21.2.3三角形的中位线(四大题型)2025-2026学年人教八年级数学下册

专题：三角形的中位线（四大题型） 1．如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，取的中点E，连接，根据三角形中位线定理得到，，得到，设，，得到，，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，， 由勾股定理得：，即， ∴， 在中，， 则， 故选：B． 2．如图，在中，为的中点，为上一点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，则的长为（   ） A．5 B．8 C．16 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 先根据为中点判定是的中位线，得到与的数量关系，再结合是中点，推导的长度． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中位线。 ∴ ∵ ∴ ∵为的中点， ∴ 故选：C． 3．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（   ） A．20 B．17 C．16 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边．根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中位线的性质，平移的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．由中位线的性质可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵M是边的中点，P是边的中点， ∴是的中位线 ∴，， 故选：B 5．如图，在中，，是它的角平分线，是边上的中线，过点作于，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，证明，求得，，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是它的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 6．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等边对等角，根据题意，易得分别为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵是对角线的中点，、分别是、的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 7．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 8．如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 9．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 10．如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，点F分别是，中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质和中位线定理，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据线段之间的关系，求出，再根据平行四边形的性质，求出，最后利用中位线定理即可求解． 【详解】解： ，， ，则， 平行四边形， ， 点E，点F分别是，中点，即是的中位线， ． 故答案为：． 11．如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵， ∴． ∵， ∴. 12．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理与定义，平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握以上概念．本题先利用中位线的定义与性质得到，再得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：连接， 点分别为的中点，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 13．已知：如图，在四边形中，分别是的中点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）连接并延长交于点，先证明，然后得到是的中位线，即可证明； （2）根据是的中位线得到，再由得到，再等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：由（1）知是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点． 求证： 四边形 是一个平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理证，，再根据平行四边形的定义判定即可． 【详解】证明：分别是的中点， ，且（三角形中位线定理）， 同理，可得，且， 且， 四边形是一个平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 15．如下图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点．求证：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由三角形中位线定理进一步证明平行四边形是解决问题的关键． 根据三角形中位线定理可得，，，，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，． 【详解】证明：，是的中线， ，分别是，的中点， ，． ∵点，分别为，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ，． 16．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． 17．如图，已知：在 中，、、 分别是边 、、 上的中线，并交于点 ．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，如图，取的中点，连接，利用三角形中位线的性质证明四边形是平行四边形，推出，结合，即可得出结论． 【详解】证明：如图，取的中点，连接， ∵、分别是边 、上的中线，即点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 18．如图，在四边形中，分别是的中点，，垂足为．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵， ∴． ∵， ∴. 19．如图，在四边形中，，点E，点F分别为，的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、中位线的判定和性质和平行线的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 连接并延长，交的延长线于点，根据平行线的性质和中点可得，，，进而证明，进而可得是的中位线，进而即可证明． 【详解】解：如图，连接并延长，交的延长线于点． ∵， ∴，， 又∵是的中点， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴是的中点， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线． ∴， ∵，且， ∴， ∴． 20．如下图，在中，，，为等腰直角三角形，，为的中点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理，掌握通过延长线段构造全等三角形和中位线，利用全等得到线段相等，再用中位线定理证明线段倍分关系是解题的关键． 通过延长构造全等三角形，证明得到，再利用三角形中位线定理证明与的关系，从而得出与的数量关系． 【详解】证明：如图，延长到点，使，连接，． 为等腰直角三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． 为的中点，， 为的中位线， ， ． 21．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 22．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得 ，则，两点的距离为 ． 【答案】36 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 23．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为 ． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 24．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 25．如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 【答案】160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 26．如图，两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点，并步测出的长，由此他就知道了间的距离．小明在解决上述问题中，主要用到的数学知识是 （    ） A．勾股定理 B．勾股定理逆定理 C．三角形中位线定理 D．线段垂直平分线的性质定理 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．结合题意，利用三角形中位线定理分析即可． 【详解】解：的中点为， 是的中位线， ， 主要用到的数学知识是三角形中位线定理， 故选：C 27．【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 28．某社区公园计划将如图所示的花坛分成两个区域，用于种植不同的观赏花卉，园艺师分别找到边，的中点，，沿将三角形花坛分为区域①和区域②．已知花坛的边长为10米，则两区域的分界线的长度为（　　） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中位线性质的应用，根据三角形的中位线性质得到求解即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，又米， ∴（米）， 故选：A． 29．如图，施工队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若，则两地之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 分别是的中点，， 为三角形的中位线， ． 故选：B． 30．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 31．在下列由边长为1的小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺完成下列画图．与网格线交于点，在上画点，使得． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图、中位线定理以及等腰三角形的性质，观察图形可知，，作交于点，由于等腰三角形三线合一，则，连接，根据三角形中位线定理得，则此时点即为所求． 【详解】解：如图所示， 32．如图，在中，，，分别以点C，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P、Q，作直线交、于点M、N，连接，则 ． 【答案】 【分析】由作法得垂直平分，则，，所以为的中位线，，根据勾股定理求出的长． 本题考查的是垂直平分线的尺规作图，解题的关键是根据题意推断线段之间的关系． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 33．如图，沿直线折叠 ，使得点A与点B重合． (1)请利用无刻度的直尺和圆规作出折痕，使得折痕交于点D，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在（1）的条件下，若E是中点，判断形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形． 【分析】本题考查了作线段垂直平分线，直角三角形的判定，三角形中位线定理； （1）根据题意作的垂直平分线，即可求解； （2）证明是的中位线，得到，求得，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：是直角三角形， 理由：由折叠得：是的垂直平分线， ∴，， ∵E是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 34．如图，中，为边上的中线，为的中点，请利用尺规在上确定一点，使直线不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，线段垂直平分线的尺规作图，作出线段的中点F，点F即为所求． 【详解】解：如图所示，作出线段的中点F，点F即为所求； 证明是的中位线， 则，即．    35．如图，在中，，分别是，的中点．    (1)实践与操作：利用尺规作，点在点的左侧，延长交于点；要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母 (2)猜想与证明：在（1）中所作图的基础上，猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法，作出图即可得到答案； （2）根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理进行证明即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ， 以为圆心，适当长为半径作弧交于，以点为圆心，以同样的长为半径画弧交于，以为圆心为半径，与后画的弧交于点，作射线，延长交于； （2）解：四边形为平行四边形， 理由如下： ，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，尺规作图—复杂作图，熟练掌握平行四边形的判定，三角形中位线的性质，以及简单作图的相关性质，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：三角形的中位线（四大题型） 三角形的中位线是初中几何的重要知识点，解题时需灵活运用其性质：平行于第三边且等于第三边的一半。以下是一些常见做题技巧： 1. 识别或构造中点，连接成中位线 当题目中出现两边中点时，立即连接这两点，得到中位线。 若只有一边中点，可考虑取另一边中点构造中位线，或利用其他中点（如中线交点）转化。 2. 利用中位线性质得到平行关系 中位线平行于第三边，可用于证明两直线平行，或结合平行线性质求角。 3. 利用中位线长度关系 中位线等于第三边的一半，可求线段长度，或通过已知长度反推第三边。 在多条中位线共存时，常形成“中点三角形”，其周长等于原三角形周长的一半，面积等于原三角形面积的四分之一。 4. 与三角形中线结合 注意区分中线（顶点到对边中点）和中位线。当出现多条中点时，可考虑中位线与中线相互转化，例如中线被中位线平分等性质。 5. 在复杂图形中转移线段或角度 中位线常作为桥梁，将分散的线段或角集中到同一个三角形中，便于利用全等或勾股定理。 6. 构造中位线解决“中点”问题 当题目中出现多个中点时，尝试连接这些中点，往往能构造出中位线或平行四边形，从而简化问题。 7. 注意中点不直接相连的情况 有时中点不在同一边上，但可通过作辅助线（如延长线）构造出中位线，或利用三角形中位线定理的逆定理（过一边中点且平行于第三边的直线必平分另一边）。 题型一、与三角形的中位线有关的计算 1．如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，在中，为的中点，为上一点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，则的长为（   ） A．5 B．8 C．16 D．2 3．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（   ） A．20 B．17 C．16 D．14 4．如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是它的角平分线，是边上的中线，过点作于，若，，则 ． 6．如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，，，求的度数 ． 7．如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 8．如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则 ． 9．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 10．如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，点F分别是，中点，若，则的长为 ． 题型二、与三角形的中位线有关的证明 11．如图，在四边形中，，，分别是，，的中点，，，垂足为．求证：． 12．如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 13．已知：如图，在四边形中，分别是的中点．求证： (1)； (2)． 14．如图，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点． 求证： 四边形 是一个平行四边形． 15．如下图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点．求证：，． 16．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 17．如图，已知：在 中，、、 分别是边 、、 上的中线，并交于点 ．求证： ． 18．如图，在四边形中，分别是的中点，，垂足为．求证：． 19．如图，在四边形中，，点E，点F分别为，的中点，连接．求证：． 20．如下图，在中，，，为等腰直角三角形，，为的中点，连接，．求证：． 题型三、三角形的中位线的实际应用 21．如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 22．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，并分别找出它们的中点、，若测得 ，则，两点的距离为 ． 23．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为 ． 24．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 25．如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 26．如图，两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点，并步测出的长，由此他就知道了间的距离．小明在解决上述问题中，主要用到的数学知识是 （    ） A．勾股定理 B．勾股定理逆定理 C．三角形中位线定理 D．线段垂直平分线的性质定理 27．【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 28．某社区公园计划将如图所示的花坛分成两个区域，用于种植不同的观赏花卉，园艺师分别找到边，的中点，，沿将三角形花坛分为区域①和区域②．已知花坛的边长为10米，则两区域的分界线的长度为（　　） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 29．如图，施工队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若，则两地之间的距离为（　　） A． B． C． D． 30．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 题型四、三角形的中位线有关作图 31．在下列由边长为1的小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺完成下列画图．与网格线交于点，在上画点，使得． 32．如图，在中，，，分别以点C，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P、Q，作直线交、于点M、N，连接，则 ． 33．如图，沿直线折叠 ，使得点A与点B重合． (1)请利用无刻度的直尺和圆规作出折痕，使得折痕交于点D，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在（1）的条件下，若E是中点，判断形状并说明理由． 34．如图，中，为边上的中线，为的中点，请利用尺规在上确定一点，使直线不写作法，保留作图痕迹）．    35．如图，在中，，分别是，的中点．    (1)实践与操作：利用尺规作，点在点的左侧，延长交于点；要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母 (2)猜想与证明：在（1）中所作图的基础上，猜想四边形的形状，并加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《专题：三角形的中位线（四大题型）》参考答案 题号 1 2 3 4 7 9 21 24 26 28 答案 B C C B B B D C C A 题号 29 答案 B 1．B 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，取的中点E，连接，根据三角形中位线定理得到，，得到，设，，得到，，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，， 由勾股定理得：，即， ∴， 在中，， 则， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 先根据为中点判定是的中位线，得到与的数量关系，再结合是中点，推导的长度． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中位线。 ∴ ∵ ∴ ∵为的中点， ∴ 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边．根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查中位线的性质，平移的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．由中位线的性质可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵M是边的中点，P是边的中点， ∴是的中位线 ∴，， 故选：B 5． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，证明，求得，，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是它的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 6． 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等边对等角，根据题意，易得分别为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵是对角线的中点，、分别是、的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 7．B 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 8．3 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 9．B 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 10． 【分析】本题考查平行四边形的性质和中位线定理，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据线段之间的关系，求出，再根据平行四边形的性质，求出，最后利用中位线定理即可求解． 【详解】解： ，， ，则， 平行四边形， ， 点E，点F分别是，中点，即是的中位线， ． 故答案为：． 11．见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵， ∴． ∵， ∴. 12．见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理与定义，平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握以上概念．本题先利用中位线的定义与性质得到，再得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：连接， 点分别为的中点，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 13．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）连接并延长交于点，先证明，然后得到是的中位线，即可证明； （2）根据是的中位线得到，再由得到，再等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：由（1）知是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．见解析 【分析】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理证，，再根据平行四边形的定义判定即可． 【详解】证明：分别是的中点， ，且（三角形中位线定理）， 同理，可得，且， 且， 四边形是一个平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 15．见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由三角形中位线定理进一步证明平行四边形是解决问题的关键． 根据三角形中位线定理可得，，，，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，． 【详解】证明：，是的中线， ，分别是，的中点， ，． ∵点，分别为，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ，． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． 17．见解析 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，如图，取的中点，连接，利用三角形中位线的性质证明四边形是平行四边形，推出，结合，即可得出结论． 【详解】证明：如图，取的中点，连接， ∵、分别是边 、上的中线，即点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 18．证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵， ∴． ∵， ∴. 19．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、中位线的判定和性质和平行线的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 连接并延长，交的延长线于点，根据平行线的性质和中点可得，，，进而证明，进而可得是的中位线，进而即可证明． 【详解】解：如图，连接并延长，交的延长线于点． ∵， ∴，， 又∵是的中点， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴是的中点， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线． ∴， ∵，且， ∴， ∴． 20．见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理，掌握通过延长线段构造全等三角形和中位线，利用全等得到线段相等，再用中位线定理证明线段倍分关系是解题的关键． 通过延长构造全等三角形，证明得到，再利用三角形中位线定理证明与的关系，从而得出与的数量关系． 【详解】证明：如图，延长到点，使，连接，． 为等腰直角三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． 为的中点，， 为的中位线， ， ． 21．D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 22．36 【分析】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半是解题关键； 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可解答． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，两点的距离为， 故答案为：． 23．100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 24．C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 25．160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 26．C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．结合题意，利用三角形中位线定理分析即可． 【详解】解：的中点为， 是的中位线， ， 主要用到的数学知识是三角形中位线定理， 故选：C 27．(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 28．A 【分析】本题考查三角形的中位线性质的应用，根据三角形的中位线性质得到求解即可． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，又米， ∴（米）， 故选：A． 29．B 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 分别是的中点，， 为三角形的中位线， ． 故选：B． 30．(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 31．详见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图、中位线定理以及等腰三角形的性质，观察图形可知，，作交于点，由于等腰三角形三线合一，则，连接，根据三角形中位线定理得，则此时点即为所求． 【详解】解：如图所示， 32． 【分析】由作法得垂直平分，则，，所以为的中位线，，根据勾股定理求出的长． 本题考查的是垂直平分线的尺规作图，解题的关键是根据题意推断线段之间的关系． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 33．(1)见解析 (2)是直角三角形． 【分析】本题考查了作线段垂直平分线，直角三角形的判定，三角形中位线定理； （1）根据题意作的垂直平分线，即可求解； （2）证明是的中位线，得到，求得，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：是直角三角形， 理由：由折叠得：是的垂直平分线， ∴，， ∵E是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 34．见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，线段垂直平分线的尺规作图，作出线段的中点F，点F即为所求． 【详解】解：如图所示，作出线段的中点F，点F即为所求； 证明是的中位线， 则，即．    35．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法，作出图即可得到答案； （2）根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定定理进行证明即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，为所作；   ， 以为圆心，适当长为半径作弧交于，以点为圆心，以同样的长为半径画弧交于，以为圆心为半径，与后画的弧交于点，作射线，延长交于； （2）解：四边形为平行四边形， 理由如下： ，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，尺规作图—复杂作图，熟练掌握平行四边形的判定，三角形中位线的性质，以及简单作图的相关性质，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $