吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

高三数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据第75百分位数为（  ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 4. 已知向量，的夹角为150°，且，，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ） A. 大于2 B. 小于2 C. 等于2 D. 与2的大小无法确定 6. 已知为正项数列的前项和．若，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 8 D. 16 7. 为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若数列为等差数列，公差为d，其前n项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 使的最小正整数n的值为22 10. 已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 是上的偶函数 D. 函数有6个零点 11. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（ ） A. ， B. 为定值 C. 的最小值50 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则___________（结果用幂表示） 13. 将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________．（结果用分数表示） 14. 若实数，，满足，，试确定，，大小关系是_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知锐角的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，求的周长的取值范围. 16. 已知数列的前n项和为，数列为等差数列，且满足． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知椭圆C两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 18. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 19. 已知函数，当时，恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）若函数，当实数取最小值时，求使得关于x的不等式恒成立的最大整数； （3）已知，证明：. ACBDB BCD 9ACD 10AD 11AC 12 13 14 15【小问1详解】 由已知得，， 则根据正弦定理得， ， 为锐角三角形，． 【小问2详解】 由正弦定理得，即， 则， ， 因为，解得，得， 所以，得． 16 【小问1详解】 解：令， 令，又，所以，即．所以， ，① ．② 两式相减得，， 即是公比为2的等比数列，且， 所以． 【小问2详解】 解：由可得 ，． 累加可得， ， 而 ， ∴. 17 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 18【小问1详解】 因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， 【小问2详解】 （i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 19【小问1详解】 由题设在时恒成立， 等价于在上恒成立， 令，，则， 令，且， 当，即时，，即， 此时在上单调递增，则，满足题意； 当，即时，，对称轴， 所以存在，使，在时，，即， 所以在上单调递减，此时，不满足题意； 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知，所以，则， 令，易知在上单调递增， 由，知，存在使，即， 所以时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增， 则在处取得极小值，， 又，即， 故， 由函数在上单调递增， 故在上单调递减， 所以， 又恒成立，即，故， 所以整数t的最大值为. 【小问3详解】 当时，右边，左边，左边右边，原不等式成立， 下面考虑时的情况， 由（1）知当时，，即在上恒成立， 即， 令，且， 则， 所以， 则，故， 所以， 综上，当时，成立. 学科网（北京）股份有限公司 $