精品解析：河南郸城县张完乡第三中学等校2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

2025-2026学年度上期期末考试卷 九年级数学（） （满分：120分考试时间：90分钟） 1.本试卷分为选择题、填空题、解答题三部分，所有答案均写在答题卷指定位置，写在试卷上无效． 2.答题前，考生需将姓名、班级、考号填写在答题卷相应位置． 3.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程：的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 4. 用配方法解一元二次方程：配方后得到的方程是 （ ） A. B. C. D. 5. 已知，相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，，若 ，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 抛一枚硬币，正面朝上 9. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在离地面高度为的处，测得旗杆顶端的仰角为，测得旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ）(结果保留根号，参考数据：) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 12. 若一元二次方程的两根为则这个方程可以是___________(写出一个即可)． 13. 已知，的值为______． 14. 在中，，则_______． 15. 两个相似三角形的面积分别为和则它们的对应角平分线的比为_________． 16. 从，，0，1，2这五个数中随机抽取一个数，记为a，则使关于x的一元二次方程有实数根的概率为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列一元二次方程： （1）(公式法)； （2）． 19. 如图，在和中，，求的长． 20. 在中，，，求和的长，以及的值． 21. 如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号） 22. 一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共个，它们除颜色外完全相同，其中红球有个，黄球有个． （1）求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； （2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，求两次都摸到红球的概率（用列表法或树状图法解答）． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根 （1）求实数k的取值范围； （2）若，求k的值． 24. 如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． （1）若点恰好落在上，求的长； （2）若，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期期末考试卷 九年级数学（） （满分：120分考试时间：90分钟） 1.本试卷分为选择题、填空题、解答题三部分，所有答案均写在答题卷指定位置，写在试卷上无效． 2.答题前，考生需将姓名、班级、考号填写在答题卷相应位置． 3.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含平方因子），逐一判断各选项． 【详解】解： A．，不是最简二次根式； B．被开方数含分母，不是最简二次根式； C．，被开方数10无平方因子且无分母，是最简二次根式； D．，不是最简二次根式． 故选：C． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，根据二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数， ∴． 故择：B． 3. 一元二次方程：的解是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 通过因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即，． 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程：配方后得到的方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：∵， ∴， 两边加9得， 即． 故选：B． 5. 已知，相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握周长比等于相似比是解题关键． 根据相似三角形的性质，周长比等于相似比． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的周长比为． 故选：A． 6. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，在 中，，若 ，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 根据得到，根据证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 抛一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件与随机事件的定义，关键是明确必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A选项：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6中的任意一个，因此点数为6是可能发生也可能不发生的随机事件； B选项：射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中靶心，属于随机事件； C选项：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都为，这是一定会发生的事件，属于必然事件； D选项：抛一枚硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，属于随机事件； 故选：C． 9. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求概率．直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵总球数为个，白球有2个， ∴摸出白球的概率为． 故选：B 10. 如图，在离地面高度为的处，测得旗杆顶端的仰角为，测得旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ）(结果保留根号，参考数据：) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用(仰角俯角问题)，关键是通过作辅助线构造两个直角三角形，利用三角函数的定义求出相关线段长度，再求和得到旗杆高度．首先过点作于，构造矩形，得到，；然后在中，利用的定义求出的长度；接着在中，利用的定义求出的长度；最后根据计算旗杆高度． 【详解】解：如图，过点作于，则， 地面，地面， ∴， 四边形是矩形， ，， 由题意得：，， 在中，，， ； 在中，，， ； ． 故选：A. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 若一元二次方程的两根为则这个方程可以是___________(写出一个即可)． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握“若一元二次方程的两根为、，则该方程可表示为”．先根据两根写出因式形式的方程，再取为任意非零常数(如)，展开整理即可得到满足条件的方程． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴设该方程为， 取，则方程为， 展开整理得：； 故答案为：(答案不唯一)． 13. 已知，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故答案为． 14. 在中，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形及勾股定理的应用，关键是掌握余弦函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦等于邻边与斜边的比值．先利用余弦的定义求出直角边的长度，再根据勾股定理计算出另一条直角边的长度． 【详解】解：在中，， ，， ； 根据勾股定理，； 故答案为：． 15. 两个相似三角形的面积分别为和则它们的对应角平分线的比为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键知识点为：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积分别为和， ∴它们的面积比为， 则相似比为， 又∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比， ∴它们的对应角平分线的比为(或)； 故答案为：(或)． 16. 从，，0，1，2这五个数中随机抽取一个数，记为a，则使关于x的一元二次方程有实数根的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，概率公式． 根据根的判别式得到，进而根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ，，0，1在范围内， 则使关于x的一元二次方程有实数根的概率为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的混合运算计算即可； （2）先利用完全平方公式展开，再根据二次根式混合运算法则计算即可得答案． 【小问1详解】 解： 原式 【小问2详解】 解： 原式 18. 解下列一元二次方程： （1）(公式法)； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，公式法需先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，计算判别式后代入求根公式求解；因式分解法先将方程整理为一般形式，再通过因式分解法求解更简便． （1）公式法解一元二次方程的关键是准确确定、、的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算； （2）对于含括号的方程，先展开移项化为一般式，观察到能因式分解时，用因式分解法求解步骤更简洁． 【小问1详解】 解：对于方程， ∵，，， ∴， 则， ∴；； 故方程的解为，； 【小问2详解】 解：展开得， 移项合并同类项得， 因式分解得， ∴或， 解得或； 故方程的解为，． 19. 如图，在和中，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据已知角和边的条件判定三角形全等，再利用全等三角形对应边相等求解的长度．首先根据已知的两组角相等和一组边相等，利用判定定理证明和全等；再根据全等三角形对应边相等，结合已知，即可得到的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 20. 在中，，，求和的长，以及的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据，设，则，利用勾股定理可得：，解方程可得，可得：． 【详解】解：如下图所示， 在 中， ， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， 整理得：， 系数化为得：， ， ， ，， ． 21. 如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】作于．解直角三角形分别求出、即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：作于． ，米， （米）， ， 四边形是矩形， （米）， ，， ， ，， ， ， ， ， （米）， 在中， ， （米）， （米）． 22. 一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共个，它们除颜色外完全相同，其中红球有个，黄球有个． （1）求从中随机摸出一个球是蓝球的概率； （2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，求两次都摸到红球的概率（用列表法或树状图法解答）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接由概率公式求解即可； （）根据题意列表，得共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：蓝球的个数为（个） ∴从中随机摸出一个球是蓝球的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下， 红1 红2 红3 红4 黄1 黄2 黄3 蓝1 蓝2 蓝3 红1 红2红1 红3红1 红4红1 黄1红1 黄2红1 黄3红1 蓝1红1 蓝2红1 蓝3红1 红2 红1红2 红3红2 红4红2 黄1红2 黄2红2 黄3红2 蓝1红2 蓝2红2 蓝3红2 红3 红1红3 红2红3 红4红3 黄1红3 黄2红3 黄3红3 蓝1红3 蓝2红3 蓝3红3 红4 红1红4 红2红4 红3红4 黄1红4 黄2红4 黄3红4 蓝1红4 蓝2红4 蓝3红4 黄1 红1黄1 红2黄1 红3黄1 红4黄1 黄2黄1 黄3黄1 蓝1黄1 蓝2黄1 蓝3黄1 黄2 红1黄2 红2黄2 红3黄2 红4黄2 黄1黄2 黄3黄2 蓝1黄2 蓝2黄2 蓝3黄2 黄3 红1黄3 红2黄3 红3黄3 红4黄3 黄1黄3 黄2黄3 蓝1黄3 蓝2黄3 蓝3黄3 蓝1 红1蓝1 红2蓝1 红3蓝1 红4蓝1 黄1蓝1 黄2蓝1 黄3蓝1 蓝2蓝1 蓝3蓝1 蓝2 红1蓝2 红2蓝2 红3蓝2 红4蓝2 黄1蓝2 黄2蓝2 黄3蓝2 蓝1蓝2 蓝3蓝2 蓝3 红1蓝3 红2蓝3 红3蓝3 红4蓝3 黄1蓝3 黄2蓝3 黄3蓝3 蓝1蓝3 蓝2蓝3 共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种， ∴ 两次都摸到红球的概率为． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根 （1）求实数k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系的知识，熟记根的判别式是解决本题的关键． （1）根据关于x的一元二次方程有实数根得到，即可求出k的取值范围； （2）由根与系数关系得到，，再根据题目给出的条件进行解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根， ， ∴， ∴， 解得 ． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得： ， ， ， 整理得 ， ∴， 解得 或 ， ， ． 24. 如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． （1）若点恰好落在上，求的长； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $