专题11分式的运算专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题11分式的运算 【题型01 分式乘法】..............................................2 【题型02 分式除法】..............................................3 【题型03 分式乘除混合运算】......................................3 【题型04 分式乘方】..............................................3 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】..............................4 【题型06 同分母分式加减法】......................................4 【题型07 最简公分母】............................................5 【题型08 通分】..................................................5 【题型09 异分母分式加减法】......................................5 【题型10 整式与分式相加减】......................................6 【题型11 已知分式恒等式,确定分子或分母】..........................7 【题型12 分式加减混合运算】......................................7 【题型13 分式加减的实际应用】....................................7 【题型14 分式加减乘除混合运算】..................................8 【题型15 分式化简求值】..........................................9 【解答题5题】....................................................9 ★知识梳理★ ➽知识点01:分式乘除（核心：因式分解后约分，除转乘） 乘法：（分子乘分子，分母乘分母） 除法：（除以分式 = 乘它的倒数） 混合：从左到右，统一转乘法，先分解再约分 ➽知识点02:分式乘方（核心：分子分母分别乘方，勿漏项） 法则：()n=（n 为正整数，b0） 运算顺序：先乘方，再乘除；符号遵循有理数乘方规则 ➽知识点03:分式加减（核心：同分母直算，异分母先通分） 同分母：±，分母不变，分子相加减，最后约分（分子多项式加括号，再加减） 异分母：找最简公分母（各分母因式最高次幂的积）→ 通分转同分母 → 计算后约分 整式与分式加减：整式看作分母为 1 的分式，再通分 ➽知识点04:分式混合运算（运算顺序：同有理数 / 整式） 先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右 技巧：能分解先分解，步步约分简化计算 ➽知识点05:分式化简求值（核心：先化简，再求值） 1.直接代入：化简为最简分式 / 整式，再代值（排除使分母为 0 的取值） 2.整体代入：由已知等式变形，将化简式转化为整体形式代入（如x+=3，求相关式） ➽知识点06:核心规则 & 易错提醒 1.前提：所有分母≠0，除式的分子也≠0 2.结果：必须化为最简分式 / 整式 3.禁忌：勿对分子分母的项直接约分，多项式需先分解；乘方勿漏乘系数 / 因式 4.符号：分式 / 分子 / 分母，改变任意两个，值不变；分子相加减注意符号分配 【题型1.分式乘法】 【典例】若，则 ． 【跟踪专练1】化简的结果为 ． 【跟踪专练2】计算：（   ） A．3 B． C． D．0 【跟踪专练3】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型2.分式除法】 【典例】化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】（1）计算： ； （2）若，则分式 ． 【跟踪专练2】已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【跟踪专练3】计算： ． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图①，“惠民1号”玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民2号”玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆剩下的部分，两块试验田都收获了的玉米．“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量是“惠民2号”玉米试验田的 倍． 【题型4.分式乘方】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： （）（   ），括号内依次填： 、 、 ； （）（   ）．括号内依次填： 、 、 ． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】计算 ． 【跟踪专练1】计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算 ． 【跟踪专练3】下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】计算 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【跟踪专练3】若分式的运算结果为x，则在“”处的运算符号（    ） A．只能是“÷” B．可以是“÷”或“–” C．不能是“–” D．可以是“×”或“＋” 【题型7.最简公分母】 【典例】分式，的最简公分母是 ． 【跟踪专练1】分式与分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】三个分式的最简公分母是 ． 【跟踪专练3】分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【题型8.通分】 【典例】要对，，进行通分，则它们的最简公分母是 ． 【跟踪专练1】分式与通分时，的分子、分母要同乘（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 ． 【跟踪专练3】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【题型9.异分母分式加减法】 【典例】计算 ． 【跟踪专练1】化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练2】.小马虎在计算时把整式抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的比原来大，则正确的化简结果应该是 ． 【跟踪专练3】学完分式运算后，老师出了一道题：化简． 小明的做法：原式． 小亮的做法：原式． 小芳的做法：原式． 对于这三名同学的做法，下列说法正确的是（    ） A．小明的做法正确 B．小亮的做法正确 C．小芳的做法正确 D．三名同学的做法都不正确 【题型10.整式与分式相加减】 【典例】化简： ． 【跟踪专练1】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】阅读下列材料： 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：． 解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ． 【跟踪专练3】对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【题型11.已知分式恒等式,确定分子或分母】 【典例】已知，且，则 ． 【跟踪专练1】若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 【跟踪专练2】已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝ ． 【跟踪专练3】已知，其中、为常数，求的值． 【题型12.分式加减混合运算】 【典例】计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果记yf（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）；f（）表示当x时y的值，即f（），……，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+……+f（2021）+f（）＝ ． 【跟踪专练2】某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v＋p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（    ） A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．t1＞t2 【跟踪专练3】观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【题型13.分式加减的实际应用】 【典例】一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是 ． 【跟踪专练1】小丽家和小明家到学校的路程都是，其中小丽家走的是平路，骑车速度是．小明家需要走的上坡路，的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，那么小丽比小明在路上花费的时间（   ）． A．相同 B．少 C．多 D．不确定 【跟踪专练2】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 【跟踪专练3】一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为千米/小时，下山速度为千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（  ） A． B． C． D． 【题型14.分式加减乘除混合运算】 【典例】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： ； ． 【跟踪专练2】化简的值为 ． 【跟踪专练3】已知，以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型15.分式化简求值】 【典例】已知，，则 ． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的数、，有．先化简，后求值．当，时， ． 【跟踪专练3】下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题分，他能得的分数是（   ） ①；②；③；④； ⑤； A．分 B．分 C．分 D．分 解答题 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 2．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3．计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 4．我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m，，且．小明提出，若把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？ 5．在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11分式的运算 【题型01 分式乘法】..............................................2 【题型02 分式除法】..............................................3 【题型03 分式乘除混合运算】......................................5 【题型04 分式乘方】..............................................7 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】..............................9 【题型06 同分母分式加减法】.....................................11 【题型07 最简公分母】...........................................13 【题型08 通分】.................................................14 【题型09 异分母分式加减法】.....................................16 【题型10 整式与分式相加减】.....................................18 【题型11 已知分式恒等式,确定分子或分母】.........................19 【题型12 分式加减混合运算】......................................21 【题型13 分式加减的实际应用】....................................24 【题型14 分式加减乘除混合运算】..................................26 【题型15 分式化简求值】..........................................29 【解答题5题】....................................................31 ★知识梳理★ ➽知识点01:分式乘除（核心：因式分解后约分，除转乘） 乘法：（分子乘分子，分母乘分母） 除法：（除以分式 = 乘它的倒数） 混合：从左到右，统一转乘法，先分解再约分 ➽知识点02:分式乘方（核心：分子分母分别乘方，勿漏项） 法则：()n=（n 为正整数，b0） 运算顺序：先乘方，再乘除；符号遵循有理数乘方规则 ➽知识点03:分式加减（核心：同分母直算，异分母先通分） 同分母：±，分母不变，分子相加减，最后约分（分子多项式加括号，再加减） 异分母：找最简公分母（各分母因式最高次幂的积）→ 通分转同分母 → 计算后约分 整式与分式加减：整式看作分母为 1 的分式，再通分 ➽知识点04:分式混合运算（运算顺序：同有理数 / 整式） 先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右 技巧：能分解先分解，步步约分简化计算 ➽知识点05:分式化简求值（核心：先化简，再求值） 1.直接代入：化简为最简分式 / 整式，再代值（排除使分母为 0 的取值） 2.整体代入：由已知等式变形，将化简式转化为整体形式代入（如x+=3，求相关式） ➽知识点06:核心规则 & 易错提醒 1.前提：所有分母≠0，除式的分子也≠0 2.结果：必须化为最简分式 / 整式 3.禁忌：勿对分子分母的项直接约分，多项式需先分解；乘方勿漏乘系数 / 因式 4.符号：分式 / 分子 / 分母，改变任意两个，值不变；分子相加减注意符号分配 【题型1.分式乘法】 【典例】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式乘法，掌握运算法则是解题关键． 按分式乘法法则进行运算即可． 【详解】， 故答案为：． 【跟踪专练1】化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】计算：（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则是解题的关键．根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练3】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法，先根据分式的乘法法则进行计算，然后利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴； 故选C． 【题型2.分式除法】 【典例】化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的除法运算等知识点，根据分式的除法运算法则即可求出答案，解题的关键是熟练运用分式的除法运算法则． 【详解】 ， 故选：A ． 【跟踪专练1】（1）计算： ； （2）若，则分式 ． 【答案】 【分析】该题考查了分式除法，正确计算是解题的关键． （1）根据分式除法法则计算即可； （2）根据题意得出，再根据分式除法法则计算即可； 【详解】解：（1） ， 故答案为：． （2）∵， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 【跟踪专练3】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除法运算法则． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化除为乘，然后按照分式乘法法则进行计算即可． 【详解】原式= =-m 故选：C 【点睛】本题考查了分式的乘除运算，掌握分式乘除运算法则是解答本题的关键． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据相关运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解；， 故答案为：． 【跟踪专练2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行乘法运算即可，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【跟踪专练3】如图①，“惠民1号”玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民2号”玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆剩下的部分，两块试验田都收获了的玉米．“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量是“惠民2号”玉米试验田的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式以及分式的运算相关知识点，掌握圆的面积公式以及分式的除法运算是解题的关键． 本题根据圆的面积公式分别得出两个试验田的面积；再结合“单位面积产量 = 总产量面积”，得出两个试验田的单位面积产量；最后通过分式除法运算即可解决倍数的问题． 【详解】解：“惠民1号”试验田的面积：， “惠民2号”试验田的面积：， ∵两块试验田都收获了kg玉米， ∴“惠民1号”试验田的单位面积产量：， “惠民2号”试验田的单位面积产量：， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型4.分式乘方】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】分式乘方的法则是：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果． 【详解】解： 故答案为； 【点睛】本题考查分式的乘方运算．掌握相关运算法则即可． 【跟踪专练1】下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 计算乘方后对选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，原选项计算错误，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】计算： （）（   ），括号内依次填： 、 、 ； （）（   ）．括号内依次填： 、 、 ． 【答案】 【分析】（）应用分式的乘方法则，将分子和分母分别平方后计算即可； （2）应用分式的乘方法则，将分子和分母分别立方，再进行立方运算即可； 本题考查了分式的乘方运算，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：、、； （）， 故答案为：、、． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘方，分式的基本性质，分式的除法，熟练掌握分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，是解题的关键．根据分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，逐一计算判断即可． 【详解】A. ， ∵， ∴A错误； B. ， ∵， ∴B正确； C. ， ∵， ∴C错误； D. ， ∵， ∴D错误． 故选：B． 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】计算 ． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 【跟踪专练1】计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式乘除和乘方运算法则对原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：原式＝ ＝， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的乘除法和乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【跟踪专练2】计算 ． 【答案】－1 【分析】本题考查了分式的乘方和分式的除法运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算分式的乘方，再根据分式的除法法则解答即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式的乘法和分式的乘方计算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故本选项符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】计算 【答案】 【分析】原式为同分母分式相减，直接合并分子后化简． 本题考查了分式的加减法，掌握运算法则是解题关键． 【详解】原式===． 故答案为． 【跟踪专练1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加法运算．通过观察分母和互为相反数，将第二个分式变形进行减法运算，再化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，分式的约分，解题关键是将已知式子适当变形，再整体代入求值． 先将，变形为，再整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】若分式的运算结果为x，则在“”处的运算符号（    ） A．只能是“÷” B．可以是“÷”或“–” C．不能是“–” D．可以是“×”或“＋” 【答案】B 【分析】观察选项中有加减乘除符号，分别根据题意列出算式，再根据分式的加法法则、分式的减法法则、分式的乘法法则、分式的除法法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可． 【详解】因为，即“×”不成立，故D错误， 因为，即“÷”成立， 又因为，即“–”也成立，所以综合所得A、C错误，选项B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的运算，包括分式的加法、减法、乘法和除法运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解答此题的关键． 【题型7.最简公分母】 【典例】分式，的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求最简公分母． 根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积． 【详解】解：分母系数3和4的最小公倍数是12，字母因式的最高次幂是，的最高次幂是， 故最简公分母为． 故答案为：． 【跟踪专练1】分式与分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母即可． 【详解】解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C． 【跟踪专练2】三个分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：第一个分式的分母为， 第二个分式的分母为， 第三个分式的分母为． ∴这三个分式的最简公分母为． 故答案为：． 【跟踪专练3】分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据最简公分母的含义和确定公分母的方法即可解答． 【详解】解：∵的分母是x，的分母是(x2-1)，即(x+1)(x-1)；的分母是x+1， ∴分式，，的最简公分母是x(x+1)(x-1),即为x(x2﹣1)． 故应选：B 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，准确地将各个分式中的分母进行因式分解是解题的关键． 【题型8.通分】 【典例】要对，，进行通分，则它们的最简公分母是 ． 【答案】12x3yz 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母． 【详解】解：xy、4xy3、6xyz中，各单项式的系数1、4、6的最小公倍数为12，字母x的最高次幂为3，y、z的最高次幂均为1，所以它们的最简公分母为：12x3yz， 故答案为：12x3yz． 【点睛】本题考查了最简公分母的确定，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 【跟踪专练1】分式与通分时，的分子、分母要同乘（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最小公倍式作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：， 则分式与的最简公分母为， 所以分式与通分时，的分子、分母要同乘， 故选：B． 【跟踪专练2】将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，然后利用最简公分母除以各自的分母，得到每个分母需乘的单项式． 【详解】分式, , 的分母分别为, , , 最简公分母为． , , ，故分母所乘的单项式依次为, , ． 故答案为：, , 【跟踪专练3】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 【题型9.异分母分式加减法】 【典例】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法运算，先通分再合并计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 需将异分母分式加减运算转化为同分母分式加减运算，再利用同分母分式加减法法则计算，过程中运用平方差公式简化运算． 【详解】解： ， 故选：D． 【跟踪专练2】.小马虎在计算时把整式抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的比原来大，则正确的化简结果应该是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法的法则进行计算是正确解答的前提．由抄错时的化简结果求出抄错的M为，再根据抄写的M比原来大，得正确的M为，最后代入原式计算正确结果． 【详解】解：抄错时，有， 则， 所以． 由于抄写的M比原来大， 故正确的M为．代入原式， 正确结果为． 故答案为：． 【跟踪专练3】学完分式运算后，老师出了一道题：化简． 小明的做法：原式． 小亮的做法：原式． 小芳的做法：原式． 对于这三名同学的做法，下列说法正确的是（    ） A．小明的做法正确 B．小亮的做法正确 C．小芳的做法正确 D．三名同学的做法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，需依据先通分、再加减、最后约分的法则判断三名同学的做法正误． 【详解】解：小明的做法：第一步通分变形正确，但在第二步合并分子时，将错误地计算为，正确的应为 ，因此结果错误． 小亮的做法：直接去掉分式分母，违背分式运算规则，结果错误． 小芳的做法： 原式 步骤符合异分母分式加减运算规则，结果正确． ∴小芳的做法正确， 故选：C． 【题型10.整式与分式相加减】 【典例】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，先通分，根据同分母分式加减法法则计算，最后约分． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【跟踪专练2】阅读下列材料： 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：． 解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ． 【答案】 真分式 【分析】本题考查分式的加减运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解“假分式”“带分式”的意义和转化方法是解决问题的关键．根据“真分式”的意义判断即可，根据“假分式”化成“带分式”的方法转化即可 【详解】解：分式的分子的次数是0，分母的次数是1，故是真分式； ． 故答案为：真分式；． 【跟踪专练3】对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】C 【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【题型11.已知分式恒等式,确定分子或分母】 【典例】已知，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练1】若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】根据条件先求出的值，然后整体代入求解即可． 【详解】由题意可得，，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查分式求值问题，灵活根据条件变形，并熟练运用整体思想是解题关键． 【跟踪专练2】已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝ ． 【答案】0 【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝， ∵＝，且A、B为常数， ∴， ∴， 解得：， ∴A+3B＝3+3×(-1)=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键． 【跟踪专练3】已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ． 【题型12.分式加减混合运算】 【典例】计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【跟踪专练1】如果记yf（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）；f（）表示当x时y的值，即f（），……，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+……+f（2021）+f（）＝ ． 【答案】2020.5 【分析】通过计算f（2），f（3），f（）的值得到f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，从而得到规律f（x）+f（）=1，然后利用此规律得到f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（2021）+f（）的值． 【详解】解：∵f（2）==，f（）==， ∴f（2）+f（）=1， ∵f（3）==，f（）==， ∴f（3）+f（）=1， 同理可得f（2021）+f（）=1， ∴f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（2021）+f（） =+1+1+…+1=+1×2020=2020.5． 故答案为：2020.5． 【点睛】本题考查了分式的加减法：同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 【跟踪专练2】某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v＋p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（    ） A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．t1＞t2 【答案】A 【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值，进而利用分式的性质计算得出答案． 【详解】解∶∵， ， ∵， ∴ 故选∶A． 【点睛】此题主要考查了列代数式，正确进行分式的加减运算法则是解题关键． 【跟踪专练3】观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【答案】 【分析】先根据已知等式归纳类推出，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，归纳类推得：， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键． 【题型13.分式加减的实际应用】 【典例】一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，利用分式表示出甲乙各自的工作效率，熟练掌握分式加减计算法则是解题关键．根据甲、乙合做一天的工作量甲一天的工作量乙一天的工作量，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成， ∴甲一天的工作量为，乙一天的工作量为， ∴甲、乙合作一天可以完成的工作量为， 故答案为：． 【跟踪专练1】小丽家和小明家到学校的路程都是，其中小丽家走的是平路，骑车速度是．小明家需要走的上坡路，的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，那么小丽比小明在路上花费的时间（   ）． A．相同 B．少 C．多 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，用合适的分式表示出来． 【详解】解：∵小明上坡路走的时间：，下坡路走的时间：， 总时间为：； 小丽花费的时间为：， ∴． ∴小丽比小明在路上花费的时间少． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用； （1）根据题意，可以分别写出两块试验田的单位面积，然后比较大小即可． （2）根据“两种小麦种植后产量相同”得出关于的一元一次方程，解方程得，根据题意，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得， “丰收1号”单位面积的产量为： “丰收2号”单位面积的产量为： ∵ ∴ ∴， 即“丰收2号”小麦单位面积产量高， 故答案为：． （2）依题意， 解得： ∵，为正整数， ∴或或． 【跟踪专练3】一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为千米/小时，下山速度为千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平均速度=总路程 总时间，设单程的路程为，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可； 【详解】设上山的路程为 千米 则上山的时间 小时，下山的时间为 小时 则上、下山的平均速度 千米/时 故选：D 【点睛】本题考查了列代数式，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点． 【题型14.分式加减乘除混合运算】 【典例】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握分式的加减法的运算法则是解题的关键．根据分式的加减法进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练1】计算： ； ． 【答案】 【分析】第一个代数式：根据同分母分式加减运算法则进行运算，再约分即可；第二个代数式：根据异分母分式加减运算法则进行运算，再将除法转化为乘法，再约分即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查分式的混合运算，结果化为最简分式，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【跟踪专练2】化简的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，将分子和分母因式分解后约分，然后计算括号内减法，然后计算括号外除法即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算．先对B进行通分化简，再将化简后的B与A进行运算，验证各选项结论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴，故选项C正确， ∵， ∴，故选项A不正确， ∵， ∴，故选项B不正确， ∵， ∴，故选项D不正确， 故选：C． 【题型15.分式化简求值】 【典例】已知，，则 ． 【答案】 【分析】由，然后把，，代入求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减是解题的关键． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，利用设参数法消去未知数是解题关键． 根据比例关系设参数，直接代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，，则， ∴ ． 故选：A． 【跟踪专练2】规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的数、，有．先化简，后求值．当，时， ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是理解题意正确计算．先将可得，再进行化简，最后将，代入求值即可． 【详解】解： 将代入得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题分，他能得的分数是（   ） ①；②；③；④； ⑤； A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．根据分式的乘除和加减法则对每个式子进行化简，然后判断即可． 【详解】解：∵ ① ，正确； ② ，错误； ③ ，错误； ④ ，正确； ⑤ ，正确． ∴有题正确，得分为（分）， 即他能得的分数是分． 故选：B． 解答题 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的乘除，熟练掌握分式乘除的法则，约分，平方差公式分解因式，是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （2）结合平方差公式分解因式，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （3）除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （4）除法变成乘法，结合平方差公式分解因式，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：原式． （4）解：原式． 2．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 3．计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． （1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可； （5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 4．我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m，，且．小明提出，若把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？ 【答案】正确 【分析】本题主要考查了分式的加减运算及作差法比较大小，熟练掌握作差法比较分式大小的方法是解题的关键． 通过计算增加面积前后窗户与地面面积的比值之差，判断差值的正负，从而确定采光是否变好． 【详解】解：设原来窗户面积与地面面积的比值为， 增加面积后，新比值为． ∵ 又 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴把该房间窗户与地面的面积都增加a，采光更好，小明的说法正确． 5．在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，可得到结果； （2）仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，仿照示例，可得到，再代入化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 因为是正整数， 所以的值为， 所以的值为，4，则的值为． 因为是整数， 所以的值为1． （3）因为 ． 所以， 即， 所以．.. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $