精品解析：西藏日喀则市仁布县2024-2025学年第二学期九年级数学模拟试卷

西藏日喀则地区仁布县2024－2025学年中考数学模拟试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．、 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是 A. B. C. D. 3. -4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. -4 4. 关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数是6 B. 这组数据的中位数是1 C. 这组数据的平均数是6 D. 这组数据的方差是10 5. 方程x2－3x＝0根是（　　） A. x1＝x2＝0 B. x1＝x2＝3 C. x1＝0，x2＝3 D. x1＝0，x2＝－3 6. 潍坊市2018年政府工作报告中显示，潍坊社会经济平稳运行，地区生产总值增长8%左右，社会消费品零售总额增长12%左右，一般公共预算收入539.1亿元，7家企业入选国家“两化”融合贯标试点，潍柴集团收入突破2000亿元，荣获中国商标金奖．其中，数字2000亿元用科学记数法表示为（　　）元．（精确到百亿位） A. 2×1011 B. 2×1012 C. 2.0×1011 D. 2.0×1010 7. 数轴上有，，，四个点，其中绝对值等于的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 下列实数为无理数的是 （ ） A. -5 B. C. 0 D. π 9. 剪纸是我国传统民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D、E分别在边AB、AC上，，交AB于F，那么下列比例式中正确的是　　 A. B. C. D. 11. 如图是正方体表面展开图，则与“前”字相对的字是（　　） A 认 B. 真 C. 复 D. 习 12. 已知一次函数y=﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（　　） A. 0 B. 3 C. ﹣3 D. ﹣7 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________. 14. 甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”) 15. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是_________． 16. 若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______． 17. 如图，在梯形ACDB中，AB∥CD，∠C+∠D=90°，AB=2，CD=8，E，F分别是AB，CD的中点，则EF=_____． 18. 如果a+b=2，那么代数式÷的值是______． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE＝AD，∠EAD＝90°，CE交AB于点F，CD＝DF． （1）∠CAD＝______度； （2）求∠CDF的度数； （3）用等式表示线段CD和CE之间的数量关系，并证明． 21. 风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，乙同学站在岩石B处测得叶片的最高位置D的仰角是45°（D，C，H在同一直线上，G，A，H在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG为4米，两处的水平距离AG为23米，BG⊥GH，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6） 22. 如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4． （1）求∠EPF的大小； （2）若AP=6，求AE＋AF的值. 23. 已知关于的一元二次方程. （1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根，满足，求的值. 24. （1）计算：． （2）化简：． 25. 已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）请用t分别表示A、B的路程sA、sB； （2）在A出发后几小时，两人相距15km？ 26. 如图所示，是的一条弦，切于点B，过点D作于点C，与相交于点E． （1）求证：； （2）若，求的大小． 27. 如图，正方形边长为4，点，分别在边，上，且，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接，，． （1）填空：_____．（填“＞”或“＜”或“＝”） （2）线段，，什么关系？请说明理由． （3）设，的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值． （4）请直接写出使是等腰三角形的m值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西藏日喀则地区仁布县2024－2025学年中考数学模拟试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．、 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①，得， 由②，得， 所以不等式组的解集是：． 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选A． 2. 某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设2016年的国内生产总值为1， ∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%； ∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%）， ∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：， ∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D． 3. -4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数）即可求解． 【详解】-4的相反数是4， 故选：C． 【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义． 4. 关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数是6 B. 这组数据的中位数是1 C. 这组数据的平均数是6 D. 这组数据的方差是10 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差、算术平均数、中位数、众数的概念进行分析. 【详解】数据由小到大排列为1，2，6，6，10， 它的平均数为（1+2+6+6+10）=5， 数据的中位数为6，众数为6， 数据的方差= [（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=10.4． 故选A． 考点：方差；算术平均数；中位数；众数． 5. 方程x2－3x＝0的根是（　　） A. x1＝x2＝0 B. x1＝x2＝3 C. x1＝0，x2＝3 D. x1＝0，x2＝－3 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程左边提公因式x，可解方程． 【详解】解：x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0， 解得：x1=0，x2=3． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，属于基础题，因式分解法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 6. 潍坊市2018年政府工作报告中显示，潍坊社会经济平稳运行，地区生产总值增长8%左右，社会消费品零售总额增长12%左右，一般公共预算收入539.1亿元，7家企业入选国家“两化”融合贯标试点，潍柴集团收入突破2000亿元，荣获中国商标金奖．其中，数字2000亿元用科学记数法表示为（　　）元．（精确到百亿位） A. 2×1011 B. 2×1012 C. 2.0×1011 D. 2.0×1010 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】2000亿元=2.0×1011． 故选C． 【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 7. 数轴上有，，，四个点，其中绝对值等于的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义是解题的关键．根据绝对值的定义，求出，，，四个点的绝对值，对四个选项进行逐项分析即可． 【详解】点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，符合题意； 点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，不符合题意； 点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，不符合题意； 点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，不符合题意． 故选A． 8. 下列实数为无理数的是 （ ） A. -5 B. C. 0 D. π 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】A、﹣5是整数，是有理数，选项错误； B、是分数，是有理数，选项错误； C、0是整数，是有理数，选项错误； D、π是无理数，选项正确. 故选D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 9. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误， 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 10. 如图，在中，D、E分别在边AB、AC上，，交AB于F，那么下列比例式中正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断． 【详解】A、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∵CE≠AC，∴，故本选项错误； B、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，∵AD≠DF，∴，故本选项错误； C、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，故本选项正确； D、∵EF∥CD，DE∥BC，∴，，∴，∵AD≠DF，∴，故本选项错误. 故选C. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找对应线段是关键． 11. 如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（　　） A. 认 B. 真 C. 复 D. 习 【答案】B 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形． 【详解】解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”． 故选B． 【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 12. 已知一次函数y=﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（　　） A. 0 B. 3 C. ﹣3 D. ﹣7 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】由于一次函数y=-2x+3中k=-2＜0由此可以确定y随x的变化而变化的情况，即确定函数的增减性，然后利用解析式即可求出自变量在0≤x≤5范围内函数值的最大值． 【详解】∵一次函数y=﹣2x+3中k=﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴在0≤x≤5范围内， x=0时，函数值最大﹣2×0+3=3， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b的图象的性质：①k＞0，y随x的增大而增大；②k＜0，y随x的增大而减小． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________. 【答案】4 【解析】 【详解】解：是中线， 同理可得： ， 由中线性质，可得AG=2GD，则 ， ∴阴影部分的面积为4； 故答案为：4. 14. 甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”) 【答案】甲 【解析】 【详解】由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小， 则S2甲<S2乙，即两人的成绩更加稳定的是甲． 故答案为甲． 15. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D半径为r，那么r的取值范围是_________． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=， ∴AB==4． ∵CD⊥AB， ∴CD=． ∵AD•BD=CD2， 设AD=x，BD=4-x． 解得x=， ∴点A在圆外，点B在圆内， r的范围是， 故答案为． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 16. 若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a，b． 【详解】解：方法一，∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴将解代入方程组， 可得m=﹣1，n=2， ∴关于a、b的二元一次方程组，整理为：， 解得：． 方法二：∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴方程组的解是， 解，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解、运用在此题体现明显． 17. 如图，在梯形ACDB中，AB∥CD，∠C+∠D=90°，AB=2，CD=8，E，F分别是AB，CD的中点，则EF=_____． 【答案】3 【解析】 【分析】延长AC和BD，交于M点，M、E、F三点共线，EF=MF－ME. 【详解】 延长AC和BD，交于M点，M、E、F三点共线，∵∠C+∠D=90°，∴△MCD是直角三角形，∴MF=，同理ME=,∴EF=MF－ME=4-1=3. 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质. 18. 如果a+b=2，那么代数式÷的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】当a+b=2时， 原式= = =a+b =2 故答案为2 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE＝AD，∠EAD＝90°，CE交AB于点F，CD＝DF． （1）∠CAD＝______度； （2）求∠CDF度数； （3）用等式表示线段CD和CE之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）45; （2）90°; （3）． 证明：∵∠EAD＝90°， ∴∠EAF＝∠DAF＝45°． ∵AD＝AE， ∴△EAF≌△DAF． ∴DF＝EF． 由②可知，． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得结论； （2）连接DB，先证明△BAD≌△CAD，得BD＝CD＝DF，则∠DBA＝∠DFB＝∠DCA，根据四边形内角和与平角的定义可得∠BAC+∠CDF＝180°，所以∠CDF＝90°； （3）证明△EAF≌△DAF，得DF＝EF，由②可知，可得结论． 【详解】（1）解：∵AB＝AC，M是BC的中点， ∴AM⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝45°， 故答案为45 （2）解：如图，连接DB． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，M是BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD＝45°． ∴△BAD≌△CAD． ∴∠DBA＝∠DCA，BD＝CD． ∵CD＝DF， ∴BD＝DF． ∴∠DBA＝∠DFB＝∠DCA． ∵∠DFB＋∠DFA＝180°， ∴∠DCA＋∠DFA＝180°． ∴∠BAC＋∠CDF＝180°． ∴∠CDF＝90°． （3）略 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理及性质. 21. 风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，乙同学站在岩石B处测得叶片的最高位置D的仰角是45°（D，C，H在同一直线上，G，A，H在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG为4米，两处的水平距离AG为23米，BG⊥GH，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6） 【答案】塔杆CH的高为42米 【解析】 【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=23+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°•x知CE=CH-EH=tan55°•x-4，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得． 详解】解：如图，作BE⊥DH于点E， 则GH=BE、BG=EH=4， 设AH=x，则BE=GH=GA+AH=23+x， 在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x， ∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣4， ∵∠DBE=45°， ∴BE=DE=CE+DC，即23+x=tan55°•x﹣4+15， 解得：x≈30， ∴CH=tan55°•x=1.4×30=42， 答：塔杆CH的高为42米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 22. 如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4． （1）求∠EPF的大小； （2）若AP=6，求AE＋AF的值. 【答案】（1）∠EPF＝120°；（2）AE＋AF＝6. 【解析】 【详解】试题分析: （1）过点P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到结论； （2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，Rt△PME≌Rt△PNF，问题即可得证. 试题解析: （1）如图1，过点P作PG⊥EF于G， ∵PE=PF， ∴FG=EG=EF=2，∠FPG=∠EPG＝∠EPF， 在△FPG中，sin∠FPG= ， ∴∠FPG=60°， ∴∠EPF=2∠FPG=120°； （2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，DC=BC， ∴∠DAC=∠BAC， ∴PM=PN， 在Rt△PME于Rt△PNF中， ， ∴Rt△PME≌Rt△PNF， ∴FN=EM，在Rt△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM= ∠DAB=30°， ∴AM=AP•cos30°=3 ，同理AN=3 ， ∴AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=6. 【点睛】运用了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 已知关于的一元二次方程. （1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根，满足，求的值. 【答案】（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0． ∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0， ∴无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）-2. 【解析】 【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值． 【详解】解：（1）略 （2）∵原方程的两根为x1、x2， ∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p． 又∵x12+x22-x1x2=3p2+1， ∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1， ∴52-3（6-p2-p）=3p2+1， ∴25-18+3p2+3p=3p2+1， ∴3p=-6， ∴p=-2． 24. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 25. 已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）请用t分别表示A、B的路程sA、sB； （2）在A出发后几小时，两人相距15km？ 【答案】（1）sA＝45t﹣45，sB＝20t；（2）在A出发后小时或小时，两人相距15km． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以分别求得s与t的函数关系式； （2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题． 【详解】解：（1）设sA与t的函数关系式为sA＝kt+b， ，得， 即sA与t的函数关系式为sA＝45t﹣45， 设sB与t函数关系式为sB＝at， 60＝3a，得a＝20， 即sB与t的函数关系式为sB＝20t； （2）|45t﹣45﹣20t|＝15， 解得，t1＝，t2＝， ，， 即在A出发后小时或小时，两人相距15km． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，涉及到直线上点的坐标与方程，利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 26. 如图所示，是的一条弦，切于点B，过点D作于点C，与相交于点E． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）欲证明，只要证明即可； （2）因为是等腰三角形，属于只要求出即可解决问题； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 27. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接，，． （1）填空：_____．（填“＞”或“＜”或“＝”） （2）线段，，什么关系？请说明理由． （3）设，的面积S有变化吗？如果变化，请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值． （4）请直接写出使是等腰三角形的m值． 【答案】（1）＝ （2）．理由见解析 （3）的面积不变，面积为16 （4）的值为或2或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，利用外角的性质和已知条件即可求出； （2）利用有两组对应角相等的两个三角形相似证明即可； （3）根据（2）得出的结论即可得到的面积不变； （4）根据是等腰三角形分类讨论：当时，先证，即可求出，，再利用平行可得：，再利用与的和为4即可求出；当时，原理同上；当时，先证，在上取一点，使得，可证，设，则，再利用勾股定理即可求出，再利用与的和为4即可求出． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 结论：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 的面积不变． 理由：∵． ∴的面积为． 【小问4详解】 如图1中，当时， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图2中，当时， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图3中，当时， 由（2）中， ∴， ∴ ∴ ∴． 在上取一点，使得， ∴， ∵， ∴， ∴，设，则， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】此题考查的是①正方形的性质和相似三角形的判定及性质；②已知某三角形是等腰三角形时，分类讨论，并求值，此题的难度较大，解决此题的关键是画出每种分类讨论下的图形，利用已知条件推出各个边或角之间的关系，利用相似或勾股定理求边． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $