精品解析：新疆多校2025-2026学年高二上学期1月期末联考数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册到选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 若数列的前项和，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在四面体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，则（ ） A B. C. D. 8. 已知直线：与圆：交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，：，：，则（ ） A. 与的实轴长相等 B. 与的焦点相同 C. 与的离心率相等 D. 与的焦距相等 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 公差 C. 是中的最大值 D. 11. 已知曲线：，点，，，，，，为上关于轴对称两点，则（ ） A. 由两个离心率相等的椭圆组成 B. 经过点直线与有4个公共点 C. 存在四个点，使得 D. 当为正三角形时，点到直线MN的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个乒乓球从120cm高处自由落下，每次触地后弹起的高度都是前一次高度的一半，则该乒乓球第3次触地后弹起的高度为______cm． 13. 若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则数列的前项和______． 14. 在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知椭圆的离心率是是椭圆的一个焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，是线段的中点，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，，分别为的中点． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知数列满足，且． （1）若，求； （2）求的通项公式（用和表示）； （3）设的前项和为，若，求（用和表示）． 19. 已知抛物线：的准线方程为. （1）求方程. （2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册到选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一般式直线方程判断平行的方法求出答案. 【详解】由题意得，解得， 直线可化为， 此时，直线与直线不重合， 所以. 故选：A. 2. 若数列的前项和，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】应用计算求解. 【详解】数列的前项和，则. 故选：C. 3. 若抛物线：上的点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线的焦点和准线，再利用抛物线的定义求解． 【详解】 抛物线， 焦点为，准线为， 设点，由抛物线的定义可得， ， ，解得，故B正确． 故选：B． 4. 若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举例即可说明，充分性以及必要性均不成立，即可得出答案. 【详解】充分性：在等比数列中，设首项为，由， 取，此时等比数列的通项公式为： ， 随着的逐渐增大，增大， 则等比数列是递增数列，不是递减数列，故充分性不成立， 必要性：取首项， 则等比数列的通项公式为： ， 从而得出数列是递减数列，但是，所以必要性不成立， 故“”是“是递减数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 在四面体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可． 【详解】如图所示， 因为是CD的中点，所以，也即， 因此． 故选：B． 6. 设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和三角形中位线定理进行求解即可. 【详解】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养. 依题意得. 因为， 所以，故. 故选：C 7. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解. 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 则，所以+148. 故答案为：A 8. 已知直线：与圆：交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线方程确定经过，进而可得圆心到直线的距离的最大值为，从而可得弦的最小值. 【详解】因为直线：，变形为， 令，解得，所以直线经过定点，且该点在圆内.如图： 过原点O作，所以. 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，：，：，则（ ） A. 与的实轴长相等 B. 与的焦点相同 C. 与的离心率相等 D. 与的焦距相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各双曲线方程写出对应双曲线的参数，进而依次判断各项的正误. 【详解】对于，对应参数分别为，实轴长为4，焦点为，离心率为，焦距为， 对于，对应参数分别为，实轴长为4，焦点为，离心率为，焦距为， 对于，对应参数分别为，实轴长为，焦点为，离心率为，焦距为， 所以与的实轴长、离心率相等，与的焦点不同，与的焦距相等. 故选：ACD 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 公差 C. 是中的最大值 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AD，由结合等差数列下标和性质可判断选项正误；对于B，由可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于AD：，故A错误，D正确； 对于B：, 由A分析，.则，故B正确； 对于C：由以上分析，，因， 则， 结合，可知数列前5项为正数，从第6项开始为负数，则是中的最大值，故C错误. 故选：BD 11. 已知曲线：，点，，，，，，为上关于轴对称的两点，则（ ） A. 由两个离心率相等的椭圆组成 B. 经过点的直线与有4个公共点 C. 存在四个点，使得 D. 当为正三角形时，点到直线MN的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据乘法的性质，结合椭圆的定义、离心率公式、一元二次方程根的判别式、数形结合思想逐一判断即可. 【详解】由，得或， 所以由椭圆与椭圆组成， ，是的两个焦点，，是的两个焦点， 由图可知，与有4个交点，所以存在四个点， 使得，且，故C正确； 与的离心率均为，故A正确； 当直线经过点时，即， 代入，得， 因为，所以直线与相切， 且切点不在上，易知直线与相交， 所以经过点的直线与有3个公共点，故B错误. 不妨设在的左边，当为正三角形时，直线DM的倾斜角为， 则直线DM的方程为，由图可知，当在的下半部分时，的周长最大， 将代入，得，解得， 所以点到直线MN的距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个乒乓球从120cm高处自由落下，每次触地后弹起的高度都是前一次高度的一半，则该乒乓球第3次触地后弹起的高度为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】运用等比数列的递推模型，每次高度均为前一次的一半，只需依次进行三次乘法运算，即可得到第三次触地后的弹起高度. 【详解】乒乓球每次触地后弹起的高度是前一次高度的一半： 第一次触地后弹起高度：， 第二次触地后弹起高度：， 第三次触地后弹起高度：， 故第三次触地后弹起的高度为. 故答案为： 13. 若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则数列的前项和______． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求出通项公式，再利用等差数列前和公式求解. 【详解】由双曲线性质得双曲线的渐近线方程为， 依点到直线的距离公式得， 而数列是等差数列，故. 故答案为： 14. 在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法得出距离表达式，并根据二次函数性质即可求出距离最小值. 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，在平面内过并垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 因为，所以，，，， 所以，，. 设，则， 故点到直线距离. 当时，等号成立； 因此点到直线的距离的最小值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量计算可得公差，即可求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由可得，故， 则， 【小问2详解】 ， 故 16. 已知椭圆的离心率是是椭圆的一个焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，是线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，得到椭圆的标准方程， （2）当直线的斜率不存在时，不符合题意，当直线的斜率存在时，弦中点可利用点差法直接求出直线的斜率，再结合点代入得到直线方程， 【小问1详解】 由题可知，，， ，所以椭圆的标准方程为， 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，是线段的中点， ， ，两式相减， ， ， 故直线方程为： 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，，分别为的中点． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用向量法证明即可； （2）在（1）建立的空间直角坐标系中，求出平面与平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 因为底面是正方形，且侧棱底面， 所以两两互相垂直， 故以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 因为，是正方形，分别为的中点， 所以， 又分别为的中点，所以， 所以， 由， 则，所以. 【小问2详解】 因为底面，底面， 所以， 在正方形中，， 由，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，且， 设平面的一个法向量为：，又， 由， 令，则，所以， 设平面与平面的夹角为， 所以 ， 由图可知平面与平面的夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18 已知数列满足，且． （1）若，求； （2）求的通项公式（用和表示）； （3）设的前项和为，若，求（用和表示）． 【答案】（1） （2） （3）（） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算即可； （2）分为奇数和偶数，结合累乘法进行分析得出表达式； （3）分为奇数和偶数，利用分组求和与等比数列前项和公式求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以当时，， . 【小问2详解】 当为奇数时，， 因为，所以， 又，所以当为奇数时，， 当为偶数时，， 因为，所以， 又，所以当为偶数时，， 综上所述：. 【小问3详解】 当为奇数时， ， 其中是以首项为， 公比为的等比数列的前项的和， 是以首项为， 公比为的等比数列的前项的和， 所以， 当为偶数时， ， 其中是以首项为， 公比为的等比数列的前项的和， 是以首项为， 公比为的等比数列的前项的和， 所以， 所以，其中. 19. 已知抛物线：的准线方程为. （1）求的方程. （2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线标准方程求解即可； （2）（ⅰ）直线与抛物线有两个交点，利用判别式求解即可；（ⅱ）表示，利用的取值范围求解即可；（ⅲ）利用设点和韦达定理，可求解的中点坐标的关系，即可证明. 【小问1详解】 根据题意可知准线方程为，即的准线方程为， 所以，即， 所以， 则抛物线的方程为：； 【小问2详解】 （ⅰ）依题意得直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当时，代入， 得， 则且，解得且， 所以的取值范围是； （ⅱ）设，，根据（ⅰ），利用韦达定理可得： ，， 所以， 代入可得：； 若，即，则， 所以 ， 即的取值范围是； （ⅲ） 因为直线OB的方程为， 所以点的坐标为， 设线段AD的中点为，则，， 则 ， 所以点在直线上，故线段AD的中点在一条定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $