长为12，，则 ． 【跟踪专练3】如图，四边形为平行四边形，则下列说法正确的有（  ） A． B． C． D． 【题型3.平行四边形性质的其他应用】 【典例】请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质： ． 【跟踪专练1】平行四边形不一定具备的性质是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【跟踪专练2】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【题型4.判断能否构成平行四边形】 【典例】把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 个平行四边形． 【跟踪专练1】在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【跟踪专练2】如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是 （填写相应序号）． 【跟踪专练3】如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，，，．下列条件： ①；②； ③，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型5.添一个条件成为平行四边形】 【典例】如图，四边形中，请添加一个条件，使得此四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． 【跟踪专练1】如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，则当 时，四边形是平行四边形．    【跟踪专练3】如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型6.证明四边形是平行四边形】 【典例】在四边形ABCD中，若AB//CD，BC AD，则四边形ABCD为平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】如图，是直线外一点，在上取两点，，连接．分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是 ．理由是 ． 【跟踪专练3】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，垂直平分，过点作，以为顶点，在的左侧作交于点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：垂直平分， ，又， （①）， ， _____②______ ， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．SAS， B．SSS， C．SAS， D．SSS， 【题型7.利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例】如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=13时，线段BC的长为 ． 【跟踪专练1】如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（    ） A．8 B．11 C．16 D．20 【跟踪专练2】如图，在梯形中，，则 ． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型8.利用平行四边形的性质与判定证明】 【典例】已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是 ． 【跟踪专练1】如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是 ．（填序号） 【跟踪专练3】如图，在中，，是对角线上的两点，且．给出下列结论∶①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 【题型9.平行四边形性质和判定的应用】 【典例】为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【跟踪专练2】在四边形ABCD中，，，若，则 ． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【题型10..求平行线间的距离】 【典例】如图，直线，则直线，之间距离是线段 的长度． 【跟踪专练1】如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【跟踪专练2】如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练3】如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【题型11.利用平行线间距离解决问题】 【典例】如图，直线，点A、B位于直线上，点C、D位于直线b上，且，若的面积为5，则的面积为 ．    【跟踪专练1】如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（    ）    A．始终不变 B．向右移动变小 C．向左移动变小 D．向左移动先变小，再变大 【跟踪专练2】如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是 ．（填序号） 【跟踪专练3】如图，的面积为24，D为边上的一点，延长交的平行线于点E，连接，以为邻边作平行四边形交边于点H，连接，当时，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 解答题 1.．如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 2．如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数．    3．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 4．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 5．如图，正方形和正方形并排放置，和相交于点，已知厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13平行四边形的性质及判定 【题型01 利用平行四边形的性质求解】..............................4 【题型02 利用平行四边形的性质证明】..............................7 【题型03 平行四边形性质的其他应用】..............................9 【题型04 判定能否构成平行四边形】...............................17 【题型05 添一个条件成为平行四边形】.............................20 【题型06 证明四边形是平行四边形】...............................23 【题型07 利用平行四边形的判定和性质求解】.......................26 【题型08 利用平行四边形的性质和判定证明】.......................28 【题型09 平行四边形性质和判定的应用】...........................32 【题型10 求平行线间的距离】.....................................35 【题型11 利用平行线间距离解决问题】.............................38 【解答题5题】...................................................41 ★知识梳理★ ☞知识点01:平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作▱， 几何语言：AB∥CD且AD∥BC ⇒ 四边形ABCD是平行四边形（定义既是性质，也是判定依据）。 ☞知识点02:平行四边形的核心性质（从边、角、对角线、对称性入手） 所有性质均基于 “两组对边分别平行” 推导，几何表达需结合图形标注，结论可直接使用。 1.边的性质：两组对边分别平行且相等 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱ ∴AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。 2.角的性质：两组对角分别相等，邻角互补 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱ ∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘（其余邻角同理）。 3.对角线的性质：对角线互相平分（交点为两条对角线的中点） 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱，对角线AC、BD交于O ∴AO=CO，BO=DO。 对称性：中心对称图形，对称中心为对角线的交点（无对称轴）。 ☞知识点03:平行四边形的判定定理（4 条核心判定 + 1 条定义判定，共 5 种方法）. 判定核心：从边、角、对角线三个维度，满足任一条件即可判定为平行四边形，几何语言需 “条件⇒结论”。 1. 定义判定（边） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（最基础判定）：∵AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是▱。 2. 边的判定（2 条） （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形：∵AB=CD，AD=BC ∴ 四边形ABCD是▱； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（最常用，记 “一组对边平且等”）：∵AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC） ∴ 四边形ABCD是▱。 3. 角的判定（1 条） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形：∵∠A=∠C，∠B=∠D ∴ 四边形ABCD是▱。 4. 对角线的判定（1 条） 对角线互相平分的四边形是平行四边形：∵ 对角线AC、BD交于O，AO=CO，BO=DO ∴ 四边形ABCD是▱。 ☞知识点04:性质与判定的核心区别 性质：已知是平行四边形 ⇒ 推导边、角、对角线的特征（知形推性质）； 判定：已知边、角、对角线的特征 ⇒ 推导是平行四边形（知特征推形）。 ☞知识点05:核心易错点提醒 1.判定时混淆 “一组对边平行，另一组对边相等”：此条件不能判定平行四边形（可能是等腰梯形），必须是 “一组对边平行且相等”； 2.性质应用时忽略 “平行四边形” 前提：所有边、角、对角线的结论，必须先确认四边形是平行四边形才能使用； 3.几何语言表达不规范：判定时需写清 “四边形ABCD中”，避免遗漏前提；性质推导需先写 “∵是平行四边形”； 4.对角线性质易错记：平行四边形对角线互相平分但不一定相等、不一定垂直（只有特殊平行四边形：矩形、菱形才有此特征）。 【题型1.利用平行四边形的性质求解】 【典例】如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合题意得到，由，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两组对角分别相等可得，再根据邻补角互补可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接，，．若，，，则的面积为 ． 【答案】56 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 先通过证明，即可得到，进而得到，通过勾股定理求出线段的长度，然后通过线段的和差关系求出线段的长度，进而可求出的面积，即可求出平行四边形的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，． 在与中， ， ，即． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 由平行四边形的周长为，可得，再由的周长为，可得，则，根据平行四边形对角线互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 【题型2.利用平行四边形的性质证明】 【典例】平行四边形的两组对边分别 且 ；平行四边形的两组对角分别 ；两邻角 ；平行四边形的对角线 ；平行四边形的面积＝底边长× ． 【答案】 平行 相等 相等 互补 互相平分 底边上的高 【分析】根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：平行四边形的两组对边分别平行且相等；平行四边形的两组对角分别相等；两邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的面积＝底边长×底边上的高． 故答案为：平行；相等；相等；互补；互相平分；底边上的高． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的两组对边分别平行且相等；平行四边形的两组对角分别相等；两邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的面积＝底边长×底边上的高是解题的关键． 【跟踪专练1】在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 根据平行四边形的性质得，结合求出，进而可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F．若四边形周长为12，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．证明，利用全等的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 则四边形的周长， ∴， 故答案为：8． 【跟踪专练3】如图，四边形为平行四边形，则下列说法正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、对顶角相等、三角形内角和定理以及三角形外角定理，关键是紧扣平行四边形对边平行、对角相等的核心性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的定理． 【详解】解：选项A，四边形为平行四边形，对角线不一定垂直，不一定成立，故A错误； 选项B，，平行四边形的内角不一定与对角线的夹角相等，不一定成立，故B错误； 选项C，在中，，而， ∴，故C正确； 选项D，∵四边形为平行四边形， ∴． 而，， ∴不成立，故D错误； 故选：C． 【题型3.平行四边形性质的其他应用】 【典例】请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质： ． 【答案】对角线互相平分（答案不唯一） 【分析】菱形、矩形、正方形都有的性质即为平行四边形的性质，解题即可． 【详解】解：∵菱形、矩形、正方形都是平行四边形， ∴共同的性质为：对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等； 故答案为：对角线互相平分（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】平行四边形不一定具备的性质是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，邻角互补，逐项判断即可解答． 【详解】解：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，邻角互补， 平行四边形不一定有的性质是对角线相等，即C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出； 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD 由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形 ∴AE=CE ∴Rt△AE B′≌Rt△CDE ∴EB′=DE ∵在等腰Rt△AEC中， ∴ ∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60° ∴∠DCE=30° ∴DE=1 在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1 ∴= 故选：B 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型4.判断能否构成平行四边形】 【典例】把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 个平行四边形． 【答案】3 【分析】把相等的边重合后，得到一个四边形，再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，这其中必有一次是平行四边形，由于三边不同，故可组成3×2＝6个不同的四边形，其中有3个是平行四边形． 【详解】解：因为将三角形的三边分别重合一次，可拼得3个四边形，通过旋转后可得3个，所以共有6个．其中有3个是平行四边形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，图形的拼接，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形． 【跟踪专练1】在四边形中，已知，若再从下列条件：①；②；③；④中任意选取一个来判定四边形是平行四边形，则能断定四边形是平行四边形的选法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图所示， ①∵， ∴ ∵， ∴ ∴不能得到四边形是平行四边形； ②由，，不能得到四边形是平行四边形； ③∵ ∴， ∴不能得到四边形是平行四边形； ④∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 综上所述，能断定四边形是平行四边形的选法共有1种． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是 （填写相应序号）． 【答案】③ 【分析】①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC， 如果添加①，点E的位置无法确定，无法判定四边形AFCE的形状； 如果添加②，四边形AFCE可能是平行四边形或是等腰梯形； 如果③，则AE//CF， ∵AFCE， ∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确， 故答案为：③． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【跟踪专练3】如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，，，．下列条件： ①；②； ③，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单． 此题利用平行四边形的判定及全等三角形的性质求解． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ①，可得，即可判定四边形是平行四边形； ②添加，结合，可证得，∴，可得，可以证明四边形是平行四边形； ③，可证得，根据， 证明，可得，可以证明四边形是平行四边形； ④，无法判定，则无法判定四边形是平行四边形； ⑤，则，可得，结合，则，继而可得，可以证明四边形是平行四边形； ∴能得到四边形是平行四边形的个数是4个． 故选：C． 【题型5.添一个条件成为平行四边形】 【典例】如图，四边形中，请添加一个条件，使得此四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】∵在四边形中，， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定， 可添加的条件是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案． 【详解】解：A、， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴， 不能判断四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、∵， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，则当 时，四边形是平行四边形．    【答案】6 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解：， 当时，，即对角线互相平分， 四边形是平行四边形， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键． 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形， 选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误； 选项：， ， 在和中， , ， ， 四边形为平行四边形． 故正确． 故选：． 【题型6.证明四边形是平行四边形】 【典例】在四边形ABCD中，若AB//CD，BC AD，则四边形ABCD为平行四边形． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知： ∵AB//CD，BC//AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：//． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； C、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是直线外一点，在上取两点，，连接．分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是 ．理由是 ． 【答案】 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平.行四边形 【分析】先根据分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得出，再判断四边形是平行四边形的依据． 【详解】解：根据尺规作图的画法可得:， 四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是根据尺规作图得到两组对边分别相等，进而判定出四边形为平行四边形． 【跟踪专练3】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，垂直平分，过点作，以为顶点，在的左侧作交于点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：垂直平分， ，又， （①）， ， _____②______ ， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．SAS， B．SSS， C．SAS， D．SSS， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：垂直平分， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 故选：B． 【题型7.利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例】如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=13时，线段BC的长为 ． 【答案】13 【分析】由条件可知ABCD，ADBC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD=BC． 【详解】解：由条件可知ABCD，ADBC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴BC=AD=13． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形． 【跟踪专练1】如图，的对角线相交于点，，．若，则四边形的周长为（    ） A．8 B．11 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在梯形中，，则 ． 【答案】11 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．因为，所以四边形是平行四边形，则，由，，得，所以，推导出，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，点E为的中点，将分别平移到和的位置．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 【详解】解：∵为的中点，， ∴ 根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【题型8.利用平行四边形的性质与判定证明】 【典例】已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是 ． 【答案】平行四边形 【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，且AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形． 【详解】证明：∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD=EF，且AD∥EF， 同理可得BC=EF，且BC∥EF， ∴AD=BC，且AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形． 【跟踪专练1】如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿着的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D正确，无法判断A，B，C是否正确． 故选：D 【跟踪专练2】如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【跟踪专练3】如图，在中，，是对角线上的两点，且．给出下列结论∶①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 【答案】C 【分析】通过连接对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知条件，推导出四边形的对角线互相平分，从而判定其为平行四边形，再根据平行四边形的性质逐一分析各个结论．本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）和性质（对边平行且相等、对角线互相平分）是解题的关键． 【详解】解：连接交于点． ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴即 ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴即 ∵和的高相同，底相同 ∴ 而与不一定相等 故选：C． 【题型9.平行四边形性质和判定的应用】 【典例】为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ． 【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木， 由题意，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可证，四边形等均为平行四边形， ∴ ∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了， ∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】在四边形ABCD中，，，若，则 ． 【答案】140° 【分析】根据ABCD，AB=CD，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得答案． 【详解】解：∵ABCD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∵∠A=40°， ∴∠B=140°， 故答案为：140°． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是判定四边形ABCD为平行四边形． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB， ∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC， ∴△ABD≌△CDB， ∴； 同理可得：，，， ∴ 即，也即． 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键． 【题型10.求平行线间的距离】 【典例】如图，直线，则直线，之间距离是线段 的长度． 【答案】CD 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：由题可得，a∥b，CD⊥b， ∴直线a与直线b之间的距离是线段CD的长度， 故答案为：CD． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【跟踪专练1】如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是6． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∵的面积为， 即阴影部分的面积为16． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定和性质．延长交于点，作于点，证明四边形是矩形，得到，再利用证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：延长交于点，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【题型11.利用平行线间距离解决问题】 【典例】如图，直线，点A、B位于直线上，点C、D位于直线b上，且，若的面积为5，则的面积为 ．    【答案】10 【分析】由已知得：和的高相等，面积之比就是他们的底边之比． 【详解】解：根据题意和的高相同，可设为h， 则， 又因为， 则． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查平行线间的距离相等，即和的高相等是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（    ）    A．始终不变 B．向右移动变小 C．向左移动变小 D．向左移动先变小，再变大 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的知识；根据平行线间的距离处处相等可得点P到的距离不变，因此三角形的面积不变． 【详解】∵直线，点P是直线上一个动点， ∴无论点P怎么移动，点P到直线的距离不变， ∵的底不变， ∴的高不变，面积也不变， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键． 根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案． 【详解】解：∵直线， ∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确； ∵，的长随点P的移动而变化， ∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误； ∵点到直线的距离不变，的长度不变， ∴的面积不会随点的移动而变化，故③正确； 综上，不会随点的移动而变化的是①③． 故答案为：①③． 【跟踪专练3】如图，的面积为24，D为边上的一点，延长交的平行线于点E，连接，以为邻边作平行四边形交边于点H，连接，当时，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，利用面积的和差关系求出是解题的关键． 由面积的和差关系可求，即可求解． 【详解】解：如图，∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：C． 解答题 1.．如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 2．如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数．    【答案】，． 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 由四边形是平行四边形，可得对边平行，对角相等，根据平行线的性质即可求出这个平行四边形其余各内角的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵比大， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 3．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 4．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 5．如图，正方形和正方形并排放置，和相交于点，已知厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？    【答案】阴影部分的面积为平方厘米 【分析】连接，，根据正方形的性质及三角形面积公式推出阴影部分的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积， ∵厘米， ∴平方厘米， ∴阴影部分的面积为平方厘米． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，平行线的判定和性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $