专题12分式方程专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题12分式方程 【题型01 分式方程的定义】........................................2 【题型02 解分式方程】............................................3 【题型03 根据分式方程解的情况求值】..............................3 【题型04 分式方程无解问题】......................................4 【题型05 列分式方程】............................................4 【题型06 分式方程的行程问题】....................................5 【题型07 分式方程的工程问题】....................................5 【题型08 分式方程的经济问题】....................................6 【题型09 分式方程的和差倍分问题】................................7 【题型10 分式方程的其他实际问题】................................7 【解答题5题】....................................................8 ★知识梳理★ ☛知识点01:分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程（区分：分母只有常数的是整式方程）。示例：=2、=3 是分式方程；+1=3 是整式方程。 ☛知识点02:分式方程的解法（核心：去分母，化分式方程为整式方程） 四步核心流程： 1.找最简公分母：先对分母因式分解，取各分母因式最高次幂的积； 2.去分母：方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为整式方程（注意：每一项都要乘，含常数项）； 3.解整式方程：按一元一次 / 二次方程解法求未知数的值； 4.验根（必做步骤）：把解代入最简公分母，若公分母≠0，是原方程的根；若公分母 = 0，是增根，原方程无解。 ☛知识点03:增根的概念与成因 1.增根：解整式方程得到的根，使原分式方程的分母为 0，此根不是原方程的解； 2.成因：去分母时，方程两边同乘了含未知数的最简公分母，若该公分母为 0，相当于两边乘 0，破坏了方程的等价性。 ☛知识点04:分式方程的应用（列解步骤同一元一次方程应用题，核心：找等量关系） 五步解题法： 1.审：审清题意，找已知量、未知量和等量关系； 2.设：设未知数（直接设 / 间接设，带单位）； 3.列：根据等量关系列出分式方程； 4.解：按分式方程解法求解并验根（双重验根：① 验公分母≠0；② 验解符合实际题意）； 5.答：写出答案（带单位）。 ☛知识点05:常见应用题型（核心等量关系） 行程问题：路程 = 速度 × 时间（v=），常考：相遇、追及、顺逆水 / 风、路程相同的速度 / 时间问题； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（效率=），常把工作总量设为1； 销售 / 比例问题：单价、数量、总价关系；浓度、溶质、溶液关系；比例分配问题。 ☛知识点06:核心易错点提醒 1.去分母时常数项漏乘最简公分母（最易错题）； 2.解分式方程忘记验根，增根未舍去； 3.应用题验根时，忽略实际意义（如速度、时间、数量不能为负或 0）； 4.设未知数时带单位，列方程时单位不统一。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 【跟踪专练2】下列关于的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】请你利用代数式，，组成一个分式方程： ． 【题型2.解分式方程】 【典例】定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若，则x的值为 . 【跟踪专练1】解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下面是嘉嘉同学解分式方程的错误过程，该解答过程是从第 （填序号）步开始出现错误的． 解：方程两边同乘， 得，，① 解得，② 经检验，是原分式方程的解．③ 【跟踪专练3】对于非零实数、，规定．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【题型3.根据分式方程解的情况求值】 【典例】是方程的解，则的值为 ． 【跟踪专练1】当（    ）时，解分式方程会出现增根（    ） A．5 B．2 C．﹣2 D．3 【跟踪专练2】若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【跟踪专练3】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．．且 C． D．且 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【跟踪专练1】关于x的方程会产生增根，那么k的值（   ） A．3 B． C．1 D． 【跟踪专练2】若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【跟踪专练3】若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【题型5.列分式方程】 【典例】某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，提速前列车的平均速度为多少？设提速前这次列车的平均速度为，可列方程 ． 【跟踪专练1】已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】大疆创新科技有限公司是一家全球领先的无人飞行器研发和制造企业，旗下拥有众多型号的无人机产品，广泛应用于航拍、农业、测绘、巡检等多个领域．其中系列属于农业无人机，用于农田监测，作物喷洒等，系列更适合航拍使用．兴趣小组发现，系列某型号无人机的时速是系列某型号无人机时速的2.4倍，系列某型号无人机飞向500米高空比T系列某型号无人机少用了5分钟，如果设T系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时，则可列方程为 ． 【跟踪专练3】某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用小时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 【题型6.分式方程的行程问题】 【典例】甲乙两人骑自行车，从相距千米的、两地同时出发，相向而行，甲从地出发至千米时，想起有东西忘在地，既返回去取，又立即从地向地行进，甲乙两人恰好在的中点相遇已知甲的速度比乙的速度快千米小时求甲乙两人的速度？设乙的速度是千米小时，则所列方程是 ． 【跟踪专练1】某校八年级学生为探索千年陶瓷文明，计划前往距学校的丰城洪州窑研学基地开展非遗体验活动．一部分学生提前骑自行车出发，45分钟后，其余学生乘汽车沿同一路线前往，最终两队同时抵达基地．已知汽车的行驶速度是自行车的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 【跟踪专练3】我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度． 【题型7.分式方程的工程问题】 【典例】一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为天，可列方程 ． 【跟踪专练1】某服装车间接到一笔生产5400套运动服的订单，由于扩建了一条生产线，实际生产时每天生产的运动服数量是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产x套运动服，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 【跟踪专练3】某市新区为美化环境，计划对面积为3600平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？ (2)若每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过16万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【题型8.分式方程的经济问题.】 【典例】某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进 本． 【跟踪专练1】某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】五一假期将至，某商店看准商机用2000元和2400元分别购进A，B两种水果．已知A种水果每箱的进价比B种水果每箱的进价少20元，且购进A种水果的箱数是B种水果箱数的． (1)求A，B两种水果每箱的进价分别为多少元； (2)商店开始出售这些水果，已知A种水果的售价为60元/箱，出售完40箱后，对剩下部分打a折进行销售；B种水果每箱售价比进价多元，两种水果均全部售出．若要使销售这批水果的总利润率不低于40%，求a的最小值． 【跟踪专练3】人形机器人在2025年春节联欢晚会的表演爆火，带动了人形机器人的畅销．某公司把A，B两款人形机器人放在网上进行销售．每台人形机器人的售价B款比A款少．当两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10台．求每台A款人形机器人的售价是多少万元． 【题型9.分式方程和差倍分问题】 【典例】有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1，则分数值等于，原分数是 ． 【跟踪专练1】某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵25元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ） A．篮球的数量 B．足球的数量 C．篮球的单价 D．足球的单价 【跟踪专练2】甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？ 【跟踪专练3】【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数．若设原分数的分子为，则可列分式方程为 ． 【跟踪专练1】古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某城市引入某品牌新能源环卫车进行道路清洁．该品牌车辆电池满电容量均为180千瓦时升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，工作状态下每小时比升级前少耗电5千瓦时求升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量． 【跟踪专练3】综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 解答题 1．解下列分式方程： (1)． (2)． 2．若关于的分式方程无解，求的值． 3．阅读并完成任务． 翠湖公园附近设有，两类摊位，已知每个类摊位的占地面积比每个类摊位多，且场地可布置的类摊位个数与场地可布置的类摊位个数相等．每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 相等关系：布置类摊位的个数等于布置类摊位的个数 解法二 相等关系：每个类摊位的面积减去每个类摊位的面积等于 任务： (1)解法一所设未知数为______．解法二所设未知数为______； A．每个类摊位的占地面积为； B．每个类摊位的占地面积为； C．可布置类摊位个或可布置类摊位个； (2)请选择一种解法求出每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 4．为了进一步弘扬和传承我国悠久而丰富的传统节日文化，在端午节即将来临之际，滨海学校精心策划并成功举办了富有意义的包粽子活动．已知包1个大粽子比包1个小粽子多用50克糯米，用800克糯米包大粽子的数量与用400克糯米包小粽子的数量相同． (1)求包1个大粽子和1个小粽子分别需用多少克糯米？ (2)八年级8班计划包大、小粽子共60个，且所用糯米总量不超过5000克，那么该班级最多可以包多少个大粽子？ 5．某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成．已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍．设甲单独完成这项工作需要天． (1)甲和乙的工作效率分别为______，______（用含的代数式表示）． (2)求甲、乙单独完成这项工作各需多少天？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12分式方程 【题型01 分式方程的定义】........................................2 【题型02 解分式方程】............................................4 【题型03 根据分式方程解的情况求值】..............................6 【题型04 分式方程无解问题】......................................8 【题型05 列分式方程】...........................................10 【题型06 分式方程的行程问题】...................................12 【题型07 分式方程的工程问题】...................................14 【题型08 分式方程的经济问题】...................................16 【题型09 分式方程的和差倍分问题】...............................18 【题型10 分式方程的其他实际问题】...............................20 【解答题5题】...................................................23 ★知识梳理★ ☛知识点01:分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程（区分：分母只有常数的是整式方程）。示例：=2、=3 是分式方程；+1=3 是整式方程。 ☛知识点02:分式方程的解法（核心：去分母，化分式方程为整式方程） 四步核心流程： 1.找最简公分母：先对分母因式分解，取各分母因式最高次幂的积； 2.去分母：方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为整式方程（注意：每一项都要乘，含常数项）； 3.解整式方程：按一元一次 / 二次方程解法求未知数的值； 4.验根（必做步骤）：把解代入最简公分母，若公分母≠0，是原方程的根；若公分母 = 0，是增根，原方程无解。 ☛知识点03:增根的概念与成因 1.增根：解整式方程得到的根，使原分式方程的分母为 0，此根不是原方程的解； 2.成因：去分母时，方程两边同乘了含未知数的最简公分母，若该公分母为 0，相当于两边乘 0，破坏了方程的等价性。 ☛知识点04:分式方程的应用（列解步骤同一元一次方程应用题，核心：找等量关系） 五步解题法： 1.审：审清题意，找已知量、未知量和等量关系； 2.设：设未知数（直接设 / 间接设，带单位）； 3.列：根据等量关系列出分式方程； 4.解：按分式方程解法求解并验根（双重验根：① 验公分母≠0；② 验解符合实际题意）； 5.答：写出答案（带单位）。 ☛知识点05:常见应用题型（核心等量关系） 行程问题：路程 = 速度 × 时间（v=），常考：相遇、追及、顺逆水 / 风、路程相同的速度 / 时间问题； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间（效率=），常把工作总量设为1； 销售 / 比例问题：单价、数量、总价关系；浓度、溶质、溶液关系；比例分配问题。 ☛知识点06:核心易错点提醒 1.去分母时常数项漏乘最简公分母（最易错题）； 2.解分式方程忘记验根，增根未舍去； 3.应用题验根时，忽略实际意义（如速度、时间、数量不能为负或 0）； 4.设未知数时带单位，列方程时单位不统一。 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个分析即可判断． 【详解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合题意； 是分式方程，故②符合题意； 是分式方程，故③符合题意； 是整式方程，不是分式方程，故④不符合题意； 综上所述，是分式方程的有②③． 故答案为：②③． 【跟踪专练2】下列关于的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要判断一个方程是否为分式方程，关键依据是：分母中含有未知数的方程．我们需要逐一分析每个选项的分母是否含有未知数． 【详解】解：A、，分母是常数，不含有未知数，是整式方程，不符合题意； B、，虽然分母含有，但分子中含有根号，属于无理方程，不是分式方程，不符合题意； C、，分母中含有未知数，是分式方程，符合题意； D、，分母含有根号，是无理方程，不是分式方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题关键是明确分式方程的核心特征是分母中含有未知数，同时注意区分整式方程和无理方程． 【跟踪专练3】请你利用代数式，，组成一个分式方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型2.解分式方程】 【典例】定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若，则x的值为 . 【答案】1 【分析】根据定义得到，由得到，解分式方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的根， 即x的值为1． 故答案为：． 【点睛】此题考查了新定义运算，根据新定义得到分式方程是解题的关键． 【跟踪专练1】解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法，去分母转化为整式方程的过程．解分式方程的关键是确定最简公分母并去分母，方程两边同乘公分母，即可转化为整式方程． 【详解】解：原方程为， 将分母变形为，原方程可改写为：， 确定最简公分母为，两边同乘，得：． 故答案选：C． 【跟踪专练2】下面是嘉嘉同学解分式方程的错误过程，该解答过程是从第 （填序号）步开始出现错误的． 解：方程两边同乘， 得，，① 解得，② 经检验，是原分式方程的解．③ 【答案】② 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先写出解分式方程的正确步骤，再对比嘉嘉同学的错误过程，即可得出答案． 【详解】解：正确解答为：方程两边同乘， 得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． ∴该解答过程是从第②步开始出现错误的． 故答案为：②． 【跟踪专练3】对于非零实数、，规定．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算与解分式方程，先根据新定义将等式转化为分式方程，再按照解分式方程的步骤求解并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵规定，且， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验，是原分式方程的解， ∴的值为， 故选：． 【题型3.根据分式方程解的情况求值】 【典例】是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，将代入方程即可求的值． 【详解】解：将代入方程得： 方程，即， ∴，经检验，符合题意． 故答案为： 【跟踪专练1】当（    ）时，解分式方程会出现增根（    ） A．5 B．2 C．﹣2 D．3 【答案】B 【分析】解分式方程后根据方程有增根列得关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：， 两边同乘，去分母得：， 移项，合并同类项得：， ∵原方程有增根， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查根据含参数的分式方程有增根确定参数的值，结合已知条件解方程后列得关于m的方程是解题的关键． 【跟踪专练2】若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握解分式方程． 先解分式方程，再根据分式方程解为负数即可得解． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 该分式方程有解，且解为负数， ，， ，， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程．先解分式方程得到的表达式，再根据解是非负数及分式方程分母不为0（解不为增根）列不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为 ∴将方程右边变形为，两边同乘去分母得： 移项合并同类项得： ∴ ∵方程的解是非负数 ∴ 解得：． 又∵分式方程分母不能为0，即 ∴ 解得：． ∴的取值范围是且． 故选：D． 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】－2 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据该分式方程有增根，确定该整式方程的根为x=1，再代入得到关于m的方程并求解即可． 【详解】解：将关于x的分式方程的两边同时乘以得． ∵该分式方程有增根， ∴x=1． 把x=1代入得． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程无解问题，熟练掌握该知识点是解题关键． 【跟踪专练1】关于x的方程会产生增根，那么k的值（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 【跟踪专练2】若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：原方程可化为，即， 由分式值为零的条件，分子为零且分母不为零，得且， 即 且， 当时，分母为零，为增根，代入得， 解得，此时方程无解． 故答案为：6． 【跟踪专练3】若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 【题型5.列分式方程】 【典例】某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，提速前列车的平均速度为多少？设提速前这次列车的平均速度为，可列方程 ． 【答案】 【分析】根据“提速前路程提速前速度提速后路程提速后速度”列出方程即可． 【详解】解：设提速前这次列车的平均速度为，可列方程， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系． 【跟踪专练1】已知甲做个零件与乙做个零件所用的时间相同，两人每天共做个零件；设甲每天做个零件，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率． 设甲每天做x个零件，根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ； 故选A． 【跟踪专练2】大疆创新科技有限公司是一家全球领先的无人飞行器研发和制造企业，旗下拥有众多型号的无人机产品，广泛应用于航拍、农业、测绘、巡检等多个领域．其中系列属于农业无人机，用于农田监测，作物喷洒等，系列更适合航拍使用．兴趣小组发现，系列某型号无人机的时速是系列某型号无人机时速的2.4倍，系列某型号无人机飞向500米高空比T系列某型号无人机少用了5分钟，如果设T系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设T系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时，则系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时，系列某型号无人机飞向500米高空比T系列某型号无人机少用了5分钟，列出方程． 【详解】解：设T系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时，则系列某型号无人机的飞行时速为千米/小时， 依题意得： 故答案为：． 【跟踪专练3】某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用小时．采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意可得工效提升了后，每小时加工个零件，再根据题意可得等量关系：采用新工艺前加工个零件所用时间采用新工艺后加工个零件所用时间，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工个零件，根据题意得， 故选：A． 【题型6.分式方程的行程问题】 【典例】甲乙两人骑自行车，从相距千米的、两地同时出发，相向而行，甲从地出发至千米时，想起有东西忘在地，既返回去取，又立即从地向地行进，甲乙两人恰好在的中点相遇已知甲的速度比乙的速度快千米小时求甲乙两人的速度？设乙的速度是千米小时，则所列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得， ， 化简得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】某校八年级学生为探索千年陶瓷文明，计划前往距学校的丰城洪州窑研学基地开展非遗体验活动．一部分学生提前骑自行车出发，45分钟后，其余学生乘汽车沿同一路线前往，最终两队同时抵达基地．已知汽车的行驶速度是自行车的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的实际应用． 根据题意可得自行车和汽车的行驶时间，以行驶时间建立等量关系，列方程即可． 【详解】解：45分钟， ∵自行车的速度为， ∴汽车的速度为， ∴自行车行驶时间为，汽车行驶时间为， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米，根据时间差建立方程求解． 【详解】解：设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米， 由题意得，， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， 答：大巴的平均速度是． 【跟踪专练3】我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度． 【答案】25海里/时 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题，根据题意确定等量关系，列出方程是解题的关键． 根据监测直升机从A港出发，刚好追上“福建舰”所用的时间与“福建舰”试航所用的时间相等作为等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设“福建舰”的试航速度为海里/时，则监测直升机的速度为海里/时， 由题意得，， 解得， 答：“福建舰”的试航速度为25海里/时． 【题型7.分式方程的工程问题】 【典例】一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为天，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据“两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【跟踪专练1】某服装车间接到一笔生产5400套运动服的订单，由于扩建了一条生产线，实际生产时每天生产的运动服数量是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产x套运动服，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确找到等量关系． 根据题意，提前2天完成任务，即原计划天数减去实际天数等于2，由此列出方程． 【详解】解：∵原计划每天生产x套， ∴原计划天数为天， ∵实际每天生产套， ∴实际天数为天， ∵提前2天完成任务， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 【答案】甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，根据同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，列出分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨． 【跟踪专练3】某市新区为美化环境，计划对面积为3600平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？ (2)若每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过16万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【答案】(1)甲每天能完成绿化的面积为100平方米，乙队每天能完成绿化的面积为50平方米 (2)20 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是理解题意，找出等量关系和不等关系． （1）假设乙队每天能完成绿化的面积为平方米，则甲每天能完成绿化的面积为平方米，根据完成400平方米的绿化天数，列出方程求解即可； （2）设安排甲队工作天，则乙队工作的天数为天，根据花费钱数列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：假设乙队每天能完成绿化的面积为平方米，则甲每天能完成绿化的面积为平方米，根据题意得， 解得， 经检验，是分式的方程的解，并符合题意， ∴， 答：甲每天能完成绿化的面积为100平方米，乙队每天能完成绿化的面积为50平方米； （2）解：设安排甲队工作天，则乙队工作的天数为天，根据题意得， ， 解得， ∴至少应安排甲队工作20天． 【题型8.分式方程的经济问题.】 【典例】某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进 本． 【答案】40 【分析】设第一次购进x本书，则第二次购进本书，根据“两次进价相同”列出分式方程求解，正确理解题意列得分式方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次购进x本书，则第二次购进本书，则 ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 故答案为40． 【跟踪专练1】某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用；根据题目中的等量关系列出对应的方程是解题关键． 根据题意，第一次购买x杯奶茶花费15元，单价为元/杯；第二次购买时，单价降低1元，即元/杯，购买数量增加2杯，即杯，总花费减少1元，即14元，据此列方程并变形，与选项对比． 【详解】∵ 第二次单价为元/杯，数量为杯，总花费为元， ∴ 方程为， 变形得， 即． 故选：B． 【跟踪专练2】五一假期将至，某商店看准商机用2000元和2400元分别购进A，B两种水果．已知A种水果每箱的进价比B种水果每箱的进价少20元，且购进A种水果的箱数是B种水果箱数的． (1)求A，B两种水果每箱的进价分别为多少元； (2)商店开始出售这些水果，已知A种水果的售价为60元/箱，出售完40箱后，对剩下部分打a折进行销售；B种水果每箱售价比进价多元，两种水果均全部售出．若要使销售这批水果的总利润率不低于40%，求a的最小值． 【答案】(1)A，B两种水果每箱的进价分别为40元，60元 (2)a的最小值为8 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系和不等关系，建立方程与不等式求解． （1）设A种水果每箱进价为元，根据A、B水果进价关系和购进箱数的关系列分式方程求解； （2）先求出、水果的购进箱数，再根据总利润率不低于的条件列一元一次不等式，求解得出的最小值． 【详解】（1）解：设A种水果每箱进价为x元，则B种水果每箱进价为元， 据题意得：， 解得：， 经检验，为方程的根， ∴A，B两种水果每箱的进价分别为40元，60元； （2）解：购进A种水果的箱数为：箱， 购进B种水果的箱数为：箱， 据题意得：， 解得：， ∴a的最小值为8． 【跟踪专练3】人形机器人在2025年春节联欢晚会的表演爆火，带动了人形机器人的畅销．某公司把A，B两款人形机器人放在网上进行销售．每台人形机器人的售价B款比A款少．当两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10台．求每台A款人形机器人的售价是多少万元． 【答案】每台20万元 【分析】本题考查了分式方程的应用；等量关系式： B款人形机器人销售额为800万元所销售的台数A款人形机器人销售额为800万元所销售的台数台，列方程、解方程，即可求解． 【详解】解：设每台A款人形机器人的售价是每台万元，由题意得 ， 解得， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； 答：每台A款人形机器人的售价是万元． 【题型9.分式方程和差倍分问题】 【典例】有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1，则分数值等于，原分数是 ． 【答案】 【分析】由分子加1，分子则比分母少2可知，原来分子比分母少，如果设原来的分子是x，则分母是，又由分母加1，则分数值等于即可列出方程，由此解答即可． 【详解】解：设原分数的分子是x，则分母是，由题意列出方程 所以， 所以， 解得：，经检验符合题意； 所以； 因此这个分数是； 故答案为： 【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数的基本性质及应用，关键是找出等量关系，设出未知数，列方程解答比较简便． 【跟踪专练1】某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵25元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ） A．篮球的数量 B．足球的数量 C．篮球的单价 D．足球的单价 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出等量关系，即可解题． 【详解】解：设篮球的数量为个，足球的数量为个， 根据题意可得， 表示的是篮球的数量， 故选：A． 【跟踪专练2】甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设乙每小时加工个这种零件，根据“甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等”，列方程求解即可． 【详解】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：乙每小时加工个这种零件． 【跟踪专练3】【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列分式方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册． 根据题意可列分式方程：． 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数．若设原分数的分子为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，先表示出原分数的分母，再列出等量关系即可． 【详解】解：原分数的分子为 原分数的分母为 依题得． 故答案为：． 【跟踪专练1】古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，结合千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【详解】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克， 由题意可得，， 故选：． 【跟踪专练2】某城市引入某品牌新能源环卫车进行道路清洁．该品牌车辆电池满电容量均为180千瓦时升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，工作状态下每小时比升级前少耗电5千瓦时求升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量． 【答案】升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为x千瓦时，则升级前该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为千瓦时，根据升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为x千瓦时，则升级前该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为千瓦时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时． 【跟踪专练3】综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 【答案】(1)再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样 (2)店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确处理题中的数量关系是解答本题的关键． （1）先算出七分糖奶茶的初始甜度和全糖奶茶的甜度，然后设加入糖的质量为未知数，根据加入糖后两者甜度相等列方程求解； （2）分别计算出调整后奶茶的甜度和五分糖奶茶的甜度，再进行比较即可． 【详解】（1）解：当时，七分糖奶茶的含糖量为克； 全糖奶茶的甜度为， 设往七分糖奶茶中再加入x克糖能跟全糖奶茶甜度一样，此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为克，奶茶总质量克，其甜度为， 根据甜度相等得： 解得， 经检验，是原方程的根， 答：再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样； （2）解：五分糖奶茶的甜度为； 三分糖奶茶的含糖量为克，加入克糖后，含糖量变为克，奶茶总质量为克，此时甜度为； ∵， ∴， 所以，店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度． 解答题 1．解下列分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2)原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母转化为整式方程，解题的关键是解分式方程时注意要检验． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：方程两边都乘， 得， 解得． 检验：当时， 是分式方程的增根， 即原分式方程无解． （2）解：方程两边都乘， 得， 解得． 检验：当时， 是分式方程的增根， 即原分式方程无解． 2．若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解包含整式方程无解和整式方程的解为增根两种情况是解题的关键． 分式方程无解分两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，先去分母转化为整式方程，再分情况讨论． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简，得， 即． 原分式方程无解， 当去分母后所得的整式方程无解时，， 解得； 当整式方程的解为增根时，， 解得， 综上所述，的值为或． 3．阅读并完成任务． 翠湖公园附近设有，两类摊位，已知每个类摊位的占地面积比每个类摊位多，且场地可布置的类摊位个数与场地可布置的类摊位个数相等．每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 相等关系：布置类摊位的个数等于布置类摊位的个数 解法二 相等关系：每个类摊位的面积减去每个类摊位的面积等于 任务： (1)解法一所设未知数为______．解法二所设未知数为______； A．每个类摊位的占地面积为； B．每个类摊位的占地面积为； C．可布置类摊位个或可布置类摊位个； (2)请选择一种解法求出每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 【答案】(1)B；C (2)每个类摊位的占地面积是，每个类摊位的占地面积是 【分析】本题考查了分式方程的实际应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据对题干的理解和分式方程的等量关系，进行分析，然后即可求解； （2）根据解分式方程的知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：解法一，设每个类摊位的占地面积为， 即； 解法二：设可布置类摊位个，则可布置类摊位也为个， 即； 故答案为：B；C； （2）解：解法一，设每个类摊位的占地面积为， 即， 解得：， 检验，时，， ∴是分式方程的解， ∴； 即每个类摊位的占地面积为，每个类摊位的占地面积是； 4．为了进一步弘扬和传承我国悠久而丰富的传统节日文化，在端午节即将来临之际，滨海学校精心策划并成功举办了富有意义的包粽子活动．已知包1个大粽子比包1个小粽子多用50克糯米，用800克糯米包大粽子的数量与用400克糯米包小粽子的数量相同． (1)求包1个大粽子和1个小粽子分别需用多少克糯米？ (2)八年级8班计划包大、小粽子共60个，且所用糯米总量不超过5000克，那么该班级最多可以包多少个大粽子？ 【答案】(1)包1个大粽子和1个小粽子分别需用100克和50克糯米 (2)该班级最多可以包40个大粽子 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程，再根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设包1个小粽子需用克糯米，则包1个大粽子需用克糯米，根据用800克糯米包大粽子的数量与用400克糯米包小粽子的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即包1个小粽子所需糯米质量），再将其代入中，即可求出包1个大粽子所需糯米质量； （2）设该班级可以包个大粽子，则包个小粽子，根据所用糯米总量不超过5000克，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设包1个小粽子需用克糯米，则包1个大粽子需用克糯米．根据题意，得 ． 解得 经检验是原方程的根 ． 答：包1个大粽子和1个小粽子分别需用100克和50克糯米． （2）解：设八年级8班计划包大粽子个，根据题意，得 解得． 答：该班级最多可以包40个大粽子. 5．某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成．已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍．设甲单独完成这项工作需要天． (1)甲和乙的工作效率分别为______，______（用含的代数式表示）． (2)求甲、乙单独完成这项工作各需多少天？ 【答案】(1)， (2)甲单独完成需5天，乙单独完成需10天 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键； （1）根据工作效率工作总量工作时间列代数式即可； （2）根据甲、乙两人合作天后，剩下的工作由乙单独来做，用天即可完成．列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：甲单独完成这项工作需要天，工作效率为， 乙单独完成这项工作所需天数为天，工作效率为， 故答案为：，； （2）解：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴乙单独完成这项工作需要天， 答：甲、乙单独完成这项工作各需天和天． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $