精品解析：湖南岳阳市汨罗市 第一中学创新班2025-2026学年上学期七年级 第三次联考数学试题（12月）

七年级创新班2025年12月第三次数学联考试题 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分120分． 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确是（　　） A. （x3）4=x7 B. ﹣（﹣x）2•x3=﹣x5 C. x+x2=x3 D. （x+y）2=x2+y2 2. 如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“数”字对面的文字是（ ） A. 考 B. 试 C. 加 D. 油 3. 下列说法正确的个数是（　　） ①是方程， ②与是同类项， ③单项式的系数是，次数是4， ④二次二项式， ⑤关于的方程是一元一次方程，则值为任意实数． A. 4个 B. 2个 C. 3个 D. 1个 4. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（ ） A. B. 5 C. D. 25 5. 如图，已知点C是线段上一点，点D为线段的中点，且，若点E在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 钟表上12时15分时，时针和分针的夹角是（ ） A. 120° B. 90° C. 82.5° D. 60° 7. 已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有 整数解，则的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 49 D. 4或49 8. 《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一根一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第7天截取的长度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知a、b、c在数轴上的位置（），则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 10. 18世纪欧拉引进了求和符号“ ”（其中，且i和n表示正整数)，对这个符号我们进行如下定义： 表示 k 从 i 开始取数一直取到 n， 全部加起来， 即 ，例如∶ 当时， ，若 ，则p和m所表示的数分别为（ ） A 和9 B. 和20 C. 30和 D. 27和 二、填空题．（每小题3分，共24分） 11. 去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，“3259亿”用科学记数法表示为_________． 12. 若是关于x的一元一次方程，则________， 13. 若，，则__________． 14. 关于、的方程组的解满足，则的值为________． 15. 对于任意实数、，定义一种运算，例如，请根据上述定义解决问题：若，则的值是_____． 16. 将一副三角板如图所示摆放， 若 ， 则 的度数是________． 17. 已知 ，则的值__________________． 18. 电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为______． 三、解答题．（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：其中，． 21 解方程或方程组． （1） （2） 22. 已知，，且的值与的取值无关． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 23. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 24. 如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． （1）请直接写出的中点M所对应的数为________； （2）动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ 25. 在“狼堡”密室里，灰太狼发现完全平方公式：经经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴，∴． 根据上面灰太狼解题思路与方法，请解决下列问题： （1）①若，，则_____________； ②若，，则_____________； ③若，，则_____________； （2）如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求的面积． 26. 如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方． （1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OM恰好平分． ①t的值是_________； ②此时ON是否平分？说明理由； （2）在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分？请说明理由； （3）在（2）的基础上，经过多长时间，？请画图并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级创新班2025年12月第三次数学联考试题 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分120分． 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. （x3）4=x7 B. ﹣（﹣x）2•x3=﹣x5 C. x+x2=x3 D. （x+y）2=x2+y2 【答案】B 【解析】 【分析】A、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用积的乘方及同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式不能合并，错误； D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断． 【详解】A. (x3)4=x12，错误； B. −(−x)2⋅x3=−x5，正确； C. 原式不能合并，错误； D. (x+y)2=x2+2xy+y2，错误， 故答案选B. 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项与完全平方公式，解题的关键是熟练的掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项与完全平方公式. 2. 如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“数”字对面的文字是（ ） A. 考 B. 试 C. 加 D. 油 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可． 【详解】解：“数”字的对面上的文字是：“油”． 故选：D． 3. 下列说法正确个数是（　　） ①是方程， ②与是同类项， ③单项式系数是，次数是4， ④是二次二项式， ⑤关于的方程是一元一次方程，则值为任意实数． A. 4个 B. 2个 C. 3个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的定义、同类项的定义、单项式和多项式的有关概念、一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①是方程，正确； ②与不是同类项，原说法错误； ③单项式的系数是，次数是4，正确； ④是二次三项式，原说法错误； ⑤关于的方程是一元一次方程，则，原说法错误； 综上，正确的有①③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的定义、同类项的定义、单项式和多项式的有关概念、一元一次方程的定义，熟练掌握各定义是解题的关键． 4. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（ ） A. B. 5 C. D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 5. 如图，已知点C是线段上一点，点D为线段的中点，且，若点E在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质及和差关系；由题意易得，求出，则有，然后分当点E在点A右侧时和当点E在点A左侧时，进而求解即可． 【详解】解：∵为的中点，． ∴，， ∵， ∴， 若点在点A左边，则； 若点在点A右边，则； 则的长为或． 故选：D． 6. 钟表上12时15分时，时针和分针的夹角是（ ） A. 120° B. 90° C. 82.5° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】求出时针和分针每分钟转的角度，由此即可得． 【详解】因为时针每分钟转的角度为，分针每分钟转的角度为， 所以当钟表上12时15分时，时针转过的角度为，分针转过的角度为， 所以时针和分针的夹角为， 故选：C． 【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟表盘特征和时针、分针每分钟转的角度数是解题关键． 7. 已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有 整数解，则的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 49 D. 4或49 【答案】A 【解析】 【分析】首先解方程组求得方程组的解是：，则是10和15的公约数，且是正整数，据此即可求得的值，求得代数式的值． 【详解】解：两式相加得：， 则， 代入第二个方程得：， 当方程组有整数解时，是10和15的公约数． 或． 即或或2或． 又是正整数， ， 则． 故选：A． 【点睛】本题考查了方程组的解，正确理解3+m是10和15的公约数是关键． 8. 《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一根一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第7天截取的长度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了数字类的规律．根据每次截取剩余的长度都是前一次截取剩余长度的一半，然后把前天相加求解即可． 【详解】解：第一天截取了木棍的； 第二天截取了木棍剩下部分的一半：； 第三天截取了木棍剩下部分的一半：， 第四天截取了木棍剩下部分的一半：， ∴第7天截取后剩余部分的长度为：米， 故选：D． 9. 已知a、b、c在数轴上的位置（），则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．根据a、b、c在数轴上的位置判断出绝对值内部式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 10. 18世纪欧拉引进了求和符号“ ”（其中，且i和n表示正整数)，对这个符号我们进行如下定义： 表示 k 从 i 开始取数一直取到 n， 全部加起来， 即 ，例如∶ 当时， ，若 ，则p和m所表示的数分别为（ ） A. 和9 B. 和20 C. 30和 D. 27和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式求和，恒等式的问题．先根据中二次项系数为3，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵中二次项系数3， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， 故选：B． 二、填空题．（每小题3分，共24分） 11. 去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，“3259亿”用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，先将“3259亿”转化为具体整数，再依据科学记数法的定义，把该数表示为（，为整数）的形式，确定与的取值即可． 【详解】解：1亿， 亿． 12. 若是关于x的一元一次方程，则________， 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值的性质，根据一元一次方程的定义，即含有一个未知数，并且未知数次数为1的整式方程计算即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若，，则__________． 【答案】19 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形计算即可得解． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：19． 【点睛】本题考查整体代入法和完全平方公式，掌握这两点是解题关键． 14. 关于、的方程组的解满足，则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得出是解题的关键．方程组中的两个方程直接相加得出，化简得，结合已知即可求出的值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ， ， 故答案为：0． 15. 对于任意实数、，定义一种运算，例如，请根据上述定义解决问题：若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 将一副三角板如图所示摆放， 若 ， 则 的度数是________． 【答案】54°##54度 【解析】 【分析】根据角的关系得出∠DAE，再根据∠CAD=∠CAE-∠DAE求解即可． 【详解】解：∵∠BAE=126°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=126°-90°=36°， ∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=90°-36°=54°， 故答案为：54°． 【点睛】此题考查了三角板中角度的计算，关键是根据角的关系得出∠DAE． 17. 已知 ，则的值__________________． 【答案】45 【解析】 【分析】先将变形得到，再将代入计算即可得到答案. 【详解】变形得到，再将代入得到=45. 【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入法进行计算. 18. 电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2025次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为： 三、解答题．（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（ ）先去括号，化简绝对值，然后根据有理数加减运算法则计算即可； （ ）根据有理数除法法则，乘法的分配律进行计算即可； 本题考查了有理数的运算，乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 先化简，再求值：其中，． 【答案】，16 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，得，然后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵，， ∴． 21. 解方程或方程组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解二元一次方程组： （1）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 22. 已知，，且的值与的取值无关． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)根据整式的值与x的取值无关，化简后，令含x的项的系数为零，计算即可． (2)根据a，b的值，代入计算即可． 【小问1详解】 因为，， 所以 ． 因为此多项式的值与字母的取值无关， 所以，， 所以，． 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了整式的加减中无关问题，代数式的值计算，熟练掌握无关计算的条件是解题的关键． 23. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 （2）共有2种购买方案，最大利润是220元 【解析】 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【小问1详解】 解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． 【小问2详解】 解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 24. 如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． （1）请直接写出中点M所对应的数为________； （2）动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ 【答案】（1）40 （2）点C对应的数是； （3）点D对应的数是． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题； （1）根据中点公式可列式算得答案； （2）设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；，根据表示的数相同列方程可得t的值，从而可得C表示的数； （3）设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；，列方程可解得的值． 【小问1详解】 解：M点对应的数为， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：设动点P、Q经过t秒相遇， 则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；， 根据题意得， 解得， ∴， 答：点C对应的数是； 【小问3详解】 解：设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；， 根据题意得， 解得， ∴， 答：点D对应的数是． 25. 在“狼堡”密室里，灰太狼发现完全平方公式：经经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴，∴． 根据上面灰太狼的解题思路与方法，请解决下列问题： （1）①若，，则_____________； ②若，，则_____________； ③若，，则_____________； （2）如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求的面积． 【答案】（1）①13；②4；③20 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据完全平方公式代入求值即可； ②根据完全平方公式可得，整体代入求值即可； ③根据完全平方公式可得，整体代入求得，再利用完全平方公式整体代入求解即可； （2）设，，可得，，求出即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴； 故答案为：13； ②∵，， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：4； ③∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：20 小问2详解】 解：设，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， ∴， ∴； 26. 如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方． （1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OM恰好平分． ①t的值是_________； ②此时ON是否平分？说明理由； （2）在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分？请说明理由； （3）在（2）的基础上，经过多长时间，？请画图并说明理由． 【答案】（1）①5；②是，理由见解析 （2）5，理由见解析 （3）秒或秒，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①由∠AOC的度数，求出∠COM的度数，根据互余可得出∠CON的度数，进而求出时间t； ②根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再根据∠BOM=∠COM，即可得出ON平分∠AOC； （2）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根据转动速度从而得出答案； （3）需要分两种情况，当射线OC在直线AB上方时，在直线下方时两种情况，再根据旋转建立方程即可． 【小问1详解】 解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB， ∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=2∠COM=150°， ∴∠COM=75°， ∴∠CON=15°， ∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°， ∴∠AON=∠CON， 解得：t=15°÷3°=5； 故答案为：①5； ②是，理由如下： 由上可知，∠CON=∠AON=15°， ∴ON平分∠AOC； 【小问2详解】 经过5秒时，OC平分∠MON，理由如下： ∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM， ∵∠MON=90°， ∴∠CON=∠COM=45°， ∵三角板绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，射线OC也绕O点以每秒6°的速度顺时针旋转， 设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t， 当OC平分∠MON时，∠CON=∠COM=45°， ∴∠AOC-∠AON=45°， 可得：30°+6t-3t=45°， 解得：t=5； 【小问3详解】 根据题意，有两种情况，当射线OC在直线AB上方时，如图4①，当射线OC在直线直线AB下方时，如图4②， 则有30°+6t+10°=180°，或30°+6t-10°=180°， 解得t=或， ∴经过秒或秒时，∠BOC=10°． 【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $