广东省广州市天河区2026届高三上学期综合测试（一）数学试题

2026届天河区普通高中毕业班综合测试（一）数学参考答案 一.单选题 1.C2.B3.A4.C5.D6.D7.B8.D 8.【详解】 连接，设M=mM=n,则N="四 2 因为M+M2=NI+N=2a, 所以3=+号 M 在Rt△NF,中，NE2-N2+ME2, 0 化简得n=2, 则M= 2 4a 3M=3, 在Rt△ME中，FF,2=M2+ME,2, 所以离心率e=c=V5 a 3 二.多选题 9.AD 10.ACD 11.BCD 11.【详解】 令m=a=0,得2[/(o-3/o)+1-0,解得f0)=1或f(0)=月 1 1 11 再取m<0,=0,得f(u)m)f(0fm了0+2， 若(0)-L,则fm-1与条件中“当x<0时，0<f)分”矛后， 所以了O-方A错误 1 11 令=-n,得f0)fm)-0fmf0 +2, 代入f0-号整理得/o侧+f(m=1（） 1) 所以f)的图象关于点0)对称，B正确， 由()式可知，f0+f-=1,因为0<(-)号，所以←0)<1，C正确 下面证明f(x)在R上单调递增. 1 1 1 1 条件于(m+ ）f(m)f(nf(m)f(n) +2可变形为 1 f(m+n) 令g(x)= 1 f(x) 1,则有g(m+n)=g(m)g(n), 因为当x<0时，0<f)号 所以当x<0时，8(x)>1, x,x,∈R,x<x2,则 8()-8(x2)=8(x1-x2+x2)-8(x2)=8(1-x2)g(x2)-8(x2)=g(x2)[8(1-x2)-1]>0, 所以8(x)在R上单调递减， 从而f(x)在R上单调递增， 所以D正确。 综上选BCD 三.填空题 12.5 13.7V3:32 14.【详解】 先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数 第一步：停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选，第二辆红 色汽车在第二行有三个位置可选，由于两辆红色汽车可以互换，故有4×3×2=24种： 第二步：停黑色汽车，分成两种情况：若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列， 则另一辆黑色汽车有3种停法，若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有2种停 法，此时另一辆黑色汽车有2种停法，由于两辆黑色汽车可以互换，故有(3+2×2)×2-14种. 因此，相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24×14种。 则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 24×141 8×7×6×55 四.解答题 15.(1)由V3a=2 csin A及正弦定理得V3sinA=2 sinCsinA2分 因为s血A>0,故smc- 2 3分 因为a2+b2<c2,所以C为钝角， .4分 所以c=2 ..6分 3 (2)依题意，得：SA4Bc= bsinc=ab.15 1 1 24 故cb=15, 。。。 。。。。。。 ..7分 由余弦定理 a2+b2-2abcos 2=49，… 8分 即a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(a+b)2-15=49, .a+b=8, ..11分 .△ABC的周长为a+b+c=8+7=15...... 13分 16.(1)证明：由a1=3a,+2-1得a1+(n+1)=3(an+), 2分 且4+1=3≠0，所以数列{a+心是首项为3，公比为3的等比数列.4分 所以a,+n=3×3m1=3”, 6分 (2)由(1)知数列{a.+n心是首项为3，公比为3的等比数列， 故b,=a+(m-1）2=1(a.+D-(21-1)=n3-(21-1),… .7分 所以S=1×3-1)+(2×32-3)+(3×33-5)++[n-3”-(2-1)] =0×3+2×32+3×3++n3")-[1+3+5++(21-1].8分 设T=1×3+2×32+3×33++n.3” ① 所以3T=1×32+2×33++…+(n-1).3+n.3+ ② ①-②得：-21=3+32+3++3-n.31_3-3”·3 1-3 =-32n13, .11分 22 所以Z=3+(21-1-31 4 12分 又1+3+5++2m-D=1+(21-刃=r, 14分 2 所以3=3+(2n-1)-3 --n2 15分 17.(I)如图，分别在线段BD,CD上取点E,F,使BE=DE,DF=3FC, 连接PE,EF,QF, 因为P,E分别是BM,BD的中点， 所以PE IIDM, 0ig0, 1分 在△CAD中，A2=3QC,DF=3FC,所以OF∥ AD,.2分 所以PE业F,... 3分 所以四边形EFQP为平行四边形， 所以PQ/EF, ..4分 因为AD⊥面BCD,EFC面BCD 所以AD1EF5分 即AD⊥PQ .6分 (2)设AD=a(a>0), 因为三棱锥A-BCM的体积为5，ADL面BCD 2 所以4-Bcn=2V-BaM,且 a12-2sin60=5, -… 2 所以a=3, 8分 取CD的中点O,连接BO,则BO⊥CD 过点O作OZIIAD,则OZ⊥面BCD, 以O为原点，分别以OB,OC,OZ所在直线为x,y,z轴建 立空间直角坐标系， 则B5,00,C0.10),M0,-1) Bc=V3,Lo),Mc=(0,2- 21 .10分 设平面BCM的法向量为m=(x,y,z), m.BC=0 -V3x+y=0 所以 3 :MC=0 2y-。=0 2 所以平面BCM的一个法向量为m=(V3,3,4), 12分 因为平面ACD的法向量为n=(1,0,0),13分 设平面BCM与平面ACD的夹角为B, m 5√21 cos =cos(m,n) 2√7-14， 所以平面BCM与平面ACD的夹角的余弦值为] 14 .15分 18.(1)由题可知，X的所有可能取值为：1,2,3..1分 所以Px=D=CCC_1 CC月4’2分 Px-2-ci.citc.cic_1 .3分 Ca.C 1 P(X=3)= C2.C2 1 CC4’4分 故X的分布列为 5分 所以数学期里B(0=1x+2×3×-2. 4 2 。。。。。。。。。 ..7分 4 (2)设强化训练后，规定作品入选的概率为P,创意作品入选的概率为P2, 3.2.14 则B+P,4+423 8分 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为： P=C2h(1-)p2+p12p2+p21-p2) =2a0-a:+a=2A-nXg)+B =2n-号a+号n 8 10分 31 A-专且A子好电即 4 2故可得： 3 .12分 设f0=2x+8尼≤≤2 3 ≤x≤)， 34 6 f)=6r22x+8=60k-5+23>0. 33 1854 所以f)在 35 4'6 上单调递增， x+8x3- 15分 366 ,该同学在7轮比赛中获得“巧手奖的次数X~B(7,P), 535 .E(=7P≤7×2= <6, 66 故预测该同学不能进入决赛. .17分 a(x+2)2-41+a)-x2-41-a) 9D四14x+2y (1+ax)0c+2 （1+ax)(x+22’ 分 因为1+m)(x+2)2>0, 所以当1-a≤0时，即a≥1时，f'(x)≥0恒成立，则函数f(x)在(0，+o)单调递增： 2分 当a<1时，由f'(x)=0,得ax2-4(1-a)=0, 解得x=-21- 2x2= va1-a） .3分 a 2Ja(1-a 因为x>0,所以函数∫(x)在区间 2Ja(1-a) 0, 单调递减， 在 00 单调递增. a .4分 (2)函数f(x)的定义域为 .5分 由（1)，a≥1时，函数f(x)在(0，+0)单调递增，没有两个极值点：.6分 当0<a1时，令f)-0,解得5-2a0-0,飞-21-可 可- 外.4可-月kmg可 a 此时，-2-四.-20-可为函数)的两个极值点。 7分 代入f(x)+f(2)>0,可得 f0+=l1+2a0-a]n-20a-2a2后2a-2G 4W1-a -4w1-a --n-小 h0-a+2 -2 …8分 令2a-1=1,记g)=h2+2-2, 9分 当a》时，eeo:当a-时，eo. 0当1e(10)时，80=2n(-0+22,gg=22-29<0, 所以函数8t在(-1,0)上单调递减， 则g(t)<g(-1)=-4<0,即(x)+f(x2)<0,不符合题意： .10分 （当e(01)时，8)=2+子2.80)=222<0. Γtt2 12 所以函数8t在0,1上单调递减，则g(t)>g(1)=0,即f(x)+f(x2)>0恒成立 综上a的取值范国为仔 ..12分 (3)由(1)，当a=1时，函数f(x)在(0，+n)单调递增， 又f0=0,所以0*小≥0 .13分 2(Vn+1-Vn) 2(n+1- 因为 2 n+i+列(（n+i+vn(n+i-m) Vn+l+√n n+1 取x=n -1,nEN*, 则 2*11+2 <()-wn. 2 即(n+i+m 4a-小-网】 16分 2 2 2 所以(2+1(3+2可 (n+i+ <n2-lnl+ln3-h2+…+h(n+-川]=nn+l0=lnva+l. 故得证. 17分2026届天河区普通高中毕业班综合测试（一) 数学 本试卷满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和 考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.若复数z满足i·z=3-4i,则z A.3 B.4 C.5 D.7 2.已知集合A={L,3,Vm,B={1,m,且BcA,则m的值为 A.0或V5 B.0或3 C.1或V5 D.1或3 3.把函数)=m2x的图象向左平移胥后得到函数y=f)的图象，则y=f()的单调区间为 A.+2x+2kez B.〔行+4，于kje c.（+2+2 ttcZ D.（行+4+4∈ 4.已知函数f(x)= 2a,X2若因)存在最小值，则实数a的取值范围园 x2,x22 A.（-0,-4) B.（-4,+0） C.(-0,-4 D.[-4,+0) 高中毕业班综合测试（一）数学第1页（共5页） 5.已知cosa+BP)eosy-o(B+)-号，则(B+)sin(a+B)sin7 B.-3 4 D.-4 5 6.若直线y=x+a与曲线y=eb相切，则 A.a+b=-1 B.a+b=1 C.a-b=-1 D.a-b=1 7.在三棱锥P-ABC中，若PA⊥PB,∠APC=∠BPC=6O°，则直线PC与平面PAB所成角 的正弦值是 A B.② 2 C.3 3 D.6 3 8,已知椭圆+1@>b>0)的两个焦点为R,,过F作百直线交椭圆于M,N,若 ME⊥MF,且ME=2FN,则椭圆的离心率为 A. 3 B.3 2 C. D. 3 3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中，正确的是 A.方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 B.数据3,4,5,6,7,8,9,10的第75百分位数为8 C.若一组样本数据的样本点都在直线y=0.98x+3上，则这组数据的相关系数r为0.98 D.若随机变量X~N(5o),且P(X≥3)=4P(X≥7)，则P3<X<5)= 10 高中毕业班综合测试（一）数学第2页（共5页） 10.已知圆C:(x-4)2+(y-5)2=12,直线l:mx-y-2m+3=0,直线1与圆C交于M,N两 点，则 A.直线I过定点 B.MW的最小值为2 C.CM.CN的取值范围为[-12,4] D.当圆C上恰有三个点到直线l的距离等于√5时，m=4士√5 11.已知函数f()定义域为R,当x<0时，0<f()<行，且对任意实数m,n均有 1 1 1 +2,则 f(m+n)f(m)f(n)f(m)f(n A.f(0)=1 B.f(的图象关于点0,2对称 C.f)I D.f(x)是单调函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.己知a=(log2x,1),b=①og,5,-1),且a,b共线，则x= 13.已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4， 则圆台的体积与球体积之比为 14.如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则 相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 通道 高中毕业班综合测试（一）数学第3页（共5页) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3a=2 csin A,a2+b2<c2 (1)求角C的大小： (2)若c=7,且△MBC的面积为155，求△MBC的周长」 16。(15分) 己知数列{an}的首项a1=2,且满足ant1=3a,+2n-1(n∈N*). (1)证明：数列{an+n}为等比数列； (2)若bn=nan+(n-l)(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn: 17。(15分) 在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD,M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在棱AC 上，且AQ=3QC (1)求证：AD⊥PQ; (2)若△BCD是边长为2的等边三角形，且三校锥A-BCM的体积为5， 求平面BCM 2 与平面ACD夹角的余弦值. 高中毕业班综合测试（一）数学第4页（共5页) 18.(17分) 为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行7轮比赛，每轮比赛结 果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品2幅和创意作 品1幅，若有不少于2幅作品入选，将获得“巧手奖”，7轮比赛中，至少获得6次“巧手奖” 的同学将进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创 意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准. (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品2幅和创意作品1幅，记抽出的3幅作品 中符合入选标准的幅数为X,求X的分布列和数学期望； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率，经指导老 师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共增加了2，以获 得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛。 19。(17分) 已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+a四)-2x x+2 (1)讨论f(x)在区间(0，+o)上的单调性； (2)若f(x)存在两个极值点x,x,且f(x)+f(x2)>0,求a的取值范围 2 2 2 (3)设neN*,证明：(2+1(3+2(n+1+ ,<ln√n+1 高中毕业班综合测试（一）数学第5页（共5页)