精品解析：安徽阜阳市临泉县2025-2026学年上学期期末检测九年级数学试卷

2025/2026（上）九年级数学期末检测试卷 温馨提示：试卷满分150分，考试时间为120分钟． 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，正比例函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．根据一次函数以及二次函数的增减性即可进行解答． 【详解】A：为一次函数，斜率，故当增大时，始终增大，不符合条件． B：是开口向下的抛物线，顶点在原点．当时，函数在对称轴左侧随增大而递增，不符合条件． C：开口向下，顶点为．当时，函数同样随增大而递增，不符合条件． D：是开口向上的抛物线，顶点为．当时，函数在对称轴左侧随增大而递减，符合条件． 故选：D． 2. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 3. 在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 4. 已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得， 该函数的对称轴是直线，有最大值， 抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，， 抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意； 和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意； 方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 5. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为得到，据此求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点（）， ∴， ∵长为， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 10. 如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 二、细心填一填（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 【答案】16000 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 12. 请写出一个二次函数的解析式，使其图象的开口向下，且对称轴为直线．这个函数解析式可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数的对称轴是直线；当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；二次函数与轴交于点．由题意可知：写出的函数解析式满足，，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数的解析式为． 图象的开口向下， ，可取， 对称轴是直线， ，得， 可取任意数， 函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，点，，在上，，则______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 14. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，在正方形中，，在正方形中，，，从而判定是等腰直角三角形，得到，数形结合表示出计算即可得到答案； （2）先根据等腰直角三角形性质得到、，进而判定，再由相似三角形的性质得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）在正方形中，， 在以为对角线作正方形，，，则是等腰直角三角形， ， 则； （2）在等腰中，；在等腰中，； 则， ，， ， 则， ，即， 解得． 【点睛】熟记等腰直角三角形的判定与性质，结合图形找准判定两个三角形相似的方法是解决问题的关键．尤其是第二问中，借助等腰直角三角形边的关系得到是判定两个三角形相似的核心． 三、耐心做一做（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 二次函数图象如图所示，抛物线顶点为，与y轴、x轴分别交于点B和点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题成为解题的关键． （1）设顶点式，然后把C点坐标代入求出a即可； （2）先通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：解方程得，， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，x的取值范围为． 16. 如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】 相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【解析】 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】略 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点中心对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求的面积． 【答案】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）将的三个顶点，，关于原点对称得到，，，连接这三个点即可得到； （2）将的顶点，绕点逆时针旋转后得到，，，连接这三个点即可得到； （3）在网格中，作出包含的正方形，如图所示，用正方形的面积减掉周边三个直角三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示： 的面积为． 18. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）， （2）10 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 20. 如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 由题意，为的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，掌握切线的性质，锐角三角函数的定义是解题的关键： （1）连接，易得，平行线的性质，结合等边对等角，得到，即可； （2）解，求出的长，进而得到的长，再解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 七、（本题满分12分） 22. 综合与探究 如图，在中，，于点D，E为的中点，连接并延长，交于点F，且，过点F作于点H． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， 在和中，， ． （2） 证明：∵点为的中点， ， ， ， 设， 则， ， ， 又 ∵， ， 即； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质等知识，利用设参数表示线段的长是解题的关键． （1）由，得，且，即可证明结论； （2）由，得，设，则，再表示出和的长，利用平行线分线段成比例即可； （3）由，可得的长，而，再利用，得，由（2）知，设，则，从而解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，设，则， ， 解得：或（舍去）， ． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． （2）设点，，，是该函数图象上的两点，若，求证：． 【答案】（1）①；② （2）证明：， ， ，是二次函数图象上两点， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数图像的性质，配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①直接将代入求得即可解得； ②先根据平移表示出、两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答； （2）由可得，则有，然后运用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：①函数图象经过点， ， ， 该二次函数的表达式为； ②由题意可知，， 、是二次函数图象上的点， 、关于对称轴直线对称， ， 解得：， ， 把代入，得； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026（上）九年级数学期末检测试卷 温馨提示：试卷满分150分，考试时间为120分钟． 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 4. 已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在3与4之间 5. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、细心填一填（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 12. 请写出一个二次函数的解析式，使其图象的开口向下，且对称轴为直线．这个函数解析式可以是___________． 13. 如图，点，，在上，，则______． 14. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 三、耐心做一做（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 二次函数图象如图所示，抛物线顶点为，与y轴、x轴分别交于点B和点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）根据图象直接写出当时，x的取值范围． 16. 如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点中心对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转后的； （3）求的面积． 18. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 20. 如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 七、（本题满分12分） 22. 综合与探究 如图，在中，，于点D，E为的中点，连接并延长，交于点F，且，过点F作于点H． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，请直接写出的长． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． （2）设点，，，是该函数图象上的两点，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $