中考一轮复习27概率知识归纳与考点专练2025-2026学年人教版数学九年级下册（11考点）

中考一轮复习27概率知识归纳与考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（11考点） 知识归纳： 一、事件的分类 1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1． 2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0． 3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间． 二、概率的计算 1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 2．列举法 1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率． 2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率． 三、利用频率估计概率 1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率． 2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率． 3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率． 四、概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策． 考点专练： 考点1：事件的分类 1.彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（    ） A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件 2.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（    ） A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月 3.下列事件是必然事件的是（    ） A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况 4.如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（    ） A．只闭合个开关 B．只闭合个开关 C．只闭合个开关 D．闭合个开关 5.下列事件中是随机事件的是（    ） A．明天太阳从东方升起 B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 C．平面内不共线的三点确定一个圆 D．任意画一个三角形，其内角和是 考点2：判断事件发生可能性的大小 1.某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（    ） A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大 C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同 2.下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（  ） A． B． C．D． 3.袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 4.将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4四个数字，随机抽出一张，出现可能性最大的是（    ） A．数字大于2的卡片 B．数字小于2的卡片 C．数字大于3的卡片 D．数字小于4的卡片 考点3：理解概率的意义 1.“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（　　） A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1 2.县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为，下列理解正确的是（　　） A．明天千岛湖镇下雨的可能性较大 B．明天千岛湖镇有的地方会下雨 C．明天千岛湖镇全天有的时间会下雨 D．明天千岛湖镇一定会下雨 3.抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下列判断正确的是（    ） A．连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次 B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次 C．连续掷次时，正面朝上一定会出现次 D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5 4.在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 考点4：根据概率公式计算概率 1.从有理数中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线上的概率是（    ） A． B． C． D． 2.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72秒，绿灯亮25秒，黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（    ） A． B． C． D． 3.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（   ） A． B． C． D． 4.一只不透明的袋子中装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色外都相同．现按下列方案向袋中增加或减少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出1个球，能使摸到白球、黄球的概率相等的方案是（    ） A．增加2个白球 B．减少2个黄球 C．增加1个白球、减少1个黄球 D．增加4个白球、3个黄球 考点5：由概率求数量 1.小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（    ） A．10 B．8 C．12 D．4 2.在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 3.不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是 ． 4.围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 考点6：列举法求概率 1.暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 2.在物理实验课上，同学们用三个开关、两个灯泡、一个电源、一个电阻及若干条导线连接如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是 ． 3.如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． (1)姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为_______________； (2)在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率． 4.某地区2月上旬的空气质量指数（AQI）（单位：）如下表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AQI/（） 28 31 44 37 41 78 45 113 50 29 AQI不高于表示空气质量优良．如果小李2月上旬在该地区度假三天，那么在他度假期间该地区的空气质量都是优良的概率是 ． 考点7：画树状图法/列表法求概率 1.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（    ） A． B． C． D． 2.一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． (1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； (2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 3.有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放． (1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______； (2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率． 4.如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． (1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________． (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a+b<0的概率． 考点8：几何概率 1.如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为 ．    2.一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（　　）    A． B． C． D． 3.“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是（　　） A． B． C． D． 4.如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 ． 考点9： 由频率估计概率 1.斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 2887 命中次数 348 893 1432 1802 2617 罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906 根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为 （精确到0.1） 2.为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 鱼池（填甲或乙） 3.《卖油翁》中，翁曰：“我亦无他，惟手熟尔”．如图，已知铜线的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下实验：将一滴油随机滴在铜钱上，重复次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含，，的式子表示）． 4.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图． (1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个； (3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？ 考点10：概率的应用 1.商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满200元减66元； 方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受的优惠如表所示． 的值 2 6 10 实际付款 8折 7折 6折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元（），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时的取值范围． 2.某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 18 9 18 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 3.一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止． （1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率； （2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 4.一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 考点11： 概率与统计综合 1.为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； (2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； (3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 2.某校为了改善学生伙食状况，更好满足校园内不同民族学生的饮食需求，充分体现对不同民族学生饮食习惯的尊重，进行了一次随机抽样调查，调查了各民族学生的人数，绘制了两幅不完整的统计图，如图．      请根据图中给出的信息，回答下列问题： (1)调查的样本容量为______，并把条形统计图补充完整； (2)珞巴族所在扇形圆心角的度数为______； (3)学校为了举办饮食文化节，从调查的四个民族的学生中各选出一名学生，再从选出的四名学生中随机选拔两名主持人，请用列表或画树状图的方法求出两名主持人中有一名是藏族学生的概率． 3.某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）． 学生平均每天阅读时长情况统计表 平均每天阅读时长x/min 人数 学生平均每天阅读时长情况扇形统计图      根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中______． (2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数． (3)若全校共有名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数， (4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率． 4.某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表： 成绩/分 频数/人 频率 10 0.1 15 b a 0.35 40 c   请根据图表信息解答下列问题： (1)求a，b，c的值； (2)补全频数直方图； (3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率． 【答案】 中考一轮复习27概率知识归纳与考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（11考点） 知识归纳： 一、事件的分类 1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1． 2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0． 3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间． 二、概率的计算 1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 2．列举法 1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率． 2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率． 三、利用频率估计概率 1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率． 2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率． 3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率． 四、概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策． 考点专练： 考点1：事件的分类 1.彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（    ） A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】D 2.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（    ） A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月 【答案】D 3.下列事件是必然事件的是（    ） A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况 【答案】A 4.如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（    ） A．只闭合个开关 B．只闭合个开关 C．只闭合个开关 D．闭合个开关 【答案】B 5.下列事件中是随机事件的是（    ） A．明天太阳从东方升起 B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 C．平面内不共线的三点确定一个圆 D．任意画一个三角形，其内角和是 【答案】B 考点2：判断事件发生可能性的大小 1.某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（    ） A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大 C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同 【答案】D 2.下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（  ） A． B． C．D． 【答案】D 3.袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】D 4.将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4四个数字，随机抽出一张，出现可能性最大的是（    ） A．数字大于2的卡片 B．数字小于2的卡片 C．数字大于3的卡片 D．数字小于4的卡片 【答案】D 考点3：理解概率的意义 1.“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，则（　　） A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1 【答案】C 2.县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为，下列理解正确的是（　　） A．明天千岛湖镇下雨的可能性较大 B．明天千岛湖镇有的地方会下雨 C．明天千岛湖镇全天有的时间会下雨 D．明天千岛湖镇一定会下雨 【答案】A 3.抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下列判断正确的是（    ） A．连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次 B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次 C．连续掷次时，正面朝上一定会出现次 D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5 【答案】D 4.在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【答案】D 考点4：根据概率公式计算概率 1.从有理数中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72秒，绿灯亮25秒，黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 4.一只不透明的袋子中装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色外都相同．现按下列方案向袋中增加或减少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出1个球，能使摸到白球、黄球的概率相等的方案是（    ） A．增加2个白球 B．减少2个黄球 C．增加1个白球、减少1个黄球 D．增加4个白球、3个黄球 【答案】D 考点5：由概率求数量 1.小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（    ） A．10 B．8 C．12 D．4 【答案】C 2.在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是 ． 【答案】10 4.围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 【答案】 考点6：列举法求概率 1.暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】B 2.在物理实验课上，同学们用三个开关、两个灯泡、一个电源、一个电阻及若干条导线连接如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是 ． 【答案】 3.如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． (1)姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为_______________； (2)在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：共有三根同样的绳子、、穿过一块木板， 姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为：； 故答案为：； （2）解：列举得：，，，，，，，，； 共有9种等可能的结果，其中符合题意的有6种， 这三根绳子能连接成一根长绳的概率是：． 【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 4.某地区2月上旬的空气质量指数（AQI）（单位：）如下表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AQI/（） 28 31 44 37 41 78 45 113 50 29 AQI不高于表示空气质量优良．如果小李2月上旬在该地区度假三天，那么在他度假期间该地区的空气质量都是优良的概率是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵由图可知，当1号到达时，停留的日子为1、2、3号，此时3天空气质量均为优良； 当2号到达时，停留的日子为2、3、4号，此时3天空气质量均为优良； 当3号到达时，停留的日子为3、4、5号，此时3天空气质量均为优良； 当4号到达时，停留的日子为4、5、6号，此时2天空气质量均为优良； 当5号到达时，停留的日子为5、6、7号，此时2天空气质量均为优良； 当6号到达时，停留的日子为6、7、8号，此时1天空气质量为优良； 当7号到达时，停留的日子为7、8、9号，此时2天空气质量为优良； 当8号到达时，停留的日子为8、9、10号，此时2天空气质量均为优良； ∴小王该月上旬该地区度假三天那么他在该地区度假期间空气质量都是优良的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 考点7：画树状图法/列表法求概率 1.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． (1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； (2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 【答案】(1) (2)两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数， ∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 故答案为：. （2）解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：，共4种， ∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为. 3.有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放． (1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______； (2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）直接根据概率公式计算； （2）先列表，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于15kg所占的结果数，再根据概率公式计算． 【详解】（1）解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下：      第二个 第一个 6 6 7 7 8 6 12 13 13 14 6 12 13 13 14 7 13 13 14 15 7 13 13 14 15 8 14 14 15 15 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种． ∴． 4.如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． (1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________． (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a+b<0的概率． 【答案】(1)； (2)满足a+b<0的概率为． 【详解】（1）解：转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是； 转盘乙指针指向正数的概率是． 故答案为：；． （2）解：列表如下： 乙      甲 -1 -6 8 -4 -5 -10 4 5 4 -1 13 7 6 1 15 由表知，共有9种等可能结果，其中满足a+b<0的有3种结果， ∴满足a+b<0的概率为． 考点8：几何概率 1.如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为 ．    【答案】/ 2.一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 3.“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 4.如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 ． 【答案】 考点9： 由频率估计概率 1.斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 2887 命中次数 348 893 1432 1802 2617 罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906 根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为 （精确到0.1） 【答案】0.9 2.为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 鱼池（填甲或乙） 【答案】甲 3.《卖油翁》中，翁曰：“我亦无他，惟手熟尔”．如图，已知铜线的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下实验：将一滴油随机滴在铜钱上，重复次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含，，的式子表示）． 【答案】 4.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图． (1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个； (3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)， (2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个 (3)个 【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为， 故答案为：，； （2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有（个）， 黑颜色的球有（个）； ∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个； （3）解：设需要往盒子里再放入个白球， 依题意得，， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴需要往盒子里再放入个白球． 考点10：概率的应用 1.商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满200元减66元； 方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受的优惠如表所示． 的值 2 6 10 实际付款 8折 7折 6折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元（），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：列表如下： 1 1 5 5 1 （1，1） （1，5） （1，5） 1 （1，1） （1，5） （1，5） 5 （5，1） （5，1） （5，5） 5 （5，1） （5，1） （5，5） 由上表可知共有12种结果，并且他们发生的可能性相等，其中和为6的有8种． ∴该顾客选择方案二的抽奖方式获得7折优惠的概率为； （2）解：依题意知， 所以该顾客可按方案二抽奖一次． 选择方案二时，由（1）可知，该顾客获得“8折”优惠的概率为，获得“7折”优惠的概率为，获得“6折”优惠的概率为， ∴方案二的平均打折数为． 选择方案一时，该顾客需要支付元． ∴依题意可得：， 解得：． ∴当时，该顾客选择方案二更优惠． 2.某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 18 9 18 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一，见解析； 【详解】（1）解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转盘B中蓝色区域的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向蓝色区域的情况有5种， ∴P(一红区和一蓝区)= （2）由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ， ∴P(两个红区)= ，P(两个蓝区)= ， ∴方案二的平均收益为：， ∵13<20， ∴若只考虑获得最多的礼品券，选择方案一更加实惠； 3.一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止． （1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率； （2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 【答案】（1）P（指针指向4）＝；（2）P（转动转盘两次能通过游戏）＝． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案． 【详解】（1）∵转盘被分成4个大小相等的扇形， ∴P（指针指向4）＝． （2）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 通过游戏是恰好到达终点即两次指针所指扇形区域数字之和为7， 由表可得共有16种等可能的结果，其中和为7的结果有2种， ∴P（转动转盘两次能通过游戏）＝． 4.一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 【答案】（1）；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析 【详解】解: （1）列树状图如下: 共有种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有个， 所以小新顺利通过第一关的概率为 （2）建议小明在第二题使用“求助卡”， 若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下: 此时小新顺利通过第一关的概率为 因为， 所以建议小新在第二题使用“求助卡” 考点11： 概率与统计综合 1.为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； (2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； (3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】(1)50，7 (2)条形统计图见解析， (3)该校学生答题成绩为A等和B等共有672人 (4) 【详解】（1）解：（人）， ， 故答案为：50，7； （2）解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人； （4）解：根据题意，列出表格如下：    第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 2.某校为了改善学生伙食状况，更好满足校园内不同民族学生的饮食需求，充分体现对不同民族学生饮食习惯的尊重，进行了一次随机抽样调查，调查了各民族学生的人数，绘制了两幅不完整的统计图，如图．      请根据图中给出的信息，回答下列问题： (1)调查的样本容量为______，并把条形统计图补充完整； (2)珞巴族所在扇形圆心角的度数为______； (3)学校为了举办饮食文化节，从调查的四个民族的学生中各选出一名学生，再从选出的四名学生中随机选拔两名主持人，请用列表或画树状图的方法求出两名主持人中有一名是藏族学生的概率． 【答案】(1)，图形见详解(2)(3) 【详解】（1）总人数：（人）， 藏族学生人数：（人）， 补充图形如下：    （2）， 即珞巴族所在扇形圆心角的度数为； （3）设用“甲”代表藏族学生，用“乙”代表其他三族的学生，画出列表如下： 甲 乙 乙 乙 甲 甲，乙 甲，乙 甲，乙 乙 乙，甲 乙，乙 乙，乙 乙 乙，甲 乙，乙 乙，乙 乙 乙，甲 乙，乙 乙，乙 由图表可知，总共有12种情况，含有“甲”（藏族学生）的情况有6种， 故：两名主持人中有一名是藏族学生的概率． 3.某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）． 学生平均每天阅读时长情况统计表 平均每天阅读时长x/min 人数 学生平均每天阅读时长情况扇形统计图      根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中______． (2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数． (3)若全校共有名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数， (4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率． 【答案】(1)100，30 (2) (3)名 (4) 【详解】（1）解：∵组的人数为，占比为，且， ∴本次调查共抽取了名学生； ∵组占比，， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”有名， 且， ∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数为． （3）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”的学生人数为人， 且（名）， ∴估计平均每天阅读时长为“”的学生人数为名． （4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片，，，标记，画树状图如下：    一共有种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即和《西游记》即有种可能的情况， ∴． 4.某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表： 成绩/分 频数/人 频率 10 0.1 15 b a 0.35 40 c   请根据图表信息解答下列问题： (1)求a，b，c的值； (2)补全频数直方图； (3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率． 【答案】(1)，，． (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意得：抽取学生总数（人）， ， ， ． （2）解：补全频数分布直方图如图：    （3）画树状图如下：    共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种， ∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $