精品解析：湖南衡阳县第二中学2025-2026学年高二下学期数学开学摸底检测

高二开学摸底检测 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知直线经过点，，下列向量不是该直线方向向量的为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，.若，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（　　） A B. C. D. 4. 圆心为，且经过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 1或5 C. 5 D. 3或5 6. 已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 8. 已知双曲线：离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的通项公式为，则（ ） A. B. C. D. 11. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 当时，表示焦点在轴上椭圆，焦距为 C. 若，则为椭圆 D. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在棱长为2的正方体中，为棱上任意一点，则______． 13. 若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 14. 设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． （1）求圆的方程； （2）圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 16. （1）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程； （2）已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上，若面积的最大值为12，求此椭圆的方程. 17. 已知公差不为零的等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，M是AD的中点. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知抛物线与直线相交于A、B两点． （1）求证：； （2）当的面积等于时，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二开学摸底检测 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 2. 已知，.若，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间平行向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 3. 已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立两直线方程求得交点，再由已知直线方程求出所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案． 【详解】联立，解得， ∴直线x﹣y+2＝0和2x+y+1＝0的交点为（﹣1，1）， 又直线l和直线x﹣3y+2＝0垂直， ∴直线l的斜率为﹣3． 则直线l的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），即3x+y+2＝0． 故选：A． 4. 圆心为，且经过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】待定系数法直接求解可得. 【详解】因为圆心为，所以设圆的方程为， 因为圆经过原点，所以，解得 所以所求圆的方程为. 故选：A 5. 若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 1或5 C. 5 D. 3或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点位置确定，利用关系即可求出结果. 【详解】根据左焦点坐标为，可得，且焦点在轴上， 结合椭圆标准方程可得，故. 故选：C. 6. 已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再利用点到平面的距离公式即可. 【详解】因为， 所以点到平面的距离为． 故选：A. 7. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为，，的圆心和半径为，, 故,,故两圆相交， 故选：D 8. 已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的关系求，即可得其渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，可得， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程. 【详解】直线与坐标轴的交点为，， 故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和. 故选：BD. 10. 已知等差数列的通项公式为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】代入可得；由可得. 【详解】令，则； ，公差. 故选：AD. 11. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C. 若，则为椭圆 D. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，当时，方程为表示焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得，焦距为，故B错误； 对于C，由A知，表示圆，故C错误； 对于D，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在棱长为2的正方体中，为棱上任意一点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作出正方体图，表达出，即可求出的值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为， ， 故答案为：. 13. 若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系，结合圆心距、两圆半径和差之间的关系进行求解即可. 【详解】由已知得，半径，，半径. 因为，两圆没有公共点， 所以两圆的位置关系为外离或内含， 所以或， 即或， 所以或，即或或. 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得. 【详解】由椭圆定义可得， 则有，即，， 又， 由，故， 故. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． （1）求圆的方程； （2）圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【小问1详解】 经过点与点的直线方程为． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆半径为4． 则圆方程为； 【小问2详解】 ∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 16. （1）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程； （2）已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上，若面积的最大值为12，求此椭圆的方程. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率，可以设，椭圆焦点位置不确定，所以分别讨论焦点在轴上和焦点在轴上，利用椭圆中，根据题意分别求出和，代入到椭圆标准方程即可. （2）根据题意知，且，所以，所以若面积的最大，则最大即可，由此可求出，根据题意知，所以由求出和，代入到椭圆标准方程即可. 【详解】（1）因为椭圆离心率，所以设， 因为在椭圆中，所以，所以， 因为短轴长为，所以，所以，即， 所以，所以， 所以，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为， 当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为， 所以，椭圆的方程为或. （2）设点坐标为，因为椭圆的两焦点为， 所以，则， 所以当最大时，的面积的最大，且，所以， 因为点在椭圆上，所以点坐标为，所以， 所以，且，即， 因为在椭圆中，所以， 所以椭圆的方程为. 17. 已知公差不为零的等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据前3项和为3，且，，成等比数列，列出关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，即可得答案； （2）利用（1）的结论，可得数列是首项为，公比为9的等比数列，再利用等比数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设的公差为， 因为等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列， 所以 解得 ∴. （2）∵， ∴，， ∴数列是首项为，公比为9的等比数列， ∴. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，M是AD的中点. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量法求平面夹角. 【小问1详解】 由题可得，，， 所以在中由余弦定理得， 所以，所以， 因为，M为AD的中点，所以. 又，，故， 所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由得，，，， 所以，，，. 设平面的一个法向量. 易得，即，取，可得， 设平面的一个法向量， 易得，即，取，可得， 易得， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知抛物线与直线相交于A、B两点． （1）求证：； （2）当的面积等于时，求k的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将证明转化证即可； （2）根据题意，由利用面积建立关于k的方程，然后代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由方程与联立，消去后，整理得． 由题意易知，且， 设，由韦达定理，， 在抛物线上，， 则，. ∴． 【小问2详解】 设直线与轴交于N，又显然，令，则，即， 又， ，且， 则，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $