1.2 等腰三角形 同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2等腰三角形 同步练习 一、单选题 1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或6cm 2．如图，已知，，，不正确的等式是（    ） A． B． C． D． 3．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设（   ） A．等腰三角形的顶角为锐角 B．等腰三角形的底角不为锐角 C．等腰三角形的底角为钝角 D．等腰三角形的顶角不为锐角 4．如图，中，，，点D，E在上，，．则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 5．下列条件不能判定是等边三角形的是（    ） A． B． C．， D． 6．如图，中，，，，则的度数为（）    A． B． C． D． 7．在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D．随着A，C位置的变化而变化 8．如图，在等边三角形中，为的平分线，在上分别取点，且，在上有一动点P，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．10 D．12 二、填空题 9．如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为 ． 10．四边形的边长如图所示，线段的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，线段的长为 ． 11．我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺． 12．如图，，若用“”说明，则还需要加上条件： 13．如图，，，则等于 ． 14．如图，在中，，是的平分线．若，，则的长为 ． 15．已知一张三角形纸片（如图甲），其中，先将纸片折叠，使点A落到点B点处，折痕为（如图乙），再将纸片沿过点B的直线折叠，点C恰好与点D重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的度数为 ． 16．如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q，，．的长是 ． 三、解答题 17．如图，已知中，，，且平分．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 19．如图，是等边三角形，，求高的长和的面积． 20．如图，中，，，． (1)求的度数； (2)在图中找出另一条与相等的线段，并说明理由． 21．如图，在中，是的平分线，求的长． 22．如图，在中，，是边上的一点，，，垂足分别为，添加一个条件，使，并说明理由． 解：需添加条件是______． 23．在中，，点D为线段BC上一个动点（不与B、C重合），以为一边向的左侧作，使，，过点E作的平行线，交直线于点F，连接．    (1)如图1，若，判断的形状并说明理由； (2)若，如图2，判断的形状，并说明理由． 24．探究题： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接．填空：①的度数为______（直接写出结论，不用证明）． ②线段、之间的数量关系是______（直接写出结论，不用证明）． (2)拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：在（2）问的条件下，若，，试求四边形的面积．（用，表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据等腰三角形的定义，边分为腰和底两种情况讨论，再根据构成三角形的条件取舍即可解答． 【详解】当是等腰三角形的底边时，则其腰长是(10-2)÷2=4，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是10-2×2=6，不能够组成三角形； 故该等腰三角形的底边长为. 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件等知识点，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，， 故B选项、D选项正确，C选项错误， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查反证法，根据反证法的第一步是假设结论不成立，结论的对立面成立，判断即可． 【详解】解：由题意，应先假设等腰三角形的底角不为锐角； 故选B． 4．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定定理，由等边对等角得出，，再由三角形外角的定义及性质可得，，即可得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形的定义和判定定理判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴是等边三角形，故A选项不符合题意； B．∵， ∴是等边三角形，故B选项不符合题意； C．∵，， ∴是等边三角形，故A选项不符合题意； D．∵，， ∴，不能判断是等边三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 6．B 【分析】首先设，根据等腰三角形的性质可知，．然后根据三角形内角和定理可求解． 【详解】解：设， ， ， 则， ， ， ， ， ， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要是考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键是能够用同一个未知数表示出一个三角形中的三个角，根据三角形的内角和定理列方程求解． 7．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，易证，，由，得出，由证得，得出，，推出，求出，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵为的平分线， ∴，， 作点N关于的对称点，连接交于P，连接，， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 即的最小值为， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 9．20 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 10．3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： ①时， 在中，，符合题意； ②时， 在中，，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段的长为3， 故答案为：3． 11．9 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形的三线合一的性质”．首先由三线合一得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，尺， （尺）， ∴（尺）． 故答案为：9． 12． 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定；根据等角对等边可得，根据题意再添加一组对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 若用“”说明，则还需要加上条件：（或）， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：，是的平分线， ，， ，， ， ， 故答案为：． 15．/36度 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，外角定理，把握折叠的不变性是解题的关键． 由折叠得，，而，则，设，则，在中，由三角形内角和定理得，即可求解． 【详解】解：由折叠得，，∵， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 16．7 【分析】由已知条件，先证明得，可得，．即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∴°． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质．熟练掌握这些知识是正确解答本题的关键． 17．(1)见解析 (2)70度 【分析】（1）要求证：可以先根据角角边定理证明，再根据全等三角形性质得出结论； （2）根据，得，再由三角形内角和求出． 【详解】（1）（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴，    ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，掌握相关定理，灵活运用是解题关键． 18．(1)； (2)． 【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解． 【详解】（1）∵是等边三角形， 是中线， ， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键． 19．，的面积是 【分析】利用等边三角形三线合一，进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，是的高，， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理．熟练掌握等边三角形三线合一，是解题的关键． 20．(1) (2)；见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的判定和三角形的外角性质即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：，理由如下， ， ， ， ， ， ． 21．的长为 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质．由角平分线的定义以及三角形内角和定理可求出，再根据直角三角形的性质可得，根据等角对等边可得，然后利用可求得． 【详解】解：，， ． 是的平分线， ． ，． ． ． 的长为． 22．见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，根据等边对等角，全等三角形的判定与性质进行求解即可，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：需添加的条件是：或或， （）添加， 理由：如图，∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， （）添加， 理由：如图，∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （）添加， 理由：如图，∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．(1)为等边三角形，理由见解析 (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）证明，得到，根据，得到，即可得出结论； （2）证明，得到，根据，得到，即可得出结论． 【详解】（1）为等边三角形，理由如下： ∵，，， ∴和为等边三角形， ∴，，组合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴为等边三角形， （2）是等腰三角形； 理由如下： ∵， ∴， 即：． ∵，， ∴， ∴，又由得： ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴（等角对等边）， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． 24．(1)①；② (2)； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可证，再根据全等三角形的性质，可得，最后根据八字模型导角可证；由，可得； （2）根据等腰直角三角形的性质，可证，再根据全等三角形的性质，可得，根据八字模型导角可证；由，可得，再根据等腰三角形三线合一可证，进而可证； （3）根据全等三角形的性质，可得，，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：①∵和等边三角形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． 故答案为：； ②∵， ∴． 故答案为：； （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰中边上的高， ∴， ∴， ∴， 综上所述：，； （3）由（2）可知，，，， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三线合一，三角形面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $