1.3 乘法公式 题型精练同步练习2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3 乘法公式 题型精练 【题型归纳】 【题型1】利用乘法公式进行运算 【题型2】利用乘法公式进行简算 【题型3】利用乘法公式变形求值 【题型4】根据完全平方公式求字母或代数式的值 【题型5】乘法公式与几何图形的应用 【题型6】乘法公式的证明 【题型7】利用乘法公式求最值 【题型8】乘法公式的实际应用 【题型精练】 【题型1】利用乘法公式进行运算 1．计算(－2－3x2)2的结果正确的是(　　) A．9x4－12x2＋4　　B．9x4＋12x2＋4 C．9x4－12x2－4　　D．－9x4－12x2＋4 2．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2＋25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是(　　) A．＋10xy　　B．＋10xy或－10xy C．＋20xy　　D．＋20xy或－20xy 3．计算： (1)(x＋2y)(x－2y)＝__________． (2)(a＋3)2＝____________________； (3)(5＋3p)2＝____________________； (4)(2x－7y)2＝____________________． 4．若(x＋3)(x－3)＝x2＋px－9，则p的值是__________． 5．计算： (1)； (2)(2a＋3)2＋(3a－2)2. (3)(2x－3y)2＋(2x－3y)(2x＋3y)－2x(2x－y)； (4)(3x－5y)2－(3x＋5y)2＋18xy. 【题型2】利用乘法公式进行简算 6．用简便方法计算40×39，变形正确的是(　　) A. B. C. D. 7．已知a＋＝3，则a2＋的值是(　　) A．4　　 B．9 　　C．7　　 D．6 8．运用平方差公式计算： (1)503×497＝__________； (2)59.8×60.2＝__________． 9．若a＝1 954×1 946，b＝1 957×1 943，c＝1 949×1 951，则a，b，c的大小关系为__________ (用“＜”连接)． 10．计算： (1)9982； (2). (3)4952－990×95＋952； (4)6502－648×652； (5)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12. 【题型3】利用乘法公式变形求值 11．若1112－1＝110k，则k的值为(　　) A．109　 　B．110 　　C．111　 　D．112 12．对于任意有理数x，y，现用*定义一种运算：a*b＝a2－b2.根据这个定义，代数式(x＋y)*y可以化简为(　　) A．xy＋x2　　B．xy－y2 C．x2＋2xy　　D．x2 13．已知(x－2 025)2＋(x－2 027)2＝34，则(x－2 026)2的值是(　　) A．4　 　B．8　 　C．12　　 D．16 14．计算： (1)(x－2y＋1)2＝__________； (2)(2a－b)2(2a＋b)2＝__________． 【题型4】根据完全平方公式求字母或代数式的值 15．小刚把(2 025x＋2 022)2展开后得到ax2＋bx＋c，把(2 024x＋2 023)2展开后得到mx2＋nx＋q，则a－m的值为(　　) A．1　　B．－1 C．4 049　　D．－4 049 16．若a，k为整数，且不论x取何值，关于x的整式(x＋a)2和x2＋(k＋2)x＋9的值都相等，则k的值为__________． 17．已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13.求： (1)a2＋b2的值； (2)4a2－3ab＋4b2的值． 【题型5】乘法公式与几何图形的应用 18．如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为(　　) A.　 　B．9　 　C．12　 　D．18 19．如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1＋S2＝45，则图中阴影部分的面积为_________． 20．装裱是装饰书画类、碑帖等的一门特殊技艺．古代装裱的专称叫作“裱背和裱面”，亦称“装潢”，又称“装池”．如图，整个画框的长和宽均是(3m＋n) cm，中间部分是长方形的画心，长为(m＋2n) cm，宽为(m＋n) cm，则画心外阴影部分的面积是____________________cm2. 【题型6】乘法公式的证明 21．观察下图，用等式表示图中图形面积的运算正确的是(　　) A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C．a(a－b)＝a2＋ab D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 22．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(　　) A．(m＋n)(m－n)＝m2－n2 B．(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2 C．(m－n)2＝m2－2mn＋n2 D．(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn 【题型7】利用乘法公式求最值 23．定义：将二次三项式x2＋bx＋c变形为(x＋m)2＋n的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即(x＋m)2≥0就可以解决很多问题．例如：把多项式x2－2x＋3配方为x2－2x＋3＝x2－2·x·1＋12－12＋3＝(x－1)2＋2. (1)把多项式x2＋4x＋5配方成(x＋m)2＋n的形式，则m＝________，n＝________； (2)若多项式A＝x2＋4x＋5，B＝x2＋6x. ①试说明：无论x取任何数，多项式A的值一定恒为正数； ②求多项式2A－B的最小值． 【题型8】乘法公式的实际应用 24．为了美化校园，学校把一个边长为a m(a＞4)的正方形跳远沙池的一组对边各增加1 m，另一组对边各减少1 m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会(　　) A．变小　　B．变大 C．没有变化　　D．无法确定 25．如图，学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味劳动成果的喜悦，满足学生劳动教育实践需要．某校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形土地A，B，其中不能使用的面积为m. (1)用含b，m的代数式表示B中能使用的面积； (2)若a＋b＝15，a－b＝5，求A比B多出的使用面积． 参考答案 【题型精练】 【题型1】利用乘法公式进行运算 1．计算(－2－3x2)2的结果正确的是(　　) A．9x4－12x2＋4　　B．9x4＋12x2＋4 C．9x4－12x2－4　　D．－9x4－12x2＋4 【答案】B 2．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2＋25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是(　　) A．＋10xy　　B．＋10xy或－10xy C．＋20xy　　D．＋20xy或－20xy 【答案】D 3．计算： (1)(x＋2y)(x－2y)＝__________． (2)(a＋3)2＝____________________； (3)(5＋3p)2＝____________________； (4)(2x－7y)2＝____________________． 【答案】x2－4y2 a2＋6a＋9 25＋30p＋9p2 4x2－28xy＋49y2 4．若(x＋3)(x－3)＝x2＋px－9，则p的值是__________． 【答案】0 5．计算： (1)； 解：原式＝－2··b＋b2＝a2－ab＋b2. (2)(2a＋3)2＋(3a－2)2. 解：原式＝4a2＋12a＋9＋9a2－12a＋4＝13a2＋13. (3)(2x－3y)2＋(2x－3y)(2x＋3y)－2x(2x－y)； 解：原式＝4x2－12xy＋9y2＋4x2－9y2－(4x2－2xy) ＝4x2－12xy＋9y2＋4x2－9y2－4x2＋2xy， ＝4x2－10xy. (4)(3x－5y)2－(3x＋5y)2＋18xy. 解：原式＝9x2－30xy＋25y2－(9x2＋30xy＋25y2)＋18xy ＝9x2－30xy＋25y2－9x2－30xy－25y2＋18xy， ＝－42xy. 【题型2】利用乘法公式进行简算 6．用简便方法计算40×39，变形正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 7．已知a＋＝3，则a2＋的值是(　　) A．4　　 B．9 　　C．7　　 D．6 【答案】C 8．运用平方差公式计算： (1)503×497＝__________； (2)59.8×60.2＝__________． 【答案】249991 3599.96 9．若a＝1 954×1 946，b＝1 957×1 943，c＝1 949×1 951，则a，b，c的大小关系为__________ (用“＜”连接)． 【答案】b＜a＜c 10．计算： (1)9982； 解：原式＝(1 000－2)2＝1 0002－2×1 000×2＋22＝1 000 000－4 000＋4＝996 004. (2). 解：原式＝＝132－2×13×＋＝169－2＋＝167. (3)4952－990×95＋952； 解：原式＝4952－2×495×95＋952＝(495－95)2＝4002＝160 000. (4)6502－648×652； 解：原式＝6502－(650－2)×(650＋2)＝6502－(6502－22)＝6502－6502＋22＝4. (5)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12. 解：原式＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(42－32)＋(22－12)＝(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97)＋…＋(4＋3)×(4－3)＋(2＋1)×(2－1)＝100＋99＋98＋97＋…＋4＋3＋2＋1＝＝5 050. 【题型3】利用乘法公式变形求值 11．若1112－1＝110k，则k的值为(　　) A．109　 　B．110 　　C．111　 　D．112 【答案】D 12．对于任意有理数x，y，现用*定义一种运算：a*b＝a2－b2.根据这个定义，代数式(x＋y)*y可以化简为(　　) A．xy＋x2　　B．xy－y2 C．x2＋2xy　　D．x2 【答案】C 13．已知(x－2 025)2＋(x－2 027)2＝34，则(x－2 026)2的值是(　　) A．4　 　B．8　 　C．12　　 D．16 【答案】D 14．计算： (1)(x－2y＋1)2＝__________； (2)(2a－b)2(2a＋b)2＝__________． 【答案】x2－4xy＋4y2＋2x－4y＋1 16a4－8a2b2＋b4 【题型4】根据完全平方公式求字母或代数式的值 15．小刚把(2 025x＋2 022)2展开后得到ax2＋bx＋c，把(2 024x＋2 023)2展开后得到mx2＋nx＋q，则a－m的值为(　　) A．1　　B．－1 C．4 049　　D．－4 049 【答案】C 16．若a，k为整数，且不论x取何值，关于x的整式(x＋a)2和x2＋(k＋2)x＋9的值都相等，则k的值为__________． 【答案】－8或4 17．已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13.求： (1)a2＋b2的值； (2)4a2－3ab＋4b2的值． 解：(1)因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝17，① (a－b)2＝a2－2ab＋b2＝13，② 所以①＋②，得2(a2＋b2)＝30. 所以a2＋b2＝15. (2)①－②，得4ab＝4，即ab＝1. 所以4a2－3ab＋4b2＝4(a2＋b2)－3ab＝4×15－3×1＝57. 【题型5】乘法公式与几何图形的应用 18．如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为(　　) A.　 　B．9　 　C．12　 　D．18 【答案】D 19．如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1＋S2＝45，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】9 20．装裱是装饰书画类、碑帖等的一门特殊技艺．古代装裱的专称叫作“裱背和裱面”，亦称“装潢”，又称“装池”．如图，整个画框的长和宽均是(3m＋n) cm，中间部分是长方形的画心，长为(m＋2n) cm，宽为(m＋n) cm，则画心外阴影部分的面积是____________________cm2. 【答案】(8m2＋3mn－n2) 【题型6】乘法公式的证明 21．观察下图，用等式表示图中图形面积的运算正确的是(　　) A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C．a(a－b)＝a2＋ab D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 【答案】B 22．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(　　) A．(m＋n)(m－n)＝m2－n2 B．(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2 C．(m－n)2＝m2－2mn＋n2 D．(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn 【答案】C 【题型7】利用乘法公式求最值 23．定义：将二次三项式x2＋bx＋c变形为(x＋m)2＋n的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即(x＋m)2≥0就可以解决很多问题．例如：把多项式x2－2x＋3配方为x2－2x＋3＝x2－2·x·1＋12－12＋3＝(x－1)2＋2. (1)把多项式x2＋4x＋5配方成(x＋m)2＋n的形式，则m＝________，n＝________； 【答案】2 1 (2)若多项式A＝x2＋4x＋5，B＝x2＋6x. ①试说明：无论x取任何数，多项式A的值一定恒为正数； 解：因为A＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1≥1，所以无论x取任何数，多项式A的值一定恒为正数． ②求多项式2A－B的最小值． 解：因为A＝x2＋4x＋5，B＝x2＋6x， 所以2A－B＝2x2＋8x＋10－x2－6x ＝x2＋2x＋10＝(x＋1)2＋9≥9， 所以2A－B的最小值为9. 【题型8】乘法公式的实际应用 24．为了美化校园，学校把一个边长为a m(a＞4)的正方形跳远沙池的一组对边各增加1 m，另一组对边各减少1 m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会(　　) A．变小　　B．变大 C．没有变化　　D．无法确定 【答案】A 25．如图，学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味劳动成果的喜悦，满足学生劳动教育实践需要．某校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形土地A，B，其中不能使用的面积为m. (1)用含b，m的代数式表示B中能使用的面积； (2)若a＋b＝15，a－b＝5，求A比B多出的使用面积． 解：(1)因为正方形土地B的边长是b， 所以SB＝b2. 因为B中能使用的面积＝正方形B的面积－不能使用的面积m， 所以B中能使用的面积为b2－m. (2)因为a＋b＝15，a－b＝5， 所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝75. A比B多出的使用面积为 (a2－m)－(b2－m)＝a2－m－b2＋m＝a2－b2＝75. 答：A比B多出的使用面积为75. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $