北京首都师范大学附属中学2026届高三下学期开学考试数学试题

2026北京首都师大附中高三（下）开学考 数 学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集为，集合，，则  （A） （B） （C） （D） （2）已知复数满足，则 （A） （B） （C） （D） （3）设为等差数列的前项和．若，，则　　 （A） （B） （C） （D） （4）已知半径为1的圆经过，则其圆心到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （5）“”是“函数在上存在零点”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）若，则 （A） （B） （C） （D） （7）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线．下列四个命题： ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，则或 其中所有真命题的序号是 （A）①② （B）①④ （C）①③ （D）③④ （8）已知抛物线C:的焦点为F，准线与轴交于点D，点A是抛物线C上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线方程为 （A） （B） （C） （D） （9）已知数列:，, 设（），若，则满足条件的不同数列的个数为 （A） （B） （C） （D） （10）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为 （12）已知角，的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于A，B两点，点 A坐标为，则 ；若点B在第一象限，且，则 . （13）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知. 则角B= （14）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量.已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则 （15）已知曲线C：，直线l：与曲线C交于， 两点.给出下列四个结论: ①，总有； ②当时，； ③曲线C所围成区域的面积为； ④当时，，总有． 其中正确结论的序号是___． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 已知函数的最大值为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，并求在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：相邻两条对称轴之间的距离为； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. (17)（本小题13分） 为纪念中国著名数学家华罗庚诞辰115年，某学校开展了数学知识竞赛. 决赛 设置两类题型，每位选手先抽取两道类题，再抽取一道类题. 类题答对一道得分，类题答对得分.已知选手甲答对类题的概率为，答对类题的概率为，且各题是否答对相互独立. （Ⅰ）求甲恰好答对一道题的概率； （Ⅱ）设为甲的总得分，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）若选手乙答对类题的概率为，答对类题的概率为，设为乙的总得分，比较和的大小.（结论不要求证明） （18）（本小题14分） 如图，在四棱锥中，平面，，，分别是线段的中点，，,. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求平面与平面所成角的余弦值. （19）（本小题15分） 已知椭圆的右焦点为，分别是的左、右顶点，. （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线相交于点.若，求的值. (20)（本小题满分15分） 已知函数，. （Ⅰ）若,求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若存在，使，求的取值范围； （Ⅲ）若，求证：对任意，当时，不等式恒成立． （21）（本小题15分） 对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，将“数列”中原有的每个都变成，原有的每个都变成. 例如，则设是“数列”，令. （Ⅰ）若数列 求数列，； （Ⅱ）若数列共有项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； （Ⅲ）若，记数列中连续两项都是的数对个数为，. 求关于的表达式. 参考答案 第一部分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C A C B C B D 第二部分 二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分. （11）（12），（13）　 （14） （15）①,④ 注：第（12）题第一空3分 ，第二空2分；第（15）题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。 三、解答题共6小题，共85分. （16）（共13分） 解：（Ⅰ） . ……4分 所以. ………5分 由题意可知的最大值为，所以. ………6分 （Ⅱ）选择条件②：相邻两条对称轴之间的距离为. 由（Ⅰ）可知.因为相邻两条对称轴之间的距离为.所以. 所以，即. ……7分 所以. ……8分 所以. 因为， 所以. ……9分 所以. ……10分 所以. ………11分 所以当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. ……13分 选择条件③：的最小正周期，且. 由（Ⅰ）可知. 因为的最小正周期， 所以，即. ………7分 因为，即， 所以. 因为， 所以. 所以. 所以. ………8分 所以. 因为， 所以. ………9分 所以. ………10分 所以. ………11分 所以当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. ………13分 （17）（共13分） 解：（Ⅰ）设事件甲恰好答对一道题；事件甲答对类题第一题；事件甲答对类题第二题；事件甲答对类题. 则 ……3分 ………4分 所以甲恰好答对一道题的概率为 （Ⅱ）根据题意，随机变量的所有可能取值为. ………5分 ， ， ， ， ……8分 所以随机变量的分布列为： ………9分 故随机变量的数学期望． …10分 （Ⅲ）. ……13分 （18）（共14分） 证明：（Ⅰ）取中点，连接. 因为分别是线段的中点， 所以. ………2分 因为, ………3分 平面，平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. ………4分 （Ⅱ）连接. 因为，,， 所以. 因为， 所以. ………5分 因为是中点， 所以. ………6分 因为平面，平面， 所以. ………7分 因为， ………8分 所以平面. （Ⅲ）因为平面， 所以. 因为， 所以如图建立空间直角坐标系. 因为， 所以平面. 所以. 因为分别是的中点， ,， 所以. 因为, 所以.则 ,,,，. 所以平面的法向量. ………9分 所以. ………11分 设平面的法向量为，则即 令，则.于是. ………12分 设平面与平面所成角为，则 . ……14分 （19）（本小题15分） 解：（Ⅰ）由题意得解得. 所以椭圆的方程为，离心率. …………5分 （Ⅱ）设，，又， ， 所以，可得，即. 下证三点共线. 又， 所以① 又直线方程为，由得. 所以， 所以①式的分子 所以，可知三点共线. 又，得，所以 可得解得代入椭圆的方程得. 所以. …………15分 （20）（本小题满分15分） 解（Ⅰ）当时，， 所以. 所以，. 所以切线方程为. ………………………4分 (Ⅱ)，令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则取得最小值； 令,则，令得. 当时，，单调递增, 当时，，单调递减, 所以. 所以. ………………………9分 (Ⅲ)当时，，由第（2）问，在单调递增. 因为，则，则在单调递增. 则. 即证， 即证， 即证在单调递增. 因为，, 则， 所以h(x)在上单调递增. 所以不等式恒成立．………………………15分 （21）（共15分） 解：(Ⅰ)由变换的定义可得 …………………2分 ………………4分 (Ⅱ) 数列中连续两项相等的数对至少有对. ………5分 因为对于任意一个“数列”， 中每一个在中对应的连续四项为， …………6分 中每一个在中对应的连续四项为. …………7分 因此，共有项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，所以中至少有对连续相等的数对. …………8分 (Ⅲ) 设中有个数对， 中的数对只能由中的数对得到，所以. ……9分 中的数对有两个产生途径： ①由中的得到； ②由中得到. ………10分 由变换的定义及可得中和的个数总相等，且共有个， 所以. 所以. ………11分 由可得，， 所以，. 当时， 若为偶数，， ， . 上述各式相加可得. 经检验，时，也满足. ……13分 若为奇数，， ， . 上述各式相加可得. 经检验，时，也满足. 所以 …………………15分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $