精品解析：广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期开学摸底检测数学试题

2025级高一下学期开学摸底检测 数学 （满分：150分 考试时长：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算求解即可； 【详解】由题意可得. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是存在量词命题，即，， 故选：D 3. 函数 的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式可得，定义域满足即可 【详解】由题意，定义域满足. 故选：C 4. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y＝x对称 【答案】C 【解析】 【分析】在函数的图象上任取一点，求出点在对应函数图象上的点，从而得到与关于原点对称，由点的任意性，得到正确答案. 【详解】在函数的图象上任取一点， 可得点在对应函数图象上的点， 与关于原点对称， 由点的任意性，得函数与的图象关于原点对称， 选项C正确. 故选：C. 5. 已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，进而结合零点存在定理，可得函数在区间上有一个零点． 【详解】解：函数在上为增函数， 又（1），（2）， 函数在区间上有一个零点， 故选：． 6. 在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧度制与角度制互化公式，结合弧长公式进行求解即可. 【详解】，因为半径为， 所以的圆心角所对的弧长为， 故选：B 7. 已知，均为锐角，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系，结合两角和差的余弦公式进行转化进行求解即可． 【详解】解：∵α，β均为锐角，若sinα，cosβ， ∴0＜α+β＜π， cosα，sinβ， 则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ， ∵0＜α+β＜π， ∴α+β， 故选：A． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，利用两角和差的三角公式求出余弦值是解决本题的关键．属于基础题． 8. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的图象必过定点 B. C. 已知幂函数的图象经过点，则在上单调递增 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，当时，不论取的任何值，恒成立，从而求出所求函数的定点；选项B，利用换底公式求解；选项C，由的图象经过点求出的值，利用幂函数的图象和性质得到结论；选项D，由在上是单调递减函数得到结论. 【详解】选项A，当时，即，， 则函数的图象必过定点，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，的图象经过点，，， ，，在上单调递增，故选项C正确； 选项D，在上是单调递减函数，，，故选项D错误. 故选：BC. 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦的倍角公式，余弦的倍角公式和正切的倍角公式，以及两角差的正弦公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由，所以A正确； 对于B，由二倍角的余弦公式，可得，所以B错误； 对于C：由正切的倍角公式，可得，所以C错误； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在单调递减 C. 函数的最小正周期为 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦型函数图象的性质，结合正弦型函数的最小正周期公式、单调性、对称性逐一判断即可. 【详解】由函数图象可知：，所以选项A正确； 函数的最小正周期为，所以选项C正确； 因为，所以，即， 因为， 因为，所以令，，即， 当时，，显然不是的子集， 所以函数在上不是单调递减的，因此选项B不正确； 因为为函数的最小值， 所以函数的图象关于直线对称，因此选项D说法正确. 故选：ACD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 终边经过点，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦值的定义，求得正弦值. 【详解】依题意. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查根据角的终边上一点的坐标求正弦值，属于基础题. 13. 化简＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算律及对数运算律计算求值. 【详解】 故答案为： 14. 实数，且，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号） ①；②；③；④；⑤ 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断． 【详解】因为为实数，且， 对于①因为，所以 所以，即，所以①不正确； 对于②当时，结论不成立，所以②不正确； 对于③④因为，所以 因为，所以，即，所以③不正确，④正确； 对于⑤因为，所以，所以⑤正确 故答案为：④⑤． 【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的性质应用中需要注意的是不等式两边同乘以或除以一个数时，需要确定这个正数还是负数． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合，集合 （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算即可. （2）根据集合的包含关系求出参数的范围即可. 【小问1详解】 时，集合，因为集合， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，要使得，则，解得. 综上，实数a的取值范围为. 16. 已知，解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】化简不等式为，若时，求得不等式解集为；若，解得方程的两个根为，，结合根的大小分类讨论，即可求解. 【详解】解：由不等式，可得， ①当时，不等式解集为； 若，方程的两个根为，， ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为； ④当时，不等式的解集为； ⑤当时，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）求函数的定义域，并判断函数的单调性；（单调性不要求证明） （2）如果，求的取值范围； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）定义域为在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令解出即可得其定义域，结合对数函数单调性即可得该函数单调性； （2）结合函数定义域与单调性计算即可得； （3）由该函数单调性可得恒成立，利用根的判别式计算即可得. 【小问1详解】 由，得，所以的定义域为， 又为增函数，故在上单调递增； 【小问2详解】 因为的定义域为，且是增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 因为等价于对任意恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 18. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线右侧的图形的面积为函数． （1）求的解析式； （2）已知时，．若正实数满足，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）结合图象，分类讨论求函数的解析式； （2）由（1）结论，结合基本不等式求最小值． 【小问1详解】 当时，， 当时，； 当时，； 综上所述 【小问2详解】 由（1）知，当时，，或-1（舍去）； 当时，，或3（舍去）； 所以． ， 都是正实数，， 当且仅当，即，时，等号成立， 取最小值，的最小值为． 19. 已知函数， （1）求的最小正周期T及单调递减区间； （2）若，求的值； （3）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时x的值． 【答案】（1），的单调递减区间为 （2） （3） 当时，函数有最大值； 当时，函数有最小值. 【解析】 【分析】（1）根据正弦二倍角公式、降幂公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可； （2）根据诱导公式进行求解即可； （3）根据正弦型函数图象的变换性质，结合正弦型函数最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 . 所以的最小正周期. 由， 所以的单调递减区间为 【小问2详解】 ， 所以. 【小问3详解】 因为的图象向右平移个单位得到的图象， 所以， 当时，， 所以当时，即当时，函数有最大值； 当时，即当时，函数有最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期开学摸底检测 数学 （满分：150分 考试时长：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数 的定义域是（　　） A. B. C. D. 4. 函数与的图象（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y＝x对称 5. 已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 6. 在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，均为锐角，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的图象必过定点 B. C. 已知幂函数的图象经过点，则在上单调递增 D. 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在单调递减 C. 函数的最小正周期为 D. 函数的图象关于直线对称 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 终边经过点，则_____________ 13. 化简＝______． 14. 实数，且，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号） ①；②；③；④；⑤ 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合，集合 （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知，解关于x的不等式. 17. 已知函数. （1）求函数的定义域，并判断函数的单调性；（单调性不要求证明） （2）如果，求的取值范围； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线右侧的图形的面积为函数． （1）求的解析式； （2）已知时，．若正实数满足，求的最小值． 19. 已知函数， （1）求的最小正周期T及单调递减区间； （2）若，求的值； （3）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $