精品解析：甘肃兰州第一中学2025-2026学年下学期开学考试高一数学试题

兰州一中2025-2026-2学期开学考试题 高一数学 命题：李宜蓉 审题：何乃文 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知扇形面积为，半径为1，则此扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在角的终边上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如果函数f(x)＝，满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是（ ） A. (0，2) B. (1，2) C. (1，＋∞) D. 8. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若正数x，y满足，则的最小值是 C. 函数的单调递增区间为 D. 若，则为第一象限角 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个零点为 C. D. 在上单调递增 11. 设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的值为__________． 13. 若函数，则不等式的解集为__． 14. 已知函数的部分图象如图所示，其中，函数在不单调，则a的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合. （1）若，求实数值； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求值． （2）若是第三象限角，且，求值． 17. 武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时． （1）求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式； （2）在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少分钟，求t的最小值． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）求函数单调递增区间； （3）当时，求函数的值域． 19. 定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中点为函数图象的对称中心．已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心． （1）求函数的定义域； （2）求函数图象的对称中心； （3）若当时，函数的值域恰为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2025-2026-2学期开学考试题 高一数学 命题：李宜蓉 审题：何乃文 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求得答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出的解集，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义对四个选项中的两个函数进行比较即可. 【详解】选项A:函数的定义域是，函数的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数； 选项B:函数的定义域是，函数的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数； 选项C: 函数的定义域是,函数的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数； 选项D:函数和的定义域都是全体实数，且，对应关系相同，所以是同一函数，故本题选D. 【点睛】本题考查了同一函数的识别，正确求出函数的定义域、判断对应关系是否相同是解题的关键. 4. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，以及余弦函数性质，借助中间量即可得到结果. 【详解】因为，所以， ， ， 所以. 故选：C 5. 已知扇形面积为，半径为1，则此扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】算出弧长后可求周长. 【详解】设扇形的弧长为，则，故，故此扇形的周长为， 故选：C. 6. 已知点在角的终边上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，先由求出的值（结合象限判断符号），再计算点到原点的距离，最后代入求解. 【详解】已知点在角的终边上，因此：横坐标，纵坐标； 点到原点的距离（，距离恒为正）， 由，结合的定义式，列方程： 对等式两边平方，消去根号和符号： 交叉相乘并整理方程： 由，且，可知角的终边在第四象限，因此纵坐标，故： 将代入，得： 根据的定义式，代入、： 故选：A 7. 如果函数f(x)＝，满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是（ ） A. (0，2) B. (1，2) C. (1，＋∞) D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解. 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立， 所以函数f(x)是R上的增函数， 所以， 解得， 故选：D 8. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及奇函数的性质，作出函数与大致图象，结合函数的图象即可求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得， 由此可在坐标系中画出与的大致图象，如图所示， 由图象可知，当时，， 所以关于的不等式的解集为. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若正数x，y满足，则的最小值是 C. 函数的单调递增区间为 D. 若，则为第一象限角 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由全称量词命题的否定结构即可判断，对于B，由基本不等式乘1法即可判断，对于C，由对数型复合函数的单调性即可判断，对于D，由三角函数各个象限的符号即可判断. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故正确； 对于B，由得， 则， 当且仅当等号成立，错误， 对于C，由可得：， 又当时，单调递减， 同时单调递减， 故函数的单调递增区间为，正确， 对于D，由， 得或， 当此时为第一象限角， 当此时为第三象限角， 综上为第一象限角或第三象限角，错误； 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个零点为 C. D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象求得，然后根据三角函数的最值、单调性、零点等知识确定正确答案. 【详解】由图可得图象最高点纵坐标为，即，故A选项正确； ，， 则函数解析式， 代入点，， 又，所以，故C选项正确； 将代入解析式， 可得，故B选项正确； 由函数的递增区间得： 递增区间满足， 化简得：，取，则， 又，，故在区间上不单调递增，故D选项错误. 故选：ABC 11. 设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先分析分段函数的图像特征，确定与有四个交点时的取值范围，再根据交点横坐标的关系判断各选项. 【详解】作出的函数图像如下， 因为函数有四个零点，所以函数的图像有4个不同的交点，，所以，故A错误； 由图可得关于对称，所以，故B正确； 由图可得且，则有，即，所以，故C正确， 令解得，所以，由，得， 根据对勾函数性质可知在区间上单调递增， 所以，即，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用诱导公式化简求值. 【详解】, 故答案为:. 【点睛】本题考查诱导公式的应用,属于基础题. 13. 若函数，则不等式的解集为__． 【答案】， 【解析】 【分析】先研究函数单调性与奇偶性，再根据函数性质化简不等式，解得结果. 【详解】，则函数是奇函数， 又在定义域上，是增函数， 则不等式等价为， 则， 即， 即不等式的解集为(，)， 故答案为(，) 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性以及利用函数性质化简不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 14. 已知函数的部分图象如图所示，其中，函数在不单调，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合函数图象求出的解析式，再按和分类去绝对值符号化简函数解析式，结合正切函数单调性分析求解. 【详解】由，得函数的最小正周期，解得， 由图象得，且，则，， 当时，，，则， 当时，，，则， 由函数在不单调，得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15 设集合. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a并验证得解. （2）由给定条件，可得，再利用集合的包含关系讨论求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 由，得，则，解得或， 当时，则，满足； 当时，则，满足， 所以或. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，由（1）知； 若，则，无解， 所以实数的取值范围是. 16. （1）已知，求的值． （2）若是第三象限角，且，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及正余弦齐次式法求解. （2）利用诱导公式及平方关系求解. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由是第三象限角，得， 则，而， 于是， 所以. 17. 武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时． （1）求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式； （2）在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少分钟，求t的最小值． 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，由得出所求函数关系式； （2）由得出，由余弦函数的性质得出第一圈满足持续的时间，再解不等式得出t的最小值． 【小问1详解】 如图，以摩天轮最低点的正下方的地面处为原点， 以地平面所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O到地面的距离为68米． 因为每转动一圈需要t分钟，所以． ． 【小问2详解】 依题意，可知，即， 不妨取第一圈，可得，， 持续时间为，即，故t的最小值为25． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）求函数单调递增区间； （3）当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据周期得到，即可得解析式； （2）由整体代换即可求解； （3）根据，结合整体代换法求的值域即可. 【小问1详解】 由题意得，函数的最小正周期，所以， 所以函数， 【小问2详解】 令， 解得， 即函数单调递增区间为 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 即当时， 函数的值域为 19. 定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中点为函数图象的对称中心．已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心． （1）求函数的定义域； （2）求函数图象的对称中心； （3）若当时，函数的值域恰为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质即可确定函数的定义域； （2）根据中心对称函数定义，将代入到中，对都成立，化简后可知， 化简后可求出来； （3）由（1）可知函数的定义域结合，再讨论时，根据函数的单调区间，可求得复合函数的单调区间，当根据函数单调递减，可求得复合函数的单调区间，结合函数值域即可求解. 【小问1详解】 因为， 根据对数函数性质可知，解得或， 所以函数的定义域为． 【小问2详解】 设函数图象的对称中心为，则 所以 ， 对成立，则可知， 则可知上式的分子分母成比例，则可得，解之可得， 代入，故， 所以函数图象的对称中心是点． 【小问3详解】 由（1）知，的定义域为， 因为或， ①若，则，可知函数单调递增， 任取，且，则，即． 则即， 所以当，复合函数在上单调递减， 又当时，的取值范围恰为，所以必有且， 解得（舍去），所以， ②若，则， 又因，所以， 同上可证复合函数上单调递增， 则在上的取值范围应为，而为常数， 所以函数在上的值域不可能恰为，故在这种情况下，无解， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $