精品解析：江苏扬州市仪征市2025-2026学年上学期期末测试九年级数学试卷（A）

2025-2026学年第一学期期末测试试卷（A卷） 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 已知一组数据：3、1、4、2、1、3、1，则这组数据的众数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，据此可得答案． 【详解】解：∵在数据3、1、4、2、1、3、1中，1出现3次，3出现2次，4和2各出现1次 ∴出现次数最多的数是1， ∴这组数据的众数为1， 故选：A． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，此选项不符合题意； B、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，此选项不符合题意； C、方程是一元二次方程，此选项符合题意； D、方程中，未知数的最高次数不是2，故不是一元二次方程，此选项不符合题意； 故选：C． 3. 点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（ ） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形的性质．先计算点A到坐标原点O的距离，再将该距离与的半径比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论 【详解】∵点的坐标为，为坐标原点， ∴， 又∵的半径， ∴， ∴点在上， 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，代入式子进行计算即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 5. 我们知道，抛物线可由抛物线经过平移得到，那么平移的方法可以是（ ） A. 先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B. 先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C. 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D. 先向下平移2个单位，再向右平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据解析式可得两个抛物线的顶点坐标，根据对应的顶点坐标可判断出对应的平移方式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵将点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点， ∴抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到抛物线， 故选：B． 6. 如图，在中，是上一点，连接、交于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，继而证明，得到，即可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 7. 已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及判别式的性质，先将方程整理为一元二次方程的标准形式，根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）及判别式的性质（有两个实数根则判别式）求解的取值范围即可． 【详解】将方程整理为标准形式得 又方程有两个实数根 此方程为一元二次方程， 故二次项系数且判别式， 其中，，， 解得， ∴的取值范围是且． 故选：D． 8. 已知点、均在二次函数的图象上，、、、 均为常数，则p、q的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，可将点A、B的坐标分别代入二次函数解析式，求出p、q的表达式，再分析两者的数量关系即可得到答案． 【详解】解：∵点、均在二次函数的图象上， ∴，， ∴，， 根据现有条件无法得到，，， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 将一元二次方程化为一般形式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为（）．据此求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中求出的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在一个不透明袋子中，装有40个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中白球的个数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式求数量，设袋子中白球的个数为x，摸到白球的概率等于白球的个数除以球的总数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中白球的个数为x， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴袋子中白球的个数为5， 故答案为：5． 13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为10的半圆，则该圆锥的高是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，根据圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为半圆半径，半圆弧长等于底面周长，由此求出底面半径，再根据勾股定理计算高即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，圆锥的高， ∵侧面展开图是半径为10的半圆， ∴母线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 计算方差的过程中有：，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的定义，方差的计算公式为，其中n表示样本数据的个数，据此可得答案． 【详解】解：由方差公式可得这组数据为2，4，3，5，一共4个数， ∴， 故答案为：4． 15. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，先确定点D在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点D在该量角器所在的圆上， ∴， 故答案为：55． 16. 如图，点A、B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段与网格线的交点，那么的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理． 如解析图所示，可证明，则可得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由网格的特点和勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 17. 如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．现通过模拟某款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，小组收集、整理数据，绘制如图2的函数图象．发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：）与刹车后行驶的时间t（单位：）之间成二次函数关系．则司机踩下刹车后，汽车________后完全停下． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法求出y关于t的二次函数关系式，汽车完全停下时y有最大值，据此结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 根据题意可得点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴司机踩下刹车后，汽车后完全停下， 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，点E是边上的动点（不与端点重合），连接，以为边在的右侧作矩形，点F在边上，若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，设，可证明得到，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分。） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，分别利用合适的方法求解即可． （1）直接因式分解法求解即可； （2）直接利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解： ∵， ， ∴ ，． 20. 已知关于x的方程：． （1）若该方程有一个根是2，求k的值； （2）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有一个根是2， ∴， 解得； 【小问2详解】 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 21. 现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始． （1）欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______； （2）欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人同时选择计算机视觉的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有三场直播，且每一场直播被选择的概率相同， ∴欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 欢欢 乐乐 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们同时选择计算机视觉的结果数有1种， ∴他们同时选择计算机视觉的概率为． 22. 如图，在中，，，，D是的中点． （1）求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）连接，在（1）的条件下，求的长度． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）点O一定在线段的垂直平分线上，而圆心O在上，则点O为的中点，据此作线段的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画弧交于点E即可； （2）由（1）可知，为的直径，则；由勾股定理可得的长，证明，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）可知，为的直径， ∴； ∵在中，，，， ∴； ∵D是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 23. 如图，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用． （1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将点A和点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式； （2）由点与点关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线的交点即为点． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴，， 将点，代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴． ． ∴当，，三点共线时，的值最小． 在中，当时，， ∴． 24. 如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． （1）求证：； （2）若点E为的中点，，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题关键． （1）根据两组对应边成比例及夹角相等即可得证； （2）由，得出，再利用相似三角形的对应边成比例得出，求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔的销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔的销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到7500元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔的销售量的月增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔的销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 26. 已知为的直径，交于点C，点D为上一点，与相交于点E，过点D作的切线交的延长线于点P． （1）如图，若，． ①求的大小； ②求弧、线段、线段所围成图形的面积． （2）试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①连接，根据等边对等角得到，然后根据切线的性质得到，即可求出的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等求出的度数，再根据三角形的内角和解答即可；②由（1）①得，则，求出的长，进而求出和扇形的面积，据此可得答案； （2）同（1）①求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴； ②由（1）①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴弧、线段、线段所围成图形的面积； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了切线的性质，求不规则图形的面积，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知圆的相关知识是解题的关键． 27. （1）【合作探究】如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，求证：； （2）【内化迁移】如图2，在中，连接，点B为的延长线上一点，连接，使得，若，，求的长度； （3）【学以致用】如图3，在四边形中，，，点D为上一点，，，若，且，则________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质，等边对等角，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角和已知条件可证明，再由，可证明； （2）由平行四边形的对角相等和已知条件可证明，则可证明，得到，据此代入求值即可； （3）过点A作于F，可证明，推出；设，则，进而可得；证明，可得，则，可得，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 设， ∴， ∵，且， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 28. 定义：平面直角坐标系中，若一个圆过抛物线与坐标轴的交点，则称这个圆是该抛物线的“轴点圆”． （1）如图，是图中抛物线的“轴点圆”，则点Q________（填“在”或“不在”）这条抛物线的对称轴上； （2）已知点，以P为圆心，为半径作圆．请判断是不是抛物线的“轴点圆”，并说明理由； （3）抛物线的“轴点圆”为，试判断直线与的位置关系，并说明理由； （4）已知抛物线的顶点为D，点O为坐标原点，点E为“轴点圆”的圆心，则周长的最小值为________． 【答案】（1）在 （2）是，理由见解析 （3）相切，理由见解析 （4） 【解析】 【分析】(1)根据“轴点圆”的定义可知点在的垂直平分线上，因为点、是抛物线与轴的两个交点，所以抛物线的对称轴是的垂直平分线，可得点在抛物线的对称轴上； (2)根据抛物线的交点，可以求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得点到三个交点的距离相等，所以是抛物线的“轴点圆”； (3)根据抛物线的解析式可以求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据三点的坐标得到的圆心坐标，根据直线的解析式求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式求出圆心到直线的距离，即可判定直线与的位置关系； (4)根据抛物线的解析式求出抛物线与坐标轴的交点、的坐标，则“轴点圆”的圆心在的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可知当点、、三点共线时的周长最小，根据点、的坐标求出的周长最小值． 【小问1详解】 解：过点、、， 点在的垂直平分线上， 点、是抛物线与轴的两个交点， 抛物线的对称轴是的垂直平分线， 点在抛物线的对称轴上； 故答案为：在； 【小问2详解】 解：是抛物线的“轴点圆”， 理由如下： 当时，可得方程， 整理得：， 分解因式可得：， 方程的解为：，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标是， 点到点的距离为， 点到点的距离为， 点到点的距离为， 过抛物线与坐标轴的交点， 是抛物线的“轴点圆”； 【小问3详解】 解：直线与相切， 理由如下： 如下图所示，过点作， 已知抛物线， 当时，可得：， 解方程得：，， 抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， 当时，可得：， 抛物线与轴的交点坐标为， 是抛物线的“轴点圆”， 的圆心坐标为，半径为， 当时，， 点的坐标为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ， ， ， ， 直线与相切； 【小问4详解】 解：如下图所示，连接，作的垂直平分线， 是抛物线的“轴点圆”， 点在的垂直平分线上， ， 已知抛物线， 当时，， 点的坐标为， ， ， 抛物线的顶点坐标为， ， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， 此时的值最小， 当点、、三点共线时的值最小， 此时， 的周长最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与圆的综合、切线的判定、勾股定理、平面直角坐标系中两点之间的距离公式、二次函数的图像与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末测试试卷（A卷） 九年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 已知一组数据：3、1、4、2、1、3、1，则这组数据的众数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（ ） A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 不能确定 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 我们知道，抛物线可由抛物线经过平移得到，那么平移的方法可以是（ ） A. 先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B. 先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C. 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D. 先向下平移2个单位，再向右平移1个单位 6. 如图，在中，是上一点，连接、交于，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 8. 已知点、均在二次函数的图象上，、、、 均为常数，则p、q的数量关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 将一元二次方程化为一般形式为_______． 10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ． 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 12. 在一个不透明袋子中，装有40个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中白球的个数是________． 13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为10的半圆，则该圆锥的高是___________． 14. 计算方差的过程中有：，则________． 15. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 16. 如图，点A、B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段与网格线的交点，那么的长度为________． 17. 如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．现通过模拟某款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，小组收集、整理数据，绘制如图2的函数图象．发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：）与刹车后行驶的时间t（单位：）之间成二次函数关系．则司机踩下刹车后，汽车________后完全停下． 18. 如图，在正方形中，点E是边上的动点（不与端点重合），连接，以为边在的右侧作矩形，点F在边上，若，则的最大值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分。） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于x的方程：． （1）若该方程有一个根是2，求k的值； （2）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 21. 现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始． （1）欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______； （2）欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率． 22. 如图，在中，，，，D是的中点． （1）求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）连接，在（1）的条件下，求的长度． 23. 如图，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． （1）求证：； （2）若点E为的中点，，若，求的长度． 25. 交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔的销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 26. 已知为的直径，交于点C，点D为上一点，与相交于点E，过点D作的切线交的延长线于点P． （1）如图，若，． ①求的大小； ②求弧、线段、线段所围成图形的面积． （2）试探究与的数量关系，并说明理由． 27. （1）【合作探究】如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，求证：； （2）【内化迁移】如图2，在中，连接，点B为的延长线上一点，连接，使得，若，，求的长度； （3）【学以致用】如图3，在四边形中，，，点D为上一点，，，若，且，则________． 28. 定义：平面直角坐标系中，若一个圆过抛物线与坐标轴的交点，则称这个圆是该抛物线的“轴点圆”． （1）如图，是图中抛物线的“轴点圆”，则点Q________（填“在”或“不在”）这条抛物线的对称轴上； （2）已知点，以P为圆心，为半径作圆．请判断是不是抛物线的“轴点圆”，并说明理由； （3）抛物线的“轴点圆”为，试判断直线与的位置关系，并说明理由； （4）已知抛物线的顶点为D，点O为坐标原点，点E为“轴点圆”的圆心，则周长的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $